El conjunto de los números enteros
Una mañana de enero en Chicago, el termómetro marca $-4\ ^\circ\text{F}$. Le debes $\$15$ a tu amigo por la pizza. Un submarino de investigación está detenido a $85$ pies bajo la superficie. Ninguna de estas situaciones se puede escribir solo con $0, 1, 2, 3, \ldots$ Necesitas los números enteros, que también pueden expresar "bajo cero".
¿Qué es un número entero?
A menudo se escribe un número positivo con el signo más ($+5$), pero $+5$ y $5$ son el mismo número.
Muchas situaciones vienen en pares opuestos. El cero es la línea que los separa.
| Positivo ($+$) | Negativo ($-$) |
|---|---|
| ganar, recibir, depositar | perder, deber, retirar |
| sobre el nivel del mar, piso 3 | bajo el nivel del mar, sótano 2 |
| sobre $0\ ^\circ\text{F}$ | bajo $0\ ^\circ\text{F}$ |
| subir, avanzar, ir a la derecha | bajar, retroceder, ir a la izquierda |
Los números $1, 2, 3, \ldots$ son los números naturales, que se escriben $\mathbb{N}$ (también llamados números de conteo). Si agregas el $0$ obtienes los números cabales (whole numbers): $0, 1, 2, 3, \ldots$ Todo número natural y todo número cabal es un entero, pero no todo entero es un número cabal. Los enteros negativos no son cabales ni naturales.
Para convertir una situación en un entero, decide qué dirección es la positiva. Luego usa el tamaño del cambio como número y la dirección como signo. Perder $\$8$ es $-8$, y encontrar $\$8$ es $+8$.
Expresa con un número entero ($+$ o $-$) las siguientes situaciones reales relacionadas con las redes sociales y la vida diaria de un adolescente: a) Has conseguido…
Expresa con un número entero ($+$ o $-$) las siguientes situaciones reales relacionadas con las redes sociales y la vida diaria de un adolescente:
- a) Has conseguido $150$ nuevos seguidores en tu cuenta de TikTok esta semana.
- b) Un amigo te debe $\$12$ del regalo de cumpleaños que compraron a medias.
- c) El termómetro de la calle marca $4$ grados bajo cero.
- d) Has bajado al segundo sótano del centro comercial para dejar la bicicleta.
Dada la siguiente lista de números, clasifícalos indicando cuáles pertenecen al conjunto de los números naturales ($\mathbb{N}$) y cuáles son números enteros…
Dada la siguiente lista de números, clasifícalos indicando cuáles pertenecen al conjunto de los números naturales ($\mathbb{N}$) y cuáles son números enteros ($\mathbb{Z}$) pero no naturales:
$$ -7, \quad +5, \quad -12, \quad 0, \quad +10, \quad -1, \quad 45 $$Escribe el número entero que representa el estado final de la cuenta bancaria de un joven en estas dos situaciones independientes: a) Tenía $\$25…
Escribe el número entero que representa el estado final de la cuenta bancaria de un joven en estas dos situaciones independientes:
- a) Tenía $\$25$ ahorrados y se compró un videojuego que costaba $\$30$ (el banco le permite quedarse en negativo).
- b) Debía $\$10$ a su hermana y su abuelo le dio un billete de $\$10$ para que salde la deuda.
La recta numérica
Una recta numérica (number line) ordena los enteros. Los números positivos van a la derecha del $0$ y los negativos a la izquierda. Una recta numérica vertical funciona igual: arriba es positivo y abajo es negativo.
Para leer un punto, empieza en $0$ y cuenta las marcas. Aquí cada marca vale $1$ unidad.
Observa la siguiente recta numérica e identifica qué número entero corresponde a cada uno de los puntos marcados con las letras $A$, $B$ y $C$.
Observa la siguiente recta numérica e identifica qué número entero corresponde a cada uno de los puntos marcados con las letras $A$, $B$ y $C$.
Observa la siguiente recta numérica donde se han marcado cuatro puntos: $A$, $B$, $C$ y $D$. Identifica el número entero que corresponde a cada letra sabiendo que el…
Observa la siguiente recta numérica donde se han marcado cuatro puntos: $A$, $B$, $C$ y $D$. Identifica el número entero que corresponde a cada letra sabiendo que el punto $C$ representa al número $-2$ y que la distancia entre cada marca pequeña es de una unidad.
Opuestos y valor absoluto
Los opuestos siempre tienen el mismo valor absoluto. El opuesto de $0$ es $0$.
Las fechas también son enteros. Escribimos los años d. C. como positivos y los años a. C. como negativos, así que $300$ a. C. es $-300$ y el año $1776$ d. C. es $+1776$. En los problemas de esta sección, $0$ representa el punto divisorio de la línea del tiempo.
Un dron está volando a una altitud de $+35$ pies sobre el nivel del mar, mientras que un buzo se encuentra explorando un arrecife de coral a $-15$ pies de profundidad.…
Un dron está volando a una altitud de $+35$ pies sobre el nivel del mar, mientras que un buzo se encuentra explorando un arrecife de coral a $-15$ pies de profundidad.
- a) Escribe el valor absoluto de ambos números: $|+35|$ y $|-15|$.
- b) ¿Cuál de los dos está a mayor distancia del nivel del mar ($0$ pies)?
- c) Escribe el opuesto de la posición del buzo.
En un gran centro comercial, los botones del elevador representan los pisos. El piso principal es el $0$, los pisos superiores son positivos ($+1, +2...$) y los sótanos…
En un gran centro comercial, los botones del elevador representan los pisos. El piso principal es el $0$, los pisos superiores son positivos ($+1, +2...$) y los sótanos de estacionamiento son negativos ($-1, -2...$).
- a) Si estás en el piso $-3$ y subes hasta el piso opuesto, ¿a qué piso llegas?
- b) ¿Cuál es el valor absoluto del número del piso $-2$?
- c) ¿Qué piso está más lejos de la calle (piso $0$): el $+4$ o el $-5$?
Un arqueólogo encuentra una moneda en un sitio arqueológico. Al investigar, descubre que fue acuñada en el año $45$ a.C. Si el arqueólogo vive en el año $2024$ d.C.,…
Un arqueólogo encuentra una moneda en un sitio arqueológico. Al investigar, descubre que fue acuñada en el año $45$ a.C. Si el arqueólogo vive en el año $2024$ d.C., responde:
- a) ¿Qué número entero asignarías a cada fecha?
- b) ¿Cuál es el opuesto del año de acuñación de la moneda?
- c) Representa de forma aproximada ambos años en una línea del tiempo.
Comparar y ordenar enteros
En una recta numérica horizontal, los números aumentan hacia la derecha. Por eso el número que está más a la derecha siempre es el mayor.
El símbolo $<$ significa "es menor que" y $>$ significa "es mayor que". La punta del símbolo señala el número menor.
En una estación de esquí se han registrado las siguientes temperaturas mínimas durante cuatro días. Ordénalas de menor a mayor utilizando el símbolo $<$: Lunes: $-6$…
En una estación de esquí se han registrado las siguientes temperaturas mínimas durante cuatro días. Ordénalas de menor a mayor utilizando el símbolo $<$:
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Lunes: $-6$ $^\circ C$
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Martes: $+2$ $^\circ C$
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Miércoles: $-9$ $^\circ C$
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Jueves: $0$ $^\circ C$
En el laboratorio de física, se están analizando las temperaturas de congelación de varios líquidos. Los resultados son: Líquido P: $-8$ ºF Líquido Q: $-15$ ºF Líquido…
En el laboratorio de física, se están analizando las temperaturas de congelación de varios líquidos. Los resultados son:
-
Líquido P: $-8$ ºF
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Líquido Q: $-15$ ºF
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Líquido R: $-3$ ºF
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Líquido S: $-12$ ºF
Ordena los líquidos de menor a mayor temperatura utilizando el símbolo $<$ y explica cuál de ellos tiene el mayor valor absoluto.
Compara las siguientes parejas de números enteros utilizando los signos $>$ o $<$ y justifica tu respuesta basándote en su posición en la recta numérica: a) $-15$ \\\\\_…
Compara las siguientes parejas de números enteros utilizando los signos $>$ o $<$ y justifica tu respuesta basándote en su posición en la recta numérica:
- a) $-15$ _____ $-20$
- b) $+3$ _____ $-100$
- c) $0$ _____ $-5$
- d) $op(+7)$ _____ $-6$
Resolver pistas sobre números
Algunos problemas dan pistas sobre un número en lugar de nombrarlo. Convierte cada pista en un dibujo en la recta numérica.
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"$|x| = 7$" significa que $x$ está a $7$ unidades del $0$, así que $x = 7$ o $x = -7$.
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"$|x| < 4$" significa que $x$ está a menos de $4$ unidades del $0$, así que $x$ es $-3, -2, -1, 0, 1, 2$ o $3$.
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"El opuesto de $x$ es negativo" significa que $x$ es positivo.
Los círculos abiertos muestran los números que no están incluidos (la pista dice "menor que", no "menor o igual que"). Una estrategia que funciona bien:
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Haz una lista de todos los enteros que cumplen la primera pista.
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Tacha los que no cumplen la siguiente pista.
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Prueba los candidatos que quedan en cualquier pista difícil de imaginar, como una que suma $x$ y $|x|$.
Escribe todos los números enteros $x$ que cumplan simultáneamente estas dos condiciones: 1. Su valor absoluto es menor que $6$ ($|x| < 6$). 2. Es un número estrictamente…
Escribe todos los números enteros $x$ que cumplan simultáneamente estas dos condiciones:
-
Su valor absoluto es menor que $6$ ($|x| < 6$).
-
Es un número estrictamente menor que $-2$ ($x < -2$).
Representa la solución en una recta numérica.
Encuentra todos los números enteros $x$ que cumplen simultáneamente las siguientes tres condiciones: 1. Su valor absoluto es mayor que $4$ pero menor que $10$. 2. El…
Encuentra todos los números enteros $x$ que cumplen simultáneamente las siguientes tres condiciones:
-
Su valor absoluto es mayor que $4$ pero menor que $10$.
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El opuesto de $x$ es un número negativo.
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Si a $x$ le sumas su valor absoluto, el resultado es menor que $16$.
Moverse por la recta numérica
Muchos problemas cuentan una historia de subidas y bajadas. Lleva una posición actual: empieza donde empieza la historia y actualízala después de cada movimiento.
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Subir, avanzar, ir a la derecha, ganar: suma una cantidad positiva.
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Bajar, retroceder, ir a la izquierda, perder: resta, lo que te mueve hacia números menores.
También puedes agrupar los movimientos. Suma todas las cantidades de "subida", suma todas las de "bajada" y resta. Eso da el cambio neto.
Algunas historias usan palabras que cambian el siguiente movimiento:
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"El doble de largo, en la dirección opuesta" significa multiplicar el tamaño por $2$ y cambiar el signo.
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"El opuesto de la casilla en la que estás" significa saltar al número que está al otro lado del $0$.
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"El doble del valor absoluto de $-3$" significa $2 \times 3 = 6$ unidades, en la dirección que diga la historia.
Un dron de exploración submarina realiza las siguientes maniobras partiendo desde el nivel de la superficie del mar (que representamos como el valor $0$): Asciende $12$…
Un dron de exploración submarina realiza las siguientes maniobras partiendo desde el nivel de la superficie del mar (que representamos como el valor $0$):
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Asciende $12$ pies para calibrar su señal.
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Desciende $25$ pies para tomar muestras de coral.
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Sube $8$ pies para evitar una corriente fuerte.
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Baja otros $10$ pies para entrar en una cueva submarina.
Indica mediante números enteros la posición final del dron respecto al nivel del mar y dibuja un esquema vertical en tu cuaderno que represente estas posiciones.
En un juego de tablero, tu ficha se encuentra en la casilla que representa el número entero $-4$. Lanzas un dado especial y obtienes los siguientes movimientos…
En un juego de tablero, tu ficha se encuentra en la casilla que representa el número entero $-4$. Lanzas un dado especial y obtienes los siguientes movimientos consecutivos:
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Avanzas $6$ posiciones.
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Retrocedes el doble de lo que indica el valor absoluto de $-3$.
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Te mueves al opuesto de la casilla en la que te encuentras en ese momento.
¿En qué casilla terminas el juego? Indica todos los pasos intermedios.
Estamos diseñando un videojuego donde un personaje debe saltar sobre plataformas numeradas con enteros. El personaje empieza en la plataforma $0$. El primer salto es de…
Estamos diseñando un videojuego donde un personaje debe saltar sobre plataformas numeradas con enteros. El personaje empieza en la plataforma $0$.
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El primer salto es de $+5$ unidades.
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El segundo salto es el doble de largo que el primero, pero en sentido opuesto.
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El tercer salto lo lleva a una plataforma cuyo número es el opuesto del número de la plataforma en la que se encontraba tras el segundo salto.
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El cuarto salto es de $-12$ unidades.
¿En qué plataforma se encuentra al final? Dibuja la trayectoria en la recta numérica indicando cada paso.
Distancia y punto medio
La distancia entre dos enteros es el número de unidades que hay entre ellos en la recta numérica.
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De lados opuestos del $0$, suma los valores absolutos: la distancia entre $-12$ y $20$ es $12 + 20 = 32$.
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Del mismo lado del $0$, resta el valor absoluto menor del mayor: la distancia entre $-18$ y $-30$ es $30 - 18 = 12$.
Una pista como "$b$ está a $3$ unidades de $a$" da dos números posibles: $3$ a la derecha o $3$ a la izquierda. Una segunda pista como "$b < a$" elige el de la izquierda.
Un número que está a la misma distancia de otros dos es el punto medio. Halla la distancia entre ellos, toma la mitad y muévete esa cantidad desde cualquiera de los extremos.
Dos buceadores, Elena y Carlos, se encuentran en el mar. Elena está a una profundidad de $18$ pies bajo el nivel del mar. Carlos está a $12$ pies de Elena, pero él está…
Dos buceadores, Elena y Carlos, se encuentran en el mar. Elena está a una profundidad de $18$ pies bajo el nivel del mar. Carlos está a $12$ pies de Elena, pero él está en una posición más profunda.
- a) ¿A qué profundidad se encuentra Carlos? Exprésalo con un número entero.
- b) Si Elena sube $5$ pies, ¿cuál será su nueva posición?
- c) ¿Cuál es la distancia absoluta entre la nueva posición de Elena y la posición de Carlos?
Tres ciudades tienen temperaturas extremas muy curiosas en un día de invierno: La ciudad A tiene una temperatura que es el opuesto de $6$. La ciudad B tiene una…
Tres ciudades tienen temperaturas extremas muy curiosas en un día de invierno:
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La ciudad A tiene una temperatura que es el opuesto de $6$.
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La ciudad B tiene una temperatura tal que su valor absoluto es $4$, y es más cálida que la ciudad A.
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La ciudad C tiene una temperatura que se encuentra exactamente a la misma distancia de la temperatura de A que de la temperatura de B.
Calcula la temperatura de las tres ciudades y ordénalas de menor a mayor usando el símbolo $<$ .
En una expedición científica, un dron de exploración y un minisubmarino parten desde la cubierta de un barco que se encuentra exactamente al nivel del mar (altitud $0$…
En una expedición científica, un dron de exploración y un minisubmarino parten desde la cubierta de un barco que se encuentra exactamente al nivel del mar (altitud $0$ pies).
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El dron asciende $145$ pies, luego desciende $60$ pies y finalmente vuelve a subir $25$ pies.
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El submarino desciende $85$ pies, sube $30$ pies y vuelve a bajar hasta alcanzar una profundidad que duplica su distancia anterior al nivel del mar.
Si en ese instante el dron deja caer una sonda que atraviesa el aire y el agua hasta llegar al submarino, ¿qué distancia total recorre la sonda? Representa la situación en un eje vertical.
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<line x1="0" y1="370" x2="400" y2="370"/>
Trabajar hacia atrás
A veces sabes dónde termina la historia y necesitas hallar dónde empezó. Deshaz cada paso en orden inverso: suma en lugar de restar, divide en lugar de multiplicar.
Las líneas del tiempo también son cadenas de movimientos. Suma los años que vivió una persona a su año de nacimiento para obtener el año en que murió.
Un historiador está analizando la vida de un filósofo antiguo. Los datos que tiene son los siguientes: El filósofo nació en el año $42$ a.C. (que representamos como…
Un historiador está analizando la vida de un filósofo antiguo. Los datos que tiene son los siguientes:
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El filósofo nació en el año $42$ a.C. (que representamos como $-42$).
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Su hijo nació cuando el filósofo tenía $31$ años.
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El filósofo vivió $12$ años más que su hijo.
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El hijo murió en el año $28$ d.C. (que representamos como $+28$).
¿Cuántos años vivió el filósofo? ¿En qué año murió? ¿Es posible que el filósofo conociera a su nieto si este nació el año en que murió el hijo? Justifica tu respuesta usando números enteros.
Una cuenta bancaria ha tenido los siguientes movimientos en los últimos cinco días: Lunes: Depósito de un dinero desconocido $X$. Martes: Pago de un recibo de $\$120…
Una cuenta bancaria ha tenido los siguientes movimientos en los últimos cinco días:
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Lunes: Depósito de un dinero desconocido $X$.
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Martes: Pago de un recibo de $\$120$.
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Miércoles: Cobro de una factura de $\$200$.
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Jueves: El saldo se triplicó respecto al día anterior (miércoles).
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Viernes: Se retiraron $\$150$ y el saldo final quedó en exactamente $\$240$.
¿Cuál era el saldo de la cuenta el lunes antes de empezar los movimientos? Plantea la situación utilizando una cadena de operaciones con números enteros.
Enteros en el plano de coordenadas
Dos rectas numéricas, una horizontal (el eje $x$) y otra vertical (el eje $y$), se cruzan en $0$. Juntas forman el plano de coordenadas. Cada punto tiene un par ordenado $(x, y)$.
Al mover un punto, cambia una sola coordenada a la vez. Moverse a la derecha o a la izquierda cambia $x$. Moverse hacia arriba o hacia abajo cambia $y$.
Para hallar los otros vértices de un rectángulo con lados paralelos a los ejes, combina las coordenadas de los dos vértices opuestos dados. Para hallar su centro, halla el punto medio en cada eje.
Identifica las coordenadas cartesianas $(x, y)$ de los puntos $P$ y $Q$ representados en la siguiente cuadrícula. Recuerda que el primer número es el eje horizontal…
Identifica las coordenadas cartesianas $(x, y)$ de los puntos $P$ y $Q$ representados en la siguiente cuadrícula. Recuerda que el primer número es el eje horizontal (abscisas) y el segundo el vertical (ordenadas).
En un plano cartesiano, un cuadrado tiene dos de sus vértices opuestos en los puntos $A(-2, 3)$ y $C(4, -3)$. 1. Dibuja los ejes y sitúa los puntos $A$ y $C$. 2.…
En un plano cartesiano, un cuadrado tiene dos de sus vértices opuestos en los puntos $A(-2, 3)$ y $C(4, -3)$.
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Dibuja los ejes y sitúa los puntos $A$ y $C$.
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Determina las coordenadas de los otros dos vértices, $B$ y $D$, sabiendo que el cuadrado no está girado (sus lados son paralelos a los ejes).
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¿Cuáles son las coordenadas del punto central donde se cruzan las diagonales del cuadrado?
De vuelta al comienzo: Un termómetro a $-4\ ^\circ\text{F}$, una deuda de $-\$15$ y un submarino a $-85$ pies son todos enteros negativos. Cada uno mide un valor por debajo de un punto de referencia: $0\ ^\circ\text{F}$, un saldo de $\$0$ y el nivel del mar.