Relaciones proporcionales y tasas unitarias
En un carrito de comida afuera del estadio, Aaliyah ve que 3 tacos cuestan $\$7.50$. Todo su equipo quiere 10 tacos. ¿Cuánto pagará? No necesitas adivinar, porque los tacos y el precio están unidos por un número que nunca cambia. Esa unión es una relación proporcional.
¿Qué es una relación proporcional?
Los boletos de cine cuestan lo mismo cada uno, así que el precio total es proporcional al número de boletos:
| Boletos | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| Precio | $\$9$ | $\$18$ | $\$27$ | $\$36$ |
Divide el precio entre los boletos en cualquier columna: $9 \div 1 = 9$, $18 \div 2 = 9$, $27 \div 3 = 9$. La constante es $k = 9$ dólares por boleto.
En matemáticas, decimos que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando, al multiplicar una por un número, la otra se multiplica por ese mismo número. Analice…
En matemáticas, decimos que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando, al multiplicar una por un número, la otra se multiplica por ese mismo número. Analice las siguientes situaciones cotidianas e indique cuáles son de proporcionalidad directa:
- a) El número de seguidores de un streamer y la cantidad de likes que recibe en un video (suponiendo que todos sus seguidores le dan a "me gusta").
- b) La edad de una persona y su altura en pulgadas.
- c) El número de cajas de pizza que pide y el precio total que paga (si todas las pizzas cuestan lo mismo).
- d) La velocidad de un carro y el tiempo que tarda en llegar a su destino.
- e) Las libras de manzanas que compra y el dinero que cuestan.
En su videojuego favorito, puede comprar "Gemas" para conseguir nuevos aspectos para su personaje. Sabemos que las gemas siempre tienen el mismo precio unitario.…
En su videojuego favorito, puede comprar "Gemas" para conseguir nuevos aspectos para su personaje. Sabemos que las gemas siempre tienen el mismo precio unitario. Complete la siguiente tabla de proporcionalidad en su cuaderno para saber cuánto cuestan diferentes cantidades de gemas:
| Número de Gemas | $100$ | $200$ | $300$ | $500$ | $1.000$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Precio ($\$$) | $1,50$ | $4,50$ |
Para celebrar el final del trimestre, un grupo de amigos quiere comprar "gemas" para su videojuego favorito. Han visto que un paquete de $1200$ gemas cuesta…
Para celebrar el final del trimestre, un grupo de amigos quiere comprar "gemas" para su videojuego favorito. Han visto que un paquete de $1200$ gemas cuesta $\$14,40\text{ \$}$. Si un amigo tiene ahorrados exactamente $\$21\text{ \$}$, ¿cuántas gemas podrá comprar si la relación es directamente proporcional?
El método de la tasa unitaria
¿Por qué funciona? En una relación proporcional cada unidad vale lo mismo. Cuando sabes cuánto vale una unidad, solo tienes que contar cuántas unidades hay.
Un paquete de estampas de la liga de fútbol contiene $6$ estampas, y $3$ de estos paquetes cuestan $\$3,60$. Si queremos completar el álbum y decidimos comprar $8…
Un paquete de estampas de la liga de fútbol contiene $6$ estampas, y $3$ de estos paquetes cuestan $\$3,60$. Si queremos completar el álbum y decidimos comprar $8$ paquetes iguales, ¿cuánto dinero gastaremos en total? Utilice el método de reducción a la unidad (calcule primero cuánto cuesta un solo paquete).
Para cocinar unos panqueques para $4$ personas, se necesitan exactamente $200$ onzas de harina. Si este fin de semana vienen sus primos a casa y son un total de $6$…
Para cocinar unos panqueques para $4$ personas, se necesitan exactamente $200$ onzas de harina. Si este fin de semana vienen sus primos a casa y son un total de $6$ personas, ¿qué cantidad de harina necesitará para que los panqueques salgan perfectos? Recuerde que las cantidades de la receta son directamente proporcionales al número de comensales.
Para cocinar una paella gigante para $12\text{ personas}$, el chef utiliza $1,5\text{ kg}$ de arroz y $3\text{ litros}$ de caldo. Si de repente se suman más personas y…
Para cocinar una paella gigante para $12\text{ personas}$, el chef utiliza $1,5\text{ kg}$ de arroz y $3\text{ litros}$ de caldo. Si de repente se suman más personas y ahora son $18$ en total, calcule mediante el método de reducción a la unidad qué cantidad de arroz y de caldo necesitará ahora el chef.
Tablas y la constante de proporcionalidad
Una tabla es la mejor manera de organizar una relación proporcional. Halla $k = y \div x$ con cualquier columna completa. Después:
-
para hallar una $y$ que falta, multiplica: $y = k \cdot x$;
-
para hallar una $x$ que falta, divide: $x = y \div k$.
La constante se puede leer de dos maneras. Aquí $k = 3.5$ dólares por galón, o $\dfrac{1}{3.5} = \dfrac{2}{7}$ de galón por dólar. Escribe siempre las unidades de $k$ para saber cuál hallaste. Las fracciones también sirven: si 24 estudiantes recogen 36 lb, entonces $k = \dfrac{36}{24} = \dfrac{3}{2}$ libras por estudiante, en su mínima expresión.
Un skater* recorre una pista a una velocidad constante. En la primera parte del circuito, ha recorrido $150$ pies en $30$ segundos. Si mantiene el mismo ritmo durante…
Un skater recorre una pista a una velocidad constante. En la primera parte del circuito, ha recorrido $150$ pies en $30$ segundos. Si mantiene el mismo ritmo durante todo el trayecto:
- a) ¿Qué distancia recorrerá en $1$ minuto ($60$ segundos)?
- b) ¿Cuál es su constante de proporcionalidad (cuántos pies recorre por cada segundo)?
Copie y complete la siguiente tabla de valores directamente proporcionales que relaciona la cantidad de libras de pintura con la superficie que se puede cubrir. Calcule…
Copie y complete la siguiente tabla de valores directamente proporcionales que relaciona la cantidad de libras de pintura con la superficie que se puede cubrir. Calcule también la constante de proporcionalidad $k$ expresada en $m^2/kg$.
| Pintura ($kg$) | $1,5$ | $3$ | ? | $10$ |
|---|---|---|---|---|
| Superficie ($m^2$) | $12$ | ? | $48$ | ? |
Tres clases de 6.º grado han decidido organizar una campaña de recolección de alimentos. El número de libras recolectadas es directamente proporcional al número de…
Tres clases de 6.º grado han decidido organizar una campaña de recolección de alimentos. El número de libras recolectadas es directamente proporcional al número de alumnos de cada clase. La clase A tiene $24$ alumnos y ha recolectado $36\ kg$.
- a) Complete la siguiente tabla razonando los cálculos:
| Clase | Alumnos | Libras recolectadas |
|---|---|---|
| Clase A | $24$ | $36$ |
| Clase B | $30$ | $?$ |
| Clase C | $?$ | $42$ |
- b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que relaciona las libras por cada alumno? Exprésela como una fracción irreducible.
Resolver con proporciones
Una proporción es una ecuación que dice que dos razones son iguales, como $\dfrac{4}{36} = \dfrac{7}{x}$. Para resolverla, usa los productos cruzados: multiplica en diagonal.
¿Por qué? Multiplica ambos lados de la proporción por $b \cdot d$. Los denominadores se cancelan y queda $a \cdot d = b \cdot c$.
A veces un atajo es más rápido. En $\dfrac{2}{5} = \dfrac{10}{x}$, el numerador pasó de 2 a 10, que es $\times 5$. Entonces el denominador también es $\times 5$: $x = 5 \cdot 5 = 25$. Los productos cruzados dan la misma respuesta: $2x = 50$.
Halle el valor del término desconocido $x$ en las siguientes proporciones para que se cumpla la igualdad entre las razones: a) $\frac{2}{5} = \frac{10}{x}$ b)…
Halle el valor del término desconocido $x$ en las siguientes proporciones para que se cumpla la igualdad entre las razones:
- a) $\frac{2}{5} = \frac{10}{x}$
- b) $\frac{x}{12} = \frac{3}{4}$
- c) $\frac{7}{x} = \frac{14}{6}$
Observe la siguiente imagen que representa dos balanzas en equilibrio. En la primera balanza, $3$ cubos azules pesan exactamente $450$ onzas. En la segunda balanza,…
Observe la siguiente imagen que representa dos balanzas en equilibrio. En la primera balanza, $3$ cubos azules pesan exactamente $450$ onzas. En la segunda balanza, queremos saber cuánto pesan $5$ cubos iguales a los anteriores. Calcule el valor de la incógnita $x$.
En un mapa de las Montañas Rocosas, la escala indica que $2\text{ cm}$ en el papel representan $5\text{ km}$ en la realidad. Si para realizar una ruta de senderismo…
En un mapa de las Montañas Rocosas, la escala indica que $2\text{ cm}$ en el papel representan $5\text{ km}$ en la realidad. Si para realizar una ruta de senderismo entre dos pueblos la distancia medida sobre el mapa es de $8,5\text{ cm}$, ¿cuántas millas recorrerán los excursionistas en la realidad?
Gráficas de relaciones proporcionales
Marca los pares $(x, y)$ de una relación proporcional. Los puntos siempre caen sobre una recta que pasa por el origen $(0, 0)$, porque cero tacos cuestan cero dólares. El punto con $x = 1$ es $(1, k)$, así que la altura de la recta en $x = 1$ es la tasa unitaria.
Prueba el control deslizante de abajo. Al cambiar $k$ se inclina la recta, y siempre pasa por el origen.
En las gráficas de proporcionalidad directa, la relación entre las dos magnitudes siempre se representa mediante una línea recta que pasa por el punto $(0,0)$. Observe…
En las gráficas de proporcionalidad directa, la relación entre las dos magnitudes siempre se representa mediante una línea recta que pasa por el punto $(0,0)$. Observe la siguiente gráfica que relaciona el número de bolígrafos comprados y su costo total. Si $4$ bolígrafos cuestan $\$6$, identifique el punto en la gráfica y calcule cuánto costarían $10$ bolígrafos.
La siguiente gráfica muestra la relación entre el tiempo que está encendida una fuente de agua y los galones que arroja. Observe el punto marcado y determine cuántos…
La siguiente gráfica muestra la relación entre el tiempo que está encendida una fuente de agua y los galones que arroja. Observe el punto marcado y determine cuántos galones arrojará la fuente si se mantiene abierta durante $15\text{ minutos}$.
El siguiente gráfico muestra la relación entre el tiempo de carga de un nuevo modelo de smartphone y el porcentaje de batería recuperado. El fabricante afirma que la…
El siguiente gráfico muestra la relación entre el tiempo de carga de un nuevo modelo de smartphone y el porcentaje de batería recuperado. El fabricante afirma que la carga es directamente proporcional durante los primeros $40$ minutos.
- a) Observando el punto destacado, calcule cuántos minutos tarda el celular en cargar un $1\%$ de batería.
- b) Si el celular tiene actualmente un $12\%$ de batería y necesita salir de casa en $18$ minutos, ¿con qué porcentaje de batería saldrá?
Conversión de unidades y tasas mixtas
Una conversión de unidades también es una relación proporcional: $1$ libra siempre son $16$ onzas, así que las onzas son proporcionales a las libras con $k = 16$. Las tasas suelen mezclar unidades (cuartos por segundo, millas por hora), así que convierte a la unidad que pide la pregunta.
| Conversión | Valor |
|---|---|
| 1 mi | aprox. 1.609 km (así que 1 km ≈ 0.621 mi) |
| 1 lb | 16 oz |
| 1 oz | aprox. 28.35 g |
| 1 lb | aprox. 454 g |
| 1 kg | aprox. 2.2 lb |
| 1 gal | 4 qt (y aprox. 3.785 L) |
| 1 L | 1,000 mL (y 1 cL = 10 mL) |
| 1 kg | 1,000 g (1 tonelada métrica = 1,000 kg) |
| 1 h | 60 min = 3,600 s |
| 1 GB | 1,024 MB |
Un carro híbrido consume una media de $4,5\text{ litros}$ de combustible por cada $100\text{ km}$ recorridos. Si el tanque tiene una capacidad total de…
Un carro híbrido consume una media de $4,5\text{ litros}$ de combustible por cada $100\text{ km}$ recorridos. Si el tanque tiene una capacidad total de $54\text{ litros}$ y actualmente está lleno, ¿qué distancia máxima podrá recorrer el vehículo antes de quedarse sin combustible?
Una llave que gotea pierde aproximadamente $1,2\text{ centilitros}$ de agua cada $10\text{ segundos}$. Si no la arreglamos, ¿cuántos galones de agua habrá desperdiciado…
Una llave que gotea pierde aproximadamente $1,2\text{ centilitros}$ de agua cada $10\text{ segundos}$. Si no la arreglamos, ¿cuántos galones de agua habrá desperdiciado al cabo de una hora completa? (Recuerde pasar primero el resultado a la unidad de medida solicitada).
Un servidor de videojuegos distribuye datos a los jugadores de forma directamente proporcional al tiempo de conexión. Un jugador ha descargado $1,8\ GB$ en los últimos…
Un servidor de videojuegos distribuye datos a los jugadores de forma directamente proporcional al tiempo de conexión. Un jugador ha descargado $1,8\ GB$ en los últimos $12$ minutos.
- a) Calcule la tasa de transferencia en $MB$ por minuto (Recuerde que $1\ GB = 1.024\ MB$).
- b) Si la actualización total del juego pesa $15\ GB$, ¿cuántas horas y minutos tardará en completarse la descarga si la velocidad se mantiene constante?
Problemas de varios pasos: escalas, porcentajes y tasas que cambian
Los problemas difíciles encadenan varios pasos. Divídelos en pequeñas piezas proporcionales y no pierdas de vista las unidades.
Escalas de mapas. Una escala de $1 : 100{,}000$ significa que 1 unidad en el mapa son 100,000 de la misma unidad en la realidad. Entonces la distancia real = distancia en el mapa $\times 100{,}000$.
Porcentajes como tasas. "15% de la batería por cada 2 millas" sigue siendo una tasa, y el porcentaje es solo un número. Puedes hallar el porcentaje usado por milla (o las millas por 1%) y escalarlo. Recuerda que una batería llena es 100%.
Tasas que cambian. Si una tasa sube 20%, la nueva tasa es $1.20 \times$ la anterior. Si baja 20%, es $0.80 \times$ la anterior.
Volvamos al carrito de tacos: 3 tacos cuestan $\$7.50$, así que un taco cuesta $7.50 \div 3 = 2.50$ dólares, y 10 tacos cuestan $10 \times 2.50 = 25$ dólares. Aaliyah paga $\$25$.
En un taller de robótica, los alumnos están programando un dron para inspeccionar un parque natural. El dron consume batería de forma directamente proporcional a la…
En un taller de robótica, los alumnos están programando un dron para inspeccionar un parque natural. El dron consume batería de forma directamente proporcional a la distancia recorrida. Si para recorrer $2,5\ km$ el dron consume un $15\%$ de su batería total:
- a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad si expresamos la relación como "porcentaje de batería por cada milla"?
- b) Si el punto de retorno está a $7.200\ metros$ de la base, ¿tendrá suficiente batería para ir y volver si despega con la carga completa? Justifique su respuesta con cálculos.
En un mapa de alta montaña con escala $1:25.000$, la distancia entre dos refugios es de $14,4\ cm$. Un grupo de excursionistas sabe que su velocidad media de ascenso es…
En un mapa de alta montaña con escala $1:25.000$, la distancia entre dos refugios es de $14,4\ cm$. Un grupo de excursionistas sabe que su velocidad media de ascenso es constante y que tardan $45$ minutos en recorrer $1.500\ metros$ reales en ese terreno.
- a) Calcule la distancia real entre los dos refugios en millas.
- b) ¿A qué hora llegarán al segundo refugio si salen del primero a las $08:30$ de la mañana?
Una empresa de mensajería utiliza camionetas eléctricas. El costo del consumo eléctrico es directamente proporcional a las millas recorridas. El mes pasado, una…
Una empresa de mensajería utiliza camionetas eléctricas. El costo del consumo eléctrico es directamente proporcional a las millas recorridas. El mes pasado, una camioneta recorrió $1.250\ km$ con un costo total de $\$37,50\ \$$ en electricidad.
- a) Este mes el precio de la electricidad ha subido un $20\%$. ¿Cuál será la nueva constante de proporcionalidad (costo por milla)?
- b) Con el nuevo precio, ¿cuánto costará recorrer una ruta de $420\ km$?