Cómo resolver ecuaciones lineales
Jayden guarda sus cartas coleccionables en $2$ paquetes idénticos y tiene $3$ cartas sueltas en el bolsillo. En total tiene $15$ cartas. ¿Cuántas cartas hay en cada paquete? Acabas de plantear una ecuación sin darte cuenta: $2x + 3 = 15$. Resolverla significa encontrar $x$ sin desequilibrar la "balanza".
¿Qué es una ecuación?
Para comprobar una solución, sustituye la variable por el número y verifica si ambos lados dan el mismo valor. Para $x = 6$: $2 \cdot 6 + 3 = 15$ ✓. Para $x = 5$: $2 \cdot 5 + 3 = 13 \neq 15$ ✗, así que $5$ no es una solución.
Comprobar si un número es la solución de una ecuación es fundamental. Indica si el valor $x = 4$ es la solución de las siguientes ecuaciones de primer grado: a)…
Comprobar si un número es la solución de una ecuación es fundamental. Indica si el valor $x = 4$ es la solución de las siguientes ecuaciones de primer grado:
- a) $x + 7 = 11$
- b) $3x = 12$
- c) $2x - 1 = 5$
Cómo escribir una ecuación a partir de palabras
Gran parte del trabajo en los problemas con palabras es traducir. Lee la oración en partes pequeñas y convierte cada parte en matemáticas.
| Palabras | Matemáticas |
|---|---|
| más, más que, aumentado en, sumado a | $+$ |
| menos, menos que, disminuido en, quitar | $-$ |
| veces, el doble de, producto de | $\times$ (el doble de $x$ es $2x$) |
| dividido entre, repartido en partes iguales entre | $\div$ |
| es, es igual a, da, resulta en | $=$ |
Un dibujo rápido como este modelo de barras te ayuda a ver qué partes suman el total.
El lenguaje de las ecuaciones nos permite resolver misterios. Imagina que estás jugando a "Adivina mi número" con un amigo. Tu amigo te dice: "Si a mi número secreto le…
El lenguaje de las ecuaciones nos permite resolver misterios. Imagina que estás jugando a "Adivina mi número" con un amigo. Tu amigo te dice:
"Si a mi número secreto le sumas $12$, el resultado es $35$".
Traduce esta frase al lenguaje algebraico llamando $x$ al número secreto y escribe la ecuación correspondiente.
En tu videojuego favorito, has conseguido una puntuación de $x$ puntos. Después de completar una misión diaria, te han regalado $25$ puntos extra, y ahora tienes un…
En tu videojuego favorito, has conseguido una puntuación de $x$ puntos. Después de completar una misión diaria, te han regalado $25$ puntos extra, y ahora tienes un total de $110$ puntos.
Escribe la ecuación que describe esta situación y averigua mentalmente cuántos puntos tenías al principio.
Tres amigos han ido a merendar y han pedido tres batidos iguales. Al pagar con un billete de $\$20$, les han devuelto $\$11$. Si llamamos $x$ al precio de un solo…
Tres amigos han ido a merendar y han pedido tres batidos iguales. Al pagar con un billete de $\$20$, les han devuelto $\$11$.
Si llamamos $x$ al precio de un solo batido, plantea una ecuación que represente el coste total de la merienda más la vuelta recibida.
(Pista: $3 \cdot (\text{precio batido}) + \text{vuelta} = \text{total pagado}$)
La balanza: cómo despejar la variable
Imagina una balanza en equilibrio. Si quitas la misma cantidad de ambos platos, o pones la misma cantidad en ambos, sigue en equilibrio. Esa es la regla de oro de las ecuaciones: lo que hagas de un lado, hazlo del otro lado.
Para deshacer una operación, usa su operación inversa:
La idea es sencilla. La variable quedó "envuelta" en operaciones, así que la desenvuelves en el orden contrario. En $2x + 3 = 15$, $x$ se multiplicó por $2$ y luego se sumó $3$. Entonces primero resta $3$ y después divide entre $2$.
Las ecuaciones de un paso funcionan igual: $x - 7 = 12$ da $x = 12 + 7 = 19$. $5x = 40$ da $x = 8$. $\dfrac{x}{4} = 6$ da $x = 6 \times 4 = 24$.
Una ecuación es como una balanza en perfecto equilibrio. Observa la siguiente imagen donde los círculos naranjas representan nuestra incógnita $x$ y los cuadrados grises…
Una ecuación es como una balanza en perfecto equilibrio. Observa la siguiente imagen donde los círculos naranjas representan nuestra incógnita $x$ y los cuadrados grises representan unidades de $1$ lb.
Escribe la ecuación que representa el equilibrio de la balanza:
Resuelve estas ecuaciones de primer grado muy sencillas utilizando la operación inversa (si algo suma, pasa restando; si algo multiplica, pasa dividiendo): a)…
Resuelve estas ecuaciones de primer grado muy sencillas utilizando la operación inversa (si algo suma, pasa restando; si algo multiplica, pasa dividiendo):
- a) $x + 5 = 15$
- b) $x - 9 = 2$
- c) $4x = 24$
- d) $\frac{x}{3} = 5$
En una balanza digital de precisión, hemos colocado dos cajas de suministros idénticas (que llamaremos $x$) y una pesa de $25$ onzas en el platillo izquierdo. Para…
En una balanza digital de precisión, hemos colocado dos cajas de suministros idénticas (que llamaremos $x$) y una pesa de $25$ onzas en el platillo izquierdo. Para equilibrar la balanza, en el platillo derecho hemos puesto una pesa de $135$ onzas.
Plantea la ecuación que representa este equilibrio y calcula cuánto pesa cada caja $x$.
Cómo escribir y resolver un problema con historia
Ahora junta las dos habilidades. Sigue cuatro pasos cada vez:
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Define la variable (di exactamente qué significa $x$, con unidades).
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Escribe la ecuación a partir de la historia.
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Resuélvela con operaciones inversas.
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Comprueba en la historia, no solo en la ecuación. ¿Tiene sentido la respuesta?
Sofía tiene una colección de tarjetas de fútbol. Su hermano pequeño le ha quitado $8$ tarjetas y ahora solo le quedan $22$. Si llamamos $x$ al número inicial de tarjetas…
Sofía tiene una colección de tarjetas de fútbol. Su hermano pequeño le ha quitado $8$ tarjetas y ahora solo le quedan $22$.
Si llamamos $x$ al número inicial de tarjetas que tenía Sofía, escribe la ecuación que representa este problema y resuélvela para saber cuántas tarjetas tenía al principio.
Un famoso streamer* está sorteando tarjetas de regalo entre sus suscriptores. Ha anunciado que "el triple de las tarjetas que regaló ayer, menos las 12 que ha guardado…
Un famoso streamer está sorteando tarjetas de regalo entre sus suscriptores. Ha anunciado que "el triple de las tarjetas que regaló ayer, menos las 12 que ha guardado para hoy, equivale a 48 tarjetas".
Si llamamos $x$ al número de tarjetas que regaló ayer, escribe la ecuación que describe la situación y resuélvela para hallar ese número.
Problemas de perímetro
La geometría te da ecuaciones ya listas. El perímetro es la distancia alrededor de una figura, así que suma todos los lados. Para un rectángulo de largo $\ell$ y ancho $w$: $P = 2\ell + 2w$.
Para un triángulo, solo suma los tres lados. Si los lados son $x$, $x + 3$ y $2x - 1$ y el perímetro es de $22$ pies, entonces $x + (x + 3) + (2x - 1) = 22$. Eso da $4x + 2 = 22$, así que $x = 5$, y los lados miden $5$, $8$ y $9$ pies.
El perímetro de una parcela rectangular mide $60$ pies. Sabemos que el largo de la parcela mide $20$ pies. Queremos averiguar cuánto mide el ancho ($x$). Utiliza la…
El perímetro de una parcela rectangular mide $60$ pies. Sabemos que el largo de la parcela mide $20$ pies. Queremos averiguar cuánto mide el ancho ($x$).
Utiliza la fórmula del perímetro del rectángulo para escribir una ecuación:
$2 \cdot 20 + 2 \cdot x = 60$
Escribe los pasos para despejar la $x$ y calcular el ancho de la parcela.
Estamos diseñando un nivel para un videojuego y necesitamos que una plataforma rectangular tenga un perímetro total de $50$ pies. El diseño exige que la plataforma sea…
Estamos diseñando un nivel para un videojuego y necesitamos que una plataforma rectangular tenga un perímetro total de $50$ pies. El diseño exige que la plataforma sea $5$ pies más larga que ancha.
Calcula las dimensiones (ancho y largo) de la plataforma planteando una ecuación donde $x$ sea el ancho.
Estamos diseñando una nueva pista de skate con forma triangular. El perímetro total de la pista debe ser de $54$ pies. Las condiciones del diseño son las siguientes: El…
Estamos diseñando una nueva pista de skate con forma triangular. El perímetro total de la pista debe ser de $54$ pies. Las condiciones del diseño son las siguientes:
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El lado más largo mide $x$ pies.
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El lado mediano mide la mitad que el lado largo más $3$ pies.
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El lado más corto mide $10$ pies menos que el lado largo.
Halla las dimensiones de los tres lados de la pista resolviendo la ecuación correspondiente.
Varias cantidades, una sola variable
Con frecuencia un problema describe varias cantidades que dependen unas de otras. Elige la cantidad más pequeña o "base" como $x$ y escribe las demás usando $x$.
Los enteros consecutivos son números enteros seguidos, como $14, 15, 16$. Si el primero es $x$, los siguientes son $x + 1$ y $x + 2$.
Tres amigos están coleccionando tarjetas de una serie de animación. Lucía tiene el doble de tarjetas que Marcos, y Paula tiene 10 tarjetas más que Marcos. Si entre los…
Tres amigos están coleccionando tarjetas de una serie de animación. Lucía tiene el doble de tarjetas que Marcos, y Paula tiene 10 tarjetas más que Marcos. Si entre los tres suman un total de $110$ tarjetas, ¿cuántas tiene cada uno?
Pista: Llama $x$ a las tarjetas de Marcos.
La suma de tres números enteros consecutivos es igual a $72$. Plantea una ecuación de primer grado para encontrar cuáles son esos tres números.
La suma de tres números enteros consecutivos es igual a $72$. Plantea una ecuación de primer grado para encontrar cuáles son esos tres números.
Tres amigos deciden comprar una suscripción anual a una plataforma de streaming que cuesta un total de $\$165…
Tres amigos deciden comprar una suscripción anual a una plataforma de streaming que cuesta un total de $\$165$. Por el uso que le dan, han acordado que:
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Sara pagará el doble que Lucas.
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Lucas pagará $\$15$ más que Mateo.
Si llamamos $x$ al dinero que paga Mateo, plantea una ecuación de primer grado y calcula cuánto debe aportar cada uno para completar el pago.
Ecuaciones con paréntesis
Cuando una ecuación tiene paréntesis, empieza por quitarlos. Usa la propiedad distributiva: multiplica cada término de adentro por el número que está delante. Si la variable queda en ambos lados, resta el término con variable más pequeño en ambos lados para que aparezca una sola vez.
Si los paréntesis están anidados, trabaja de adentro hacia afuera. Por ejemplo, en $2[x - (3 - x)]$, primero simplifica $3 - x$ por dentro, quita los paréntesis interiores, combina y solo entonces multiplica por $2$.
Resuelve la siguiente ecuación de primer grado eliminando primero los paréntesis y agrupando después los términos con incógnita: $4(x - 3) + 2x = 3(x + 2) + 9$
Resuelve la siguiente ecuación de primer grado eliminando primero los paréntesis y agrupando después los términos con incógnita:
$4(x - 3) + 2x = 3(x + 2) + 9$
En un juego de rol, la fuerza de tu personaje se calcula mediante una "fórmula de equilibrio". Para subir de nivel, debes encontrar el valor de la incógnita $x$ que hace…
En un juego de rol, la fuerza de tu personaje se calcula mediante una "fórmula de equilibrio". Para subir de nivel, debes encontrar el valor de la incógnita $x$ que hace que ambos lados de la balanza mágica sean iguales. Resuelve la siguiente ecuación:
$2(3x - 5) - 4(x - 2) = 16 - (x + 3)$
Encuentra el valor de $x$ que resuelve la siguiente ecuación compleja con paréntesis anidados: $3[2x - (x + 4)] = 2(3x + 1) - 5$ Asegúrate de resolver primero los…
Encuentra el valor de $x$ que resuelve la siguiente ecuación compleja con paréntesis anidados:
$3[2x - (x + 4)] = 2(3x + 1) - 5$
Asegúrate de resolver primero los paréntesis interiores y simplificar cada miembro antes de trasponer términos.
Ecuaciones con fracciones
Si la variable está dividida en varios lugares, elimina los denominadores multiplicando cada término de ambos lados por el mcm (mínimo común múltiplo) de los denominadores. Así la ecuación queda solo con números enteros.
Algunos problemas escriben el mcm de $3$ y $6$ como mcm(3, 6). Es simplemente el mcm y funciona de la misma manera.
Halla un número tal que su mitad más su cuarta parte sea igual a $15$. Para resolverlo, busca el mínimo común múltiplo de los denominadores para limpiar la ecuación de…
Halla un número tal que su mitad más su cuarta parte sea igual a $15$. Para resolverlo, busca el mínimo común múltiplo de los denominadores para limpiar la ecuación de fracciones.
$\frac{x}{2} + \frac{x}{4} = 15$
Resuelve la siguiente ecuación con denominadores simplificando cada paso: $\frac{2x - 1}{3} - \frac{x + 2}{6} = 2$ Recuerda multiplicar todos los términos de la ecuación…
Resuelve la siguiente ecuación con denominadores simplificando cada paso:
$\frac{2x - 1}{3} - \frac{x + 2}{6} = 2$
Recuerda multiplicar todos los términos de la ecuación por el $m.c.m.(3, 6)$ para trabajar solo con números enteros.
Resuelve la siguiente ecuación con denominadores, prestando mucha atención al signo negativo que precede a la segunda fracción:…
Resuelve la siguiente ecuación con denominadores, prestando mucha atención al signo negativo que precede a la segunda fracción:
$\frac{x + 5}{2} - \frac{2x - 3}{3} = \frac{5}{6}$
Recuerda que para eliminar los denominadores debes multiplicar todos los términos por el m.c.m. de los mismos.
Problemas con historia más difíciles
Algunas historias llevan a una ecuación con la variable en ambos lados, o a fracciones de un total. Sirven los mismos cuatro pasos: definir, escribir, resolver y comprobar.
Cuando una figura cambia ("aumenta el ancho en $2$ y disminuye el largo en $4$"), dibuja el nuevo rectángulo y escribe sus lados con $x$ antes de usar la fórmula del perímetro.
La edad de un famoso influencer* es el triple de la que tenía hace $10$ años. Si llamamos $x$ a su edad actual, ¿podrías averiguar cuántos años tiene planteando y…
La edad de un famoso influencer es el triple de la que tenía hace $10$ años. Si llamamos $x$ a su edad actual, ¿podrías averiguar cuántos años tiene planteando y resolviendo una ecuación de primer grado?
El equipo de robótica de tu escuela secundaria ha construido un circuito con forma de rectángulo para una competencia. El largo del circuito mide el triple que su ancho.…
El equipo de robótica de tu escuela secundaria ha construido un circuito con forma de rectángulo para una competencia. El largo del circuito mide el triple que su ancho. Si aumentamos el ancho en $2$ pies y disminuimos el largo en $4$ pies, el perímetro sigue siendo de $44$ pies. Calcula las dimensiones originales del circuito.
Una tienda de videojuegos ha vendido durante la mañana la tercera parte de las consolas que tenía en inventario. Por la tarde, ha vendido la mitad de las que le…
Una tienda de videojuegos ha vendido durante la mañana la tercera parte de las consolas que tenía en inventario. Por la tarde, ha vendido la mitad de las que le quedaban. Si al cerrar la tienda todavía tienen $12$ consolas sin vender, ¿con cuántas consolas empezaron el día?
Plantea la ecuación llamando $x$ al número total de consolas al inicio del día.
Volvamos al principio: Para encontrar cuántas cartas hay en cada paquete, resuelve $2x + 3 = 15$. Resta $3$ en ambos lados para obtener $2x = 12$, y luego divide entre $2$ para obtener $x = 6$. Cada paquete tiene $6$ cartas.