Factorización prima
La entrenadora Rivera tiene $13$ jugadores en la práctica y quiere formar filas iguales con más de un jugador. No se puede: $13$ jugadores solo caben en una fila de $13$, o en $13$ filas de uno. Con $12$ jugadores tiene muchas opciones: $2 \times 6$, $3 \times 4$, $4 \times 3$... ¿Qué hace que el $12$ sea tan flexible y el $13$ tan terco? La respuesta está escondida en sus factores.
Números primos y compuestos
Un primo solo se puede construir de una forma. Un compuesto se puede dividir en piezas más pequeñas. Esas piezas son las que vamos a buscar.
Clasifique los siguientes números en la tabla según sean primos (solo tienen dos divisores: el $1$ y ellos mismos) o compuestos (tienen más de dos divisores):…
Clasifique los siguientes números en la tabla según sean primos (solo tienen dos divisores: el $1$ y ellos mismos) o compuestos (tienen más de dos divisores):
$11, 14, 19, 21, 23, 27, 31, 33$
| Números Primos | Números Compuestos |
|---|---|
Árboles de factores y el método de la escalera
Todo número compuesto se puede escribir como un producto de primos. Estos primos son sus "bloques de construcción", y el proceso para encontrarlos se llama factorización prima. Mejor aún, el resultado es único: sin importar cómo lo dividas, siempre terminas con los mismos primos (solo en distinto orden).
Un árbol de factores (factor tree) divide un número en dos factores cualesquiera y luego sigue dividiendo cada factor compuesto hasta que todas las ramas terminan en primos.
Otra forma es el método de la escalera (también llamado método de la línea vertical). Divide entre el primo más pequeño que funcione, escríbelo a la derecha y sigue dividiendo el cociente hasta llegar a $1$.
Observe la siguiente "torre de división" (descomposición factorial) e identifique los números que faltan en los huecos vacíos para que sea correcta:
Observe la siguiente "torre de división" (descomposición factorial) e identifique los números que faltan en los huecos vacíos para que sea correcta:
Descomponga en factores primos el número $40$ utilizando el método de la barra vertical y exprese el resultado como un producto de potencias.
Descomponga en factores primos el número $40$ utilizando el método de la barra vertical y exprese el resultado como un producto de potencias.
Complete los huecos vacíos en este árbol de factores del número $120$. Recuerde que cada rama debe terminar en un número primo para que la descomposición sea completa.…
Complete los huecos vacíos en este árbol de factores del número $120$. Recuerde que cada rama debe terminar en un número primo para que la descomposición sea completa. Escriba después el resultado final usando potencias.
Exponentes y atajos
Cuando el mismo primo aparece varias veces, lo escribimos con un exponente: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$. El exponente cuenta cuántas veces se usa el primo. Para convertir una factorización de nuevo en el número, calcula primero cada potencia y luego multiplica.
$$2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$$Juega con las potencias de $2$ y mira qué rápido crecen:
Números que terminan en ceros
Como $10 = 2 \cdot 5$, cada cero al final de un número te da un $2$ y un $5$ gratis. Separa primero los ceros y luego factoriza lo que queda.
Averigüe de qué número se trata en cada caso resolviendo las potencias y multiplicando los factores: a) $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = $ b) $2 \cdot 3^3 = $ c) $3^2 \cdot 11 = $
Averigüe de qué número se trata en cada caso resolviendo las potencias y multiplicando los factores:
- a) $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = $
- b) $2 \cdot 3^3 = $
- c) $3^2 \cdot 11 = $
Para organizar un torneo de videojuegos, necesitamos descomponer el número de participantes en sus "bloques básicos" (factores primos). Realice la descomposición…
Para organizar un torneo de videojuegos, necesitamos descomponer el número de participantes en sus "bloques básicos" (factores primos). Realice la descomposición factorial utilizando el método de la raya vertical de los siguientes números:
- a) $126$
- b) $180$
- c) $420$
A veces, para descomponer números terminados en cero, podemos usar "atajos" mentales. Por ejemplo, sabemos que $10 = 2 \cdot 5$. Factorice los siguientes números…
A veces, para descomponer números terminados en cero, podemos usar "atajos" mentales. Por ejemplo, sabemos que $10 = 2 \cdot 5$.
Factorice los siguientes números utilizando este truco para ahorrar tiempo en la raya vertical:
- a) $1.200$
- b) $4.500$
- c) $18.000$
Cómo leer una factorización
Una factorización te dice mucho sobre un número sin multiplicar nada. Un factor primo de un número es un factor que es primo: son exactamente los primos de su factorización.
Algunas cosas más que puedes leer directamente:
-
$N$ es par si aparece un $2$ en su factorización.
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$N$ es múltiplo de $10$ si aparecen un $2$ y un $5$.
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Al multiplicar números, los exponentes de cada primo se suman. Al dividir, se restan.
Acertijos del número misterioso
Pistas como "múltiplo de $8$" o "sigue siendo divisible entre $5$ después de dividir" son pistas sobre exponentes. "Múltiplo de $8 = 2^3$" significa que el exponente de $2$ es al menos $3$. Dividir entre un primo baja su exponente en $1$.
Sin realizar la multiplicación, observe la siguiente descomposición de un número secreto $n$: $n = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$ Indique si las siguientes afirmaciones son…
Sin realizar la multiplicación, observe la siguiente descomposición de un número secreto $n$:
$n = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$
Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas razonando su respuesta:
- a) El número $n$ es múltiplo de $5$.
- b) El número $n$ es divisible por $7$.
- c) El número $3$ es un divisor de $n$.
- d) El número $n$ es par.
Observe la descomposición de un número "misterioso" $N$: $N = 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2$ Sin necesidad de calcular el valor de $N$, razone si las siguientes afirmaciones son…
Observe la descomposición de un número "misterioso" $N$:
$N = 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2$
Sin necesidad de calcular el valor de $N$, razone si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
- a) $N$ es un número par.
- b) $N$ es divisible por $9$.
- c) $10$ es un divisor de $N$.
- d) $N$ es múltiplo de $25$.
Un número misterioso $n$ tiene la siguiente descomposición en factores primos: $n = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c$. Sabemos que: Si dividimos $n$ entre $10$, el resultado…
Un número misterioso $n$ tiene la siguiente descomposición en factores primos: $n = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c$.
Sabemos que:
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Si dividimos $n$ entre $10$, el resultado sigue siendo divisible por $5$.
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Si dividimos $n$ entre $18$, el resultado ya no es divisible por $3$.
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El número $n$ es un múltiplo de $8$, pero si lo dividimos entre $2$, deja de ser múltiplo de $8$.
Calcule los valores de los exponentes $a$, $b$ y $c$ y halle el valor del número $n$.
Cómo hallar todos los factores
Una vez que tienes la factorización prima, puedes listar todos los factores combinando los primos, sin tanteo. Toma cada primo y elige cuántas copias usar, desde ninguna hasta su exponente.
Para $45 = 3^2 \cdot 5$: las potencias de $3$ son $1, 3, 9$ y las de $5$ son $1, 5$. Multiplica cada pareja.
Los factores de $45$ son $1, 3, 5, 9, 15, 45$. Son $6$ factores, que es una cuadrícula de $3 \times 2$.
Las parejas de factores sirven para formar grupos iguales. Si un factor de $150$ te dice cuántos van en cada caja, el factor que le corresponde te dice cuántas cajas hay. Con los rectángulos pasa lo mismo: un rectángulo de área $N$ tiene lados cuyas longitudes son una pareja de factores de $N$.
Lucía quiere organizar sus $28$ videojuegos en cajas iguales. Para que la organización sea "matemáticamente perfecta", ha decidido que el número de videojuegos en cada…
Lucía quiere organizar sus $28$ videojuegos en cajas iguales. Para que la organización sea "matemáticamente perfecta", ha decidido que el número de videojuegos en cada caja debe ser un factor primo de $28$.
¿De cuántas formas puede organizar sus cajas y cuántos juegos irían en cada una? (Ayuda: empiece haciendo la descomposición factorial de $28$).
Un repostero ha fabricado $150$ bombones artesanales. Quiere guardarlos en cajas de forma que en cada caja haya el mismo número de bombones y que no sobre ninguno. a)…
Un repostero ha fabricado $150$ bombones artesanales. Quiere guardarlos en cajas de forma que en cada caja haya el mismo número de bombones y que no sobre ninguno.
- a) Haga la descomposición factorial de $150$.
- b) Utilizando los factores del apartado anterior, escriba todas las formas posibles de empaquetar los bombones si cada caja debe tener entre $10$ y $30$ unidades.
Halle el número más pequeño que tiene exactamente $6$ divisores, sabiendo que en su descomposición factorial solo aparecen los dos primeros números primos. Explique su…
Halle el número más pequeño que tiene exactamente $6$ divisores, sabiendo que en su descomposición factorial solo aparecen los dos primeros números primos. Explique su razonamiento analizando los exponentes de su descomposición.
MCD y mcm con la factorización prima
Las factorizaciones primas son la forma más rápida de hallar el MCD (máximo común divisor, GCF) y el mcm (mínimo común múltiplo, LCM) de números grandes. En inglés, el MCD se llama GCF (greatest common factor) y a veces GCD; es lo mismo.
Toma $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$ y $300 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$.
El centro es el MCD: $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$. Todo lo que hay en el diagrama completo es el mcm.
Usa el MCD cuando necesites repartir cosas en los grupos o piezas iguales más grandes (por ejemplo, el mosaico cuadrado o la caja en forma de cubo más grande que cabe exactamente en todas las medidas; luego divide cada medida entre ese número para contar cuántos caben). Usa el mcm cuando las cosas se repiten en un horario y quieres saber cuándo coinciden otra vez (por ejemplo, habilidades que se recargan cada cierta cantidad de segundos).
Una empresa de logística quiere fabricar cajas cúbicas lo más grandes posibles para transportar tres tipos de productos que vienen en contenedores rectangulares. Las…
Una empresa de logística quiere fabricar cajas cúbicas lo más grandes posibles para transportar tres tipos de productos que vienen en contenedores rectangulares. Las dimensiones de los productos son:
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Producto A: $360$ pulgadas
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Producto B: $480$ pulgadas
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Producto C: $540$ pulgadas
Utilice la descomposición factorial para encontrar la medida del lado de la caja cúbica (que debe ser el Máximo Común Divisor) y exprese dicha medida como producto de sus factores primos. ¿Cuántas cajas de ese tamaño cabrán en total si sumamos las de los tres productos?
Tres "gamers" están jugando a un videojuego en línea. Sus personajes tienen habilidades especiales que se recargan en tiempos diferentes: El primer personaje lanza un…
Tres "gamers" están jugando a un videojuego en línea. Sus personajes tienen habilidades especiales que se recargan en tiempos diferentes:
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El primer personaje lanza un ataque cada $2^3 \cdot 3$ segundos.
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El segundo personaje usa un escudo cada $2^2 \cdot 3^2$ segundos.
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El tercer personaje se cura cada $2 \cdot 3 \cdot 5$ segundos.
Si al empezar la partida a las 18:00:00 los tres han usado su habilidad a la vez, ¿cuántos segundos deben pasar para que vuelvan a coincidir? Exprese el tiempo de espera primero como descomposición factorial y luego en minutos y segundos.
Dados los números $A = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 11$ y $B = 2^3 \cdot 3^4 \cdot 7$. Sin calcular el valor numérico de $A$ ni de $B$, responda razonadamente: a) ¿Es el…
Dados los números $A = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 11$ y $B = 2^3 \cdot 3^4 \cdot 7$.
Sin calcular el valor numérico de $A$ ni de $B$, responda razonadamente:
- a) ¿Es el producto $A \cdot B$ divisible por $55$?
- b) ¿Es el producto $A \cdot B$ un múltiplo de $54$?
- c) ¿Cuál es la descomposición factorial del número que resulta de hacer $M.C.D.(A, B)$?
Volvamos al inicio: los $13$ jugadores de la entrenadora Rivera solo pueden formar una fila porque $13$ es primo: sus únicos factores son $1$ y $13$. El número $12 = 2^2 \cdot 3$ es compuesto y tiene $(2 + 1)(1 + 1) = 6$ factores ($1, 2, 3, 4, 6, 12$), así que ella puede formar muchos grupos iguales.