Polígonos
Un balón de fútbol está cosido con 12 pentágonos y 20 hexágonos. Una señal de alto (stop) es un octágono. Un panal de abejas está hecho solo de hexágonos. ¿Por qué los hexágonos pueden cubrir un piso sin dejar huecos, pero un balón necesita pentágonos también? Al final de esta página lo responderás con números.
¿Qué es un polígono?
Las partes de un polígono tienen nombre. Los lados son los segmentos. Un vértice es una esquina donde se unen dos lados. Un ángulo interior es la abertura en un vértice, medida dentro de la figura. Un polígono siempre tiene el mismo número de lados, de vértices y de ángulos interiores.
No toda figura cerrada es un polígono. Una figura no lo es si está abierta (tiene un hueco), si tiene un borde curvo o si sus lados se cruzan.
Imagina que estás diseñando los iconos para una nueva aplicación de celular. Para que el diseño sea limpio, el programador te pide que identifiques cuáles de estas…
Imagina que estás diseñando los iconos para una nueva aplicación de celular. Para que el diseño sea limpio, el programador te pide que identifiques cuáles de estas figuras son polígonos y cuáles no. Justifica tu respuesta brevemente indicando qué característica falla en las figuras que no lo son.
En el siguiente polígono, que representa la planta de un pequeño cuarto de almacenamiento, identifica y cuenta los siguientes elementos: Número de vértices. Número de…
En el siguiente polígono, que representa la planta de un pequeño cuarto de almacenamiento, identifica y cuenta los siguientes elementos:
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Número de vértices.
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Número de lados.
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Número de ángulos interiores.
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Traza una diagonal que una el vértice $A$ con el vértice $C$.
Cómo se nombran los polígonos según sus lados
Los polígonos se nombran según cuántos lados tienen. La palabra griega poli significa "muchos" y gono significa "ángulo".
Clasifica los siguientes polígonos según su número de lados utilizando los nombres técnicos correspondientes (triángulo, cuadrilátero, pentágono, etc.):
Clasifica los siguientes polígonos según su número de lados utilizando los nombres técnicos correspondientes (triángulo, cuadrilátero, pentágono, etc.):
Polígonos convexos y cóncavos
En un polígono cóncavo, algunas diagonales pueden quedar fuera de la figura. Aun así cuentan como diagonales.
Un polígono es convexo si todos sus ángulos interiores son menores de $180^\circ$ y cóncavo si tiene al menos uno mayor de $180^\circ$. Observa estas dos flechas de…
Un polígono es convexo si todos sus ángulos interiores son menores de $180^\circ$ y cóncavo si tiene al menos uno mayor de $180^\circ$. Observa estas dos flechas de señalización e indica cuál es cóncava y cuál es convexa.
Una pista de skate tiene el perfil lateral que se muestra en el siguiente dibujo. Observa la figura y responde razonadamente a las siguientes preguntas: ¿Se trata de un…
Una pista de skate tiene el perfil lateral que se muestra en el siguiente dibujo. Observa la figura y responde razonadamente a las siguientes preguntas:
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¿Se trata de un polígono cóncavo o convexo? ¿Por qué?
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Indica el número de lados, vértices y diagonales totales que tiene este polígono.
Polígonos regulares e irregulares
Para que un polígono sea regular, debe tener todos sus lados de la misma longitud y todos sus ángulos iguales. Observa las siguientes figuras de un videojuego y…
Para que un polígono sea regular, debe tener todos sus lados de la misma longitud y todos sus ángulos iguales. Observa las siguientes figuras de un videojuego y determina cuál de ellas cumple las condiciones para ser un polígono regular.
Perímetro
El perímetro solo depende de las longitudes de los lados, nunca de los ángulos. Dos polígonos de formas muy distintas pueden tener el mismo perímetro.
Si multiplicas todos los lados de un polígono por el mismo número, el perímetro queda multiplicado por ese mismo número. Si duplicas todos los lados, el perímetro se duplica.
Calcula el perímetro de la siguiente parcela de jardín si sabemos que sus lados miden las cantidades indicadas en el dibujo. Recuerda que el perímetro es la suma de las…
Calcula el perímetro de la siguiente parcela de jardín si sabemos que sus lados miden las cantidades indicadas en el dibujo. Recuerda que el perímetro es la suma de las longitudes de todos sus lados.
Calcula el perímetro de un pentágono irregular sabiendo que tiene dos lados de $8\text{ cm}$ cada uno, otros dos lados que miden el doble que los anteriores, y un último…
Calcula el perímetro de un pentágono irregular sabiendo que tiene dos lados de $8\text{ cm}$ cada uno, otros dos lados que miden el doble que los anteriores, y un último lado que mide la mitad de la suma de los otros cuatro. ¿Sería posible que este pentágono fuera regular? Explica por qué.
En un taller de joyería se está diseñando un colgante uniendo dos tipos de piezas: un hexágono regular y seis triángulos equiláteros. Si el perímetro del hexágono…
En un taller de joyería se está diseñando un colgante uniendo dos tipos de piezas: un hexágono regular y seis triángulos equiláteros. Si el perímetro del hexágono central es de $24 \text{ cm}$:
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¿Cuál es el perímetro total de la figura estrellada resultante?
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Calcula el valor del ángulo interior de los picos de la estrella (los ángulos que no tocan al hexágono).
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Si duplicamos el lado del hexágono, ¿qué ocurre con el perímetro total de la estrella? ¿Se duplica, se triplica o aumenta en otra proporción?
Diagonales
¿Cómo contar las diagonales sin dibujarlas todas? Elige un vértice. No puede unirse consigo mismo ni con sus dos vecinos (esos son lados), así que tiene $n - 3$ diagonales. Hay $n$ vértices, lo que da $n(n-3)$. Pero cada diagonal tiene dos extremos, así que contaste cada una dos veces.
| $n$ | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|
| diagonales | 0 | 2 | 5 | 9 |
Una diagonal es un segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono. Fíjate en el pentágono (5 lados) del dibujo y dibuja todas las diagonales posibles que…
Una diagonal es un segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono. Fíjate en el pentágono (5 lados) del dibujo y dibuja todas las diagonales posibles que salgan desde el vértice marcado en naranja. ¿Cuántas diagonales totales crees que tiene un pentágono si las dibujas todas?
Un grupo de ingenieros está diseñando una nueva antena de comunicaciones con forma de heptágono convexo. Para asegurar la estructura, necesitan colocar cables de…
Un grupo de ingenieros está diseñando una nueva antena de comunicaciones con forma de heptágono convexo. Para asegurar la estructura, necesitan colocar cables de refuerzo que unan todos los vértices entre sí, pero que no sean los propios lados de la antena. ¿Cuántos cables de refuerzo (diagonales) tendrán que instalar en total? Dibuja el polígono y traza todas las diagonales que salen desde un único vértice para ayudarte a razonar.
Ocho amigos se sientan alrededor de una mesa circular para jugar a un juego de rol. Cada jugador debe tener un "vínculo mágico" (una cuerda de color) con todos los demás…
Ocho amigos se sientan alrededor de una mesa circular para jugar a un juego de rol. Cada jugador debe tener un "vínculo mágico" (una cuerda de color) con todos los demás jugadores de la mesa, excepto con los que tiene sentados justo a su lado izquierdo y derecho. Si consideramos que los jugadores son los vértices de un octágono:
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¿Qué elemento del polígono representan las cuerdas de los "vínculos mágicos"?
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Calcula el número total de cuerdas que habrá sobre la mesa.
La suma de los ángulos interiores
Ya sabes que los ángulos de un triángulo suman $180^\circ$. Cualquier polígono se puede cortar en triángulos trazando todas las diagonales desde un vértice.
| Lados $n$ | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Triángulos | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Suma de ángulos | $180^\circ$ | $360^\circ$ | $540^\circ$ | $720^\circ$ | $900^\circ$ | $1080^\circ$ |
Observa que cada lado extra añade un triángulo más, así que la suma crece $180^\circ$. Esto funciona para polígonos convexos y cóncavos.
Sabemos que la suma de los ángulos de cualquier triángulo es siempre $180^\circ$. Si dividimos un cuadrilátero cualquiera trazando una de sus diagonales, obtenemos dos…
Sabemos que la suma de los ángulos de cualquier triángulo es siempre $180^\circ$. Si dividimos un cuadrilátero cualquiera trazando una de sus diagonales, obtenemos dos triángulos. Basándote en esto, ¿cuánto crees que sumarán los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero?
En un videojuego de construcción, un jugador ha diseñado una parcela con forma de cuadrilátero irregular para colocar un huerto. Al medir los ángulos interiores con una…
En un videojuego de construcción, un jugador ha diseñado una parcela con forma de cuadrilátero irregular para colocar un huerto. Al medir los ángulos interiores con una herramienta del juego, obtiene los siguientes valores: $115^\circ$, $82^\circ$ y $96^\circ$. El cuarto ángulo está oculto por un error de la interfaz. Calcula el valor de dicho ángulo sabiendo que la suma de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero es siempre la misma.
Para un proyecto de robótica, una placa metálica debe tener la forma de un hexágono. El fabricante dice que la placa es "equiángula" (todos sus ángulos interiores son…
Para un proyecto de robótica, una placa metálica debe tener la forma de un hexágono. El fabricante dice que la placa es "equiángula" (todos sus ángulos interiores son iguales), pero no es "equilátera" (sus lados no miden lo mismo).
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¿Es este hexágono un polígono regular? Razona la respuesta basándote en la definición.
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Si la placa tiene 6 lados, ¿cuánto debe sumar la medida de todos sus ángulos interiores?
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¿Cuál es el valor de cada uno de sus ángulos interiores?
Ángulos interiores de un polígono regular
En un polígono regular todos los ángulos son iguales, así que puedes repartir el total en partes iguales.
Ahora piensa en los huecos. Una vuelta completa alrededor de un punto mide $360^\circ$. Las piezas encajan alrededor de un punto sin dejar hueco solo si sus ángulos suman exactamente $360^\circ$. Los cuadrados lo logran: $90 + 90 + 90 + 90 = 360$.
Un decorador está diseñando un mosaico moderno utilizando piezas con forma de pentágono regular. Al intentar juntar tres piezas en un mismo punto (vértice común), se da…
Un decorador está diseñando un mosaico moderno utilizando piezas con forma de pentágono regular. Al intentar juntar tres piezas en un mismo punto (vértice común), se da cuenta de que queda un pequeño hueco vacío.
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Calcula la medida del ángulo interior de un pentágono regular.
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Sabiendo que una vuelta completa alrededor de un punto son $360^\circ$, ¿cuántos grados mide el hueco que queda libre al juntar tres pentágonos?
Un arquitecto está diseñando una claraboya con forma de polígono regular. Se sabe que la suma de todos sus ángulos interiores es de exactamente $1080^\circ$. Sin…
Un arquitecto está diseñando una claraboya con forma de polígono regular. Se sabe que la suma de todos sus ángulos interiores es de exactamente $1080^\circ$. Sin embargo, por un error de fabricación, uno de los ángulos interiores ha resultado ser $5^\circ$ mayor de lo que debería.
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¿Cuántos lados tiene la claraboya original?
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Si el resto de los ángulos se mantienen iguales, ¿cuánto mide el ángulo que ha salido defectuoso?
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¿Sigue siendo un polígono regular? Razona tu respuesta basándote en la definición de polígono regular.
Ángulos centrales y exteriores
Traza líneas desde el centro de un polígono regular hasta cada vértice. El polígono queda cortado en $n$ triángulos idénticos, y los ángulos en el centro completan una vuelta entera.
Un ángulo exterior se forma cuando prolongas un lado más allá de un vértice. Queda fuera del polígono, entre el lado prolongado y el lado siguiente. El ángulo interior y el exterior en un vértice forman una línea recta, así que suman $180^\circ$.
El diafragma de una cámara de fotos profesional está formado por láminas que, al cerrarse, dejan un hueco con forma de octágono regular. Calcula cuánto mide el ángulo…
El diafragma de una cámara de fotos profesional está formado por láminas que, al cerrarse, dejan un hueco con forma de octágono regular.
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Calcula cuánto mide el ángulo central de este octágono.
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Calcula cuánto mide cada uno de sus ángulos interiores.
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Si la cámara tuviera un diafragma de 10 lados (decágono regular), ¿el ángulo central sería mayor o menor? Justifica tu respuesta.
Imagina un polígono regular donde el valor de su ángulo central es la cuarta parte del valor de su ángulo interior. 1. Plantea una ecuación que relacione el ángulo…
Imagina un polígono regular donde el valor de su ángulo central es la cuarta parte del valor de su ángulo interior.
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Plantea una ecuación que relacione el ángulo central ($360/n$) y el ángulo interior ($180 \cdot (n-2) / n$) para hallar el número de lados $n$.
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¿Cómo se llama este polígono?
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¿Cuál es la suma de sus ángulos exteriores? (Recuerda que esta propiedad es común a todos los polígonos convexos).
Triángulos dentro de un polígono
Cortar un polígono en triángulos también te ayuda a hallar los ángulos de esos triángulos. Primero, un recordatorio de cómo se clasifican los triángulos.
Un equipo de diseño gráfico quiere crear una baldosa con forma de hexágono regular de lado $L$. Dentro del hexágono, trazan todas las diagonales que salen de un mismo…
Un equipo de diseño gráfico quiere crear una baldosa con forma de hexágono regular de lado $L$. Dentro del hexágono, trazan todas las diagonales que salen de un mismo vértice.
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¿En cuántos triángulos queda dividido el hexágono?
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¿Son esos triángulos iguales entre sí? Clasifícalos según sus lados.
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Si el ángulo interior del hexágono es de $120^\circ$, ¿cuánto miden los ángulos de cada uno de los triángulos formados?
Triángulos rectángulos y el teorema de Pitágoras
Algunos problemas de polígonos esconden un triángulo rectángulo, por ejemplo cuando cortas una esquina de un cuadrado, o cuando dos lados de un terreno se unen a $90^\circ$. En un triángulo rectángulo, los dos lados que forman el ángulo recto son los catetos, y el lado opuesto a él, el más largo, es la hipotenusa.
Estudiarás este teorema a fondo en 8.º grado. Aquí solo necesitas usarlo. Prueba a cambiar los catetos y observa los cuadrados.
Si $c^2$ no es un cuadrado perfecto, usa la tecla de raíz cuadrada de la calculadora y redondea. Para catetos de $2$ y $3$: $c^2 = 4 + 9 = 13$, así que $c = \sqrt{13} \approx 3.61$.
Cuando cortas una esquina de un cuadrado o de un rectángulo con una línea recta, el nuevo lado es la hipotenusa de un triángulo rectángulo pequeño. Sus catetos son las dos piezas que quitaste de los lados originales.
Observa la siguiente figura, que representa un logotipo formado por un cuadrado de lado $10 \text{ cm}$ al que se le han "recortado" dos triángulos en sus esquinas…
Observa la siguiente figura, que representa un logotipo formado por un cuadrado de lado $10 \text{ cm}$ al que se le han "recortado" dos triángulos en sus esquinas superiores.
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Clasifica el polígono resultante (el área sombreada) según su número de lados y su tipo (cóncavo o convexo).
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Si los cortes se han hecho justo por los puntos medios de los lados del cuadrado, calcula el perímetro del nuevo polígono.
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¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de este nuevo polígono?
Un parque infantil tiene forma de pentágono irregular. Sus ángulos interiores son $100^\circ$, $110^\circ$, $120^\circ$ y $90^\circ$. 1. Calcula la medida del quinto…
Un parque infantil tiene forma de pentágono irregular. Sus ángulos interiores son $100^\circ$, $110^\circ$, $120^\circ$ y $90^\circ$.
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Calcula la medida del quinto ángulo.
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¿Es posible que este parque sea un pentágono convexo? Justifica tu respuesta.
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Si el ángulo de $90^\circ$ se encuentra entre dos lados de $12 \text{ m}$ y $16 \text{ m}$, ¿cuánto mediría el segmento que une los extremos de esos dos lados? (Usa el Teorema de Pitágoras).
¿Pueden tres lados formar un triángulo?
Intenta construir un triángulo con tres varillas. Si una varilla es demasiado larga, las otras dos no pueden alcanzarse. Si una es demasiado corta, las otras dos se pasan de largo y nunca se encuentran.
Una vez que tienes un triángulo válido, puedes clasificarlo según sus ángulos con la prueba de Pitágoras de la sección anterior.
Dispones de tres varillas rígidas para construir un triángulo. La primera mide $15 \text{ cm}$ y la segunda $8 \text{ cm}$. 1. ¿Cuál es la medida mínima (en números…
Dispones de tres varillas rígidas para construir un triángulo. La primera mide $15 \text{ cm}$ y la segunda $8 \text{ cm}$.
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¿Cuál es la medida mínima (en números enteros de pulgadas) que debe tener la tercera varilla para poder formar el triángulo?
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¿Cuál es la medida máxima que podría tener?
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Si la tercera varilla midiera exactamente $17 \text{ cm}$, ¿qué tipo de triángulo obtendrías según sus ángulos? (Pista: Comprueba si se cumple la relación $a^2 = b^2 + c^2$).
Cuadriláteros con diagonales perpendiculares
Algunos cuadriláteros tienen diagonales que se cruzan en ángulo recto. Hay un atajo muy útil para calcular su área.
Esto funciona incluso cuando las diagonales no se cortan por la mitad. En un paralelogramo (rectángulo, rombo, cuadrado) las diagonales siempre se cortan por la mitad. Así que si no lo hacen, el cuadrilátero no es ninguno de esos. Es simplemente un cuadrilátero irregular.
Un cuadrilátero con dos pares de lados consecutivos iguales se llama cometa (kite). Sus diagonales son perpendiculares, así que la misma fórmula de área también funciona para él.
En un cuadrilátero cualquiera, sabemos que las diagonales son perpendiculares y miden lo mismo, pero no se cortan en su punto medio. 1. ¿De qué figura se trata? Dibuja…
En un cuadrilátero cualquiera, sabemos que las diagonales son perpendiculares y miden lo mismo, pero no se cortan en su punto medio.
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¿De qué figura se trata? Dibuja un ejemplo aproximado.
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Si las diagonales miden $14 \text{ cm}$, ¿podemos calcular el área del cuadrilátero aunque no sea un rombo ni un cuadrado? Si es así, calcúlala.
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Investiga: ¿Qué nombre recibe el cuadrilátero que tiene dos pares de lados consecutivos iguales (forma de cometa)?
Resumen
Volvamos al inicio: donde se juntan tres hexágonos, los ángulos suman exactamente $360^\circ$, así que quedan planos. En un balón de fútbol, en cada esquina se juntan un pentágono y dos hexágonos, y $108^\circ + 120^\circ + 120^\circ = 348^\circ$, que es menos que $360^\circ$. Esa pequeña falta es lo que hace que la superficie se curve hasta formar un balón.