Números enteros, valor absoluto y el plano de coordenadas
El termómetro de afuera marca $-4\,^\circ\text{F}$. Le debes $\$15$ a tu amigo. Un buzo está a 20 pies debajo de la superficie. Los números de contar (1, 2, 3, ...) no pueden describir nada de esto. Necesitas los números enteros, que añaden los números negativos para todo lo que queda "por debajo de cero".
Positivos, negativos y cero
Muchas situaciones vienen en pares opuestos: sobre o bajo el nivel del mar, un depósito o un retiro, una ganancia o una pérdida, antes o después de un suceso. Los enteros le dan a cada lado del par su propio signo.
| Situación | Entero |
|---|---|
| Un depósito de $\$25$ | $+25$ |
| Deberle $\$10$ a un amigo | $-10$ |
| Un equipo va ganando por 5 puntos | $+5$ |
| Piso 2 bajo tierra en un estacionamiento | $-2$ |
En la vida cotidiana utilizamos los números enteros para expresar situaciones opuestas. Asocia un número entero (positivo o negativo) a cada una de las siguientes…
En la vida cotidiana utilizamos los números enteros para expresar situaciones opuestas. Asocia un número entero (positivo o negativo) a cada una de las siguientes situaciones:
- a) El termómetro de la calle marca $4$ grados bajo cero.
- b) Tienes una deuda de $\$15$ con un amigo.
- c) Un buceador se encuentra a $20$ pies de profundidad.
- d) Un avión vuela a una altura de $8.500$ pies.
- e) Has ganado $50$ puntos en un nivel de tu videojuego favorito.
- f) El estacionamiento del centro comercial está en el tercer sótano.
Cómo leer la recta numérica
Una recta numérica (number line) pone los enteros en orden. Los negativos quedan a la izquierda del $0$, los positivos a la derecha y las marcas están a la misma distancia. Los números aumentan al moverte a la derecha y disminuyen al moverte a la izquierda.
Para leer un punto, empieza en $0$ y cuenta marcas. $A$ está 4 marcas a la izquierda del $0$, así que $A = -4$. $C$ está 3 marcas a la derecha, así que $C = 3$.
Distancia y punto medio
La distancia entre dos puntos es cuántas unidades recorres para ir de uno al otro. La distancia nunca es negativa.
Si los dos puntos están del mismo lado del $0$, resta. Por ejemplo, $-9$ y $-2$ están a $9 - 2 = 7$ unidades. Si la distancia es impar, el punto medio cae entre dos enteros.
Observa la siguiente recta numérica e identifica qué número entero corresponde a cada uno de los puntos marcados con una letra ($A$, $B$, $C$ y $D$).
Observa la siguiente recta numérica e identifica qué número entero corresponde a cada uno de los puntos marcados con una letra ($A$, $B$, $C$ y $D$).
Observa la siguiente recta numérica donde algunos números enteros han sido sustituidos por letras. Sabiendo que la distancia entre cada marca es de 2 unidades: a)…
Observa la siguiente recta numérica donde algunos números enteros han sido sustituidos por letras. Sabiendo que la distancia entre cada marca es de 2 unidades:
- a) Identifica los números enteros que representan las letras $A$, $B$ y $C$.
- b) Calcula el valor absoluto de cada uno de esos números: $|A|$, $|B|$ y $|C|$.
- c) ¿Qué letra representa el número con mayor valor absoluto?
Observa la siguiente recta numérica donde se han marcado dos puntos, $A$ y $B$. Sabiendo que la distancia entre el punto $A$ y el punto $B$ es de $15$ unidades y que el…
Observa la siguiente recta numérica donde se han marcado dos puntos, $A$ y $B$. Sabiendo que la distancia entre el punto $A$ y el punto $B$ es de $15$ unidades y que el punto $A$ corresponde al número entero $-6$:
- a) Determina qué número entero representa el punto $B$ si se encuentra a la derecha de $A$.
- b) Calcula el valor de $|A| + |B|$.
- c) Si situamos un nuevo punto $C$ justo en la mitad del segmento que une $A$ y $B$, ¿qué número entero representaría $C$?
Valor absoluto y opuestos
En algunos problemas se escribe "el opuesto de $a$" como $op(a)$. Es lo mismo que $-a$, así que $op(-9)$ significa lo mismo que $-(-9)$.
¿Por qué $-(-9) = 9$? El signo menos de adelante significa "toma el opuesto". El opuesto de $-9$ es $9$. Si tomas el opuesto dos veces, vuelves al punto de partida.
Simplificar signos
Trabaja de adentro hacia afuera. Primero halla el valor de lo que está adentro y luego aplica el signo de afuera.
El concepto de valor absoluto representa la distancia de un número al cero. Calcula los siguientes valores absolutos: a) $|-7| =$ b) $|+12| =$ c) $|-25| =$ d) $|0| =$ e)…
El concepto de valor absoluto representa la distancia de un número al cero. Calcula los siguientes valores absolutos:
- a) $|-7| =$
- b) $|+12| =$
- c) $|-25| =$
- d) $|0| =$
- e) $|-1| =$
- f) $|+100| =$
El opuesto de un número entero es aquel que tiene el mismo valor absoluto pero distinto signo. Escribe el opuesto de los siguientes números: a) $op(+6) =$ b) $op(-9) =$…
El opuesto de un número entero es aquel que tiene el mismo valor absoluto pero distinto signo. Escribe el opuesto de los siguientes números:
- a) $op(+6) =$
- b) $op(-9) =$
- c) $op(-15) =$
- d) $op(+21) =$
- e) $op(0) =$
- f) $op(-1) =$
Ordena de menor a mayor los siguientes elementos matemáticos, calculando previamente su valor numérico: $$-| -12 |, \quad op(+5), \quad | -8 |, \quad op(op(-3)), \quad…
Ordena de menor a mayor los siguientes elementos matemáticos, calculando previamente su valor numérico:
$$-| -12 |, \quad op(+5), \quad | -8 |, \quad op(op(-3)), \quad -(-10), \quad 0, \quad -| -1 |$$Comparar y ordenar enteros
En la recta numérica, los números aumentan de izquierda a derecha. Por eso el número que está más a la derecha es el mayor.
Los símbolos $<$ y $>$ siempre se abren hacia el número mayor. Así, $-8 < -3$ y $-3 > -8$ dicen lo mismo.
Para ordenar una lista, imagina los números en la recta numérica y léelos de izquierda a derecha.
Compara los siguientes pares de números enteros utilizando los símbolos mayor que ($>$) o menor que ($<$): a) $+5$ \\\\_ $-8$ b) $-3$ \\\\_ $-1$ c) $0$ \\\\_ $-5$ d)…
Compara los siguientes pares de números enteros utilizando los símbolos mayor que ($>$) o menor que ($<$):
- a) $+5$ ____ $-8$
- b) $-3$ ____ $-1$
- c) $0$ ____ $-5$
- d) $-12$ ____ $-20$
- e) $+10$ ____ $+2$
- f) $-1$ ____ $0$
Ordena los siguientes números enteros de menor a mayor, utilizando el símbolo $<$ entre ellos: $$-5, \quad +3, \quad -1, \quad 0, \quad +7, \quad -8, \quad -2$$
Ordena los siguientes números enteros de menor a mayor, utilizando el símbolo $<$ entre ellos:
$$-5, \quad +3, \quad -1, \quad 0, \quad +7, \quad -8, \quad -2$$Compara los siguientes pares de números enteros utilizando los signos $>$ o $<$ y justifica tu respuesta razonando sobre su posición en la recta numérica: a)…
Compara los siguientes pares de números enteros utilizando los signos $>$ o $<$ y justifica tu respuesta razonando sobre su posición en la recta numérica:
- a) $-15 \quad \square \quad -12$
- b) $+3 \quad \square \quad -20$
- c) $|-8| \quad \square \quad |-10|$
- d) $op(+5) \quad \square \quad op(-2)$
¿Verdadero o falso? Ejemplos y contraejemplos
Algunos problemas piden decidir si un enunciado sobre enteros es verdadero. Para mostrar que es verdadero, debes explicar por qué funciona para todos los enteros, no solo para uno. Para mostrar que es falso, basta un contraejemplo: un solo ejemplo en el que el enunciado falla.
Arrastra los puntos para probar una afirmación mirando posiciones y distancias al $0$.
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justifica brevemente tu respuesta: a) Cualquier número entero negativo es menor que cero. b) El valor…
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justifica brevemente tu respuesta:
- a) Cualquier número entero negativo es menor que cero.
- b) El valor absoluto de un número siempre es positivo o cero.
- c) El opuesto de un número negativo es otro número negativo.
- d) Entre dos números negativos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto.
- e) El número $-5$ es mayor que $-2$ porque está más lejos del cero.
Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, poniendo un ejemplo o un contraejemplo en cada caso: a) Si $a$ y $b$ son dos números enteros negativos y…
Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, poniendo un ejemplo o un contraejemplo en cada caso:
- a) Si $a$ y $b$ son dos números enteros negativos y $|a| < |b|$, entonces $a > b$.
- b) El valor absoluto de un número entero siempre es mayor que el propio número.
- c) La distancia entre cualquier número entero y su opuesto es siempre un número par.
- d) Si al opuesto de un número le sumamos su valor absoluto, el resultado es siempre cero.
Resolver pistas con números
Algunos problemas dan pistas sobre un entero misterioso. Convierte cada pista en una posición en la recta numérica y quédate solo con los números que cumplen todas las pistas.
Primero, simplifica pistas como "el opuesto de $-1$" hasta dejarlas en un número sencillo. La pista "$|x| = 4$" da dos números, $x = 4$ o $x = -4$, porque los dos están a 4 unidades del $0$.
Las pistas con $<$ y $>$ funcionan igual. "$|x| < 5$" significa que $x$ está a menos de 5 unidades del $0$, así que $x$ puede ser $-4, -3, \ldots, 3, 4$. Además, "el opuesto de $x$ es positivo" significa que $x$ es negativo.
Escribe los números enteros que cumplen simultáneamente las siguientes tres condiciones: 1. Su valor absoluto es mayor que $2$ y menor que $6$. 2. Es un número negativo.…
Escribe los números enteros que cumplen simultáneamente las siguientes tres condiciones:
-
Su valor absoluto es mayor que $2$ y menor que $6$.
-
Es un número negativo.
-
Al sumarle su opuesto, el resultado es $0$.
Representa los números encontrados en una recta numérica.
Pienso un número entero $x$ que cumple estas pistas: Su valor absoluto es igual al de su opuesto. El número $x$ es mayor que $-4$. El número $x$ es menor que el opuesto…
Pienso un número entero $x$ que cumple estas pistas:
-
Su valor absoluto es igual al de su opuesto.
-
El número $x$ es mayor que $-4$.
-
El número $x$ es menor que el opuesto de $-1$.
-
No es el número cero.
¿Qué posibles valores puede tener $x$? Escribe todas las soluciones posibles.
Encuentra el número entero secreto $x$ que cumple simultáneamente las siguientes cuatro condiciones: Su valor absoluto es mayor que $5$ y menor que $11$: $5 < |x| < 11$.…
Encuentra el número entero secreto $x$ que cumple simultáneamente las siguientes cuatro condiciones:
-
Su valor absoluto es mayor que $5$ y menor que $11$: $5 < |x| < 11$.
-
El opuesto de $x$ es un número positivo.
-
$x$ es un múltiplo de $3$.
-
Al representarlo en la recta numérica, está situado a la izquierda del $-7$.
Usar enteros para describir cambios
Los enteros también describen cambios. Una ganancia o un aumento es positivo, y una pérdida o una caída es negativa. Para saber dónde terminas, empieza en el número original y muévete en la recta numérica: a la derecha si el cambio es positivo, a la izquierda si es negativo.
Imagina que estás en un hotel muy grande que tiene pisos por encima y por debajo del suelo. Si estás en el piso $-2$ (segundo sótano) y el elevador realiza los…
Imagina que estás en un hotel muy grande que tiene pisos por encima y por debajo del suelo. Si estás en el piso $-2$ (segundo sótano) y el elevador realiza los siguientes movimientos, ¿en qué piso terminarás?
-
Sube $5$ pisos.
-
Baja $2$ pisos.
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Sube $1$ piso.
-
Baja $4$ pisos.
Dibuja un esquema vertical o una recta numérica para ayudarte.
Un sensor de temperatura en un laboratorio de criogenia marca inicialmente $12^{\circ}C$. Debido a un experimento, la temperatura desciende $18^{\circ}C$, luego sube…
Un sensor de temperatura en un laboratorio de criogenia marca inicialmente $12^{\circ}C$. Debido a un experimento, la temperatura desciende $18^{\circ}C$, luego sube $5^{\circ}C$ y finalmente vuelve a bajar $3^{\circ}C$.
- a) Representa mediante números enteros cada uno de los movimientos térmicos.
- b) ¿Cuál es la temperatura final registrada por el sensor?
- c) ¿Se encuentra la temperatura final por encima o por debajo de los $0^{\circ}C$?
Un repartidor entra en el elevador de un centro comercial en el primer piso ($0$). Primero sube al almacén en el piso $+5$, después baja $8$ pisos para recoger mercancía…
Un repartidor entra en el elevador de un centro comercial en el primer piso ($0$). Primero sube al almacén en el piso $+5$, después baja $8$ pisos para recoger mercancía en el estacionamiento subterráneo y, finalmente, sube $2$ pisos para hacer una entrega.
- a) ¿En qué piso se encuentra el estacionamiento subterráneo? Expresa el resultado con un número entero.
- b) ¿En qué piso hace la entrega final?
- c) ¿Cuántos pisos ha recorrido en total el repartidor durante todo su trayecto? (Pista: utiliza el concepto de valor absoluto).
Una expresión para varios cambios
Cuando hay muchos cambios, escríbelos todos en una sola expresión: el valor inicial y luego cada cambio con su signo. Las ganancias y los depósitos son positivos. Las pérdidas, los cargos y los retiros son negativos. Sigue el orden de las operaciones, así que la multiplicación va antes que la suma y la resta.
Un dron de inspección volcánica despega desde una plataforma situada a $120$ pies sobre el nivel del mar. Durante su misión, realiza los siguientes movimientos…
Un dron de inspección volcánica despega desde una plataforma situada a $120$ pies sobre el nivel del mar. Durante su misión, realiza los siguientes movimientos consecutivos:
-
Desciende $150$ pies para entrar en una grieta.
-
Asciende $85$ pies para evitar una ráfaga de viento.
-
Vuelve a descender $40$ pies para tomar muestras térmicas.
Expresa cada movimiento como un número entero y determina, mediante una expresión matemática, a qué altura o profundidad se encuentra el dron respecto al nivel del mar al finalizar su misión.
El saldo de una cuenta bancaria al inicio del mes era de $\$-245…
El saldo de una cuenta bancaria al inicio del mes era de $\$-245$. Durante el mes se producen los siguientes movimientos:
-
Tres depósitos iguales de una plataforma de ventas de segunda mano por un valor de $\$40$ cada uno.
-
Un cargo de la factura de la luz que es el doble del valor absoluto del saldo inicial.
-
Una devolución de una compra de $\$120$.
Escribe una única expresión con números enteros que represente todos estos movimientos y calcula el saldo final de la cuenta. ¿Sigue la cuenta en "números rojos"?
Años a. C. y d. C.
Una línea del tiempo es una recta numérica para los años. Tratamos los años d. C. (después de Cristo, AD) como positivos y los años a. C. (antes de Cristo, BC) como negativos. Así, 100 a. C. es $-100$, y el año 15 d. C. es $+15$. Avanzar en el tiempo es moverse a la derecha: sumar años.
Un historiador está estudiando la vida de dos personajes de la Antigua Grecia. El personaje $A$ nació en el año $342$ a.C. y el personaje $B$ nació en el año $125$ a.C.…
Un historiador está estudiando la vida de dos personajes de la Antigua Grecia. El personaje $A$ nació en el año $342$ a.C. y el personaje $B$ nació en el año $125$ a.C.
- a) Representa en tu cuaderno ambos años de nacimiento mediante números enteros en la recta.
- b) ¿Cuál de los dos personajes nació antes?
- c) Si el personaje $B$ vivió $60$ años, ¿en qué año murió? Exprésalo con un número entero e indica si fue antes o después de Cristo.
Un arqueólogo está estudiando una dinastía antigua. Sabe que el primer rey de la dinastía nació en el año $42$ a.C. y murió a los $65$ años de edad. Su hijo, el…
Un arqueólogo está estudiando una dinastía antigua. Sabe que el primer rey de la dinastía nació en el año $42$ a.C. y murió a los $65$ años de edad. Su hijo, el heredero, nació cuando el padre tenía $28$ años y reinó durante $35$ años tras la muerte de su padre.
- a) Utiliza números enteros para representar los años de nacimiento y muerte de ambos personajes.
- b) ¿En qué año terminó el reinado del hijo? Expresa el resultado en formato cronológico (a.C. o d.C.).
El plano de coordenadas
Los enteros también sirven para ubicar puntos en un mapa plano. El plano de coordenadas (coordinate plane) tiene una recta numérica horizontal (el eje x) y una recta numérica vertical (el eje y). Se cruzan en el origen, $(0, 0)$. Cada punto se describe con un par ordenado $(x, y)$: primero cuánto a la izquierda o a la derecha, luego cuánto arriba o abajo.
Para mover un punto, cambia una coordenada. Moverte a la derecha suma a $x$, moverte a la izquierda resta a $x$. Moverte hacia arriba suma a $y$, moverte hacia abajo resta a $y$.
De vuelta al inicio: una temperatura de $-4\,^\circ\text{F}$, una deuda de $\$15$ (escrita $-15$) y un buzo a 20 pies de profundidad (escrito $-20$) son todos enteros por debajo de un punto de partida: $0\,^\circ\text{F}$, un saldo de cero o la superficie del agua.
En un juego de estrategia, un barco pirata se mueve por un mapa de coordenadas. Su posición inicial es el punto $P(-3, 2)$. a) Si el barco se desplaza $5$ unidades hacia…
En un juego de estrategia, un barco pirata se mueve por un mapa de coordenadas. Su posición inicial es el punto $P(-3, 2)$.
- a) Si el barco se desplaza $5$ unidades hacia la derecha, ¿cuál es su nueva coordenada de abscisas ($x$)?
- b) Si desde esa nueva posición baja $4$ unidades, ¿cuál es su coordenada de ordenadas ($y$)?
- c) Representa en tu cuaderno el punto inicial y el punto final en un sistema de ejes de coordenadas.
En el siguiente plano cartesiano, un robot parte del punto $P(-2, 3)$. Realiza tres movimientos consecutivos: 1. Se desplaza $5$ unidades hacia la derecha. 2. Se…
En el siguiente plano cartesiano, un robot parte del punto $P(-2, 3)$. Realiza tres movimientos consecutivos:
-
Se desplaza $5$ unidades hacia la derecha.
-
Se desplaza $7$ unidades hacia abajo.
-
Se desplaza $4$ unidades hacia la izquierda.
¿En qué cuadrante termina el robot? Hazlo en tu cuaderno. Indica las coordenadas finales del punto y calcula el valor absoluto de la suma de su nueva abscisa ($x$) y su nueva ordenada ($y$).