Operaciones con monomios

En un videojuego de aventuras, tu personaje recolecta gemas de energía. Las gemas rojas valen $x$ puntos cada una. Si durante la primera pantalla consigues $5x$ gemas, en la segunda encuentras otras $8x$ y en la tercera pierdes $3x$ por un hechizo, simplifica la expresión para saber cuántas gemas tienes al final.

Simplifica las siguientes sumas y restas de monomios para reducir estas expresiones al máximo:

• a) $2x + 7x + x$

• b) $9a - 5a + 2a$

• c) $10y^2 - 3y^2 - 4y^2$

• d) $3ab + 5ab - 8ab$

En un popular videojuego de aventuras, tu personaje ha recolectado diferentes objetos. Si llamamos $x$ a las pociones de salud e $y$ a los elixires de magia, reduce la siguiente expresión para saber cuál es el inventario final de tu mochila:

$5x + 3y - 2x + 7y + x - 4y$

Calcula el perímetro de la siguiente tableta digital sabiendo que sus lados están expresados en función de una variable $x$. Recuerda que el perímetro es la suma de todos los lados del rectángulo.

Calcula el perímetro de la siguiente parcela de jardín. Expresa el resultado como un monomio simplificado en función de la variable $x$.

Para organizar una fiesta, compras paquetes de refrescos. Cada paquete contiene $6$ latas y el precio de una lata es $\$y$. Si compras $4$ paquetes iguales, escribe el monomio que representa el costo total de la compra.

Pista: Primero averigua cuántas latas hay en total y luego multiplícalo por el precio de una.

Realiza las siguientes multiplicaciones de monomios recordando que se multiplican los coeficientes entre sí y se suman los exponentes de las letras iguales:

• a) $3 \cdot (4x)$

• b) $2x \cdot 5x$

• c) $(-3a^2) \cdot 2a$

• d) $4x \cdot 3y$

Realiza las siguientes multiplicaciones de monomios, recordando sumar los exponentes de las letras que sean iguales:

1. a) $(4a^2) \cdot (3a^4) =$

1. b) $(-2x^3) \cdot (5x) =$

1. c) $(\frac{1}{2}b^2) \cdot (6b^5) =$

Un agricultor tiene un huerto rectangular para plantar tomates. Ayúdalo a calcular la expresión del área del huerto multiplicando los siguientes monomios:

Halla la expresión del área del siguiente rectángulo en forma de monomio. Recuerda que el área se calcula multiplicando la base por la altura ($A = b \cdot h$).

Observa el diseño de esta zona de juegos para un parque tecnológico. La ciudad necesita calcular el área total para instalar césped artificial de diferentes colores en cada sección.

Calcula, mediante operaciones con monomios, las siguientes expresiones:

1. El área de la Zona A.

2. El área de la Zona B (formada por dos triángulos iguales).

3. El área total del recinto simplificando la suma de los monomios resultantes.

Un YouTuber ha recibido visitas en su último video durante los tres primeros días. El primer día tuvo $12x^3$ visitas, el segundo día $8x^3$ y el tercer día $5x^3$. Si quiere repartir el total de visitas de esos tres días entre sus $5$ moderadores del canal, ¿qué expresión representa las visitas que le corresponden a cada moderador?

Simplifica las siguientes divisiones de monomios:

1. a) $\frac{15x^6}{3x^2} =$

1. b) $\frac{-20a^4}{5a^3} =$

1. c) $\frac{8y^3}{8y^3} =$

Un dron de reparto realiza un trayecto de ida y vuelta para entregar un paquete. La distancia de ida viene dada por el monomio $D(x) = 12x^2$. Debido al viento en contra, la velocidad media de ida es $v_1 = 4x$. En el trayecto de vuelta, sin carga y con viento a favor, la velocidad media es el doble que la de ida.

Sabiendo que el tiempo se calcula como $t = \frac{\text{Distancia}}{\text{Velocidad}}$, realiza las siguientes operaciones:

1. Divide los monomios correspondientes para hallar el tiempo de ida.

2. Halla el tiempo de vuelta realizando la división pertinente.

3. Expresa el tiempo total del viaje como un único monomio simplificado.

Aplica la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis y reduce los términos semejantes en la siguiente expresión:

$3 \cdot (2x + 4) + 5 \cdot (x - 2)$

Un diseñador de videojuegos utiliza monomios para programar la fuerza de un ataque. La potencia base es $P = 4ab^2$. Si el personaje utiliza una "poción de furia", su potencia se multiplica por $3a^2$. Si después recibe una "maldición de debilidad", el resultado anterior se debe dividir por $6ab$.

Realiza las operaciones de multiplicación y división de monomios para hallar la expresión simplificada de la potencia final del ataque. Indica cuál es el coeficiente y el grado del monomio resultante.

Simplifica la siguiente expresión combinada, prestando mucha atención al orden de las operaciones y a las propiedades de las potencias:

Explica paso a paso cómo has reducido cada término antes de realizar la suma y resta final. ¿Cuál es el grado del polinomio resultante antes de la simplificación total?

Completa los huecos vacíos con el monomio necesario para que la operación sea correcta:

Encuentra el monomio misterioso que falta en cada una de las siguientes igualdades para que el resultado sea correcto:

1. a) $7x^2 +$ $\text{\_\_\_\_\_\_}$ $= 12x^2$

1. b) $10a^5 :$ $\text{\_\_\_\_\_\_}$ $= 2a^2$

1. c) $\text{\_\_\_\_\_\_}$ $\cdot (3x) = 18x^4$

En el laboratorio de matemáticas hemos creado una "Pirámide de Multiplicación de Monomios". En esta pirámide, el valor de cada ladrillo se obtiene multiplicando los dos monomios que tiene justo debajo. Completa los huecos vacíos realizando las operaciones necesarias:

Un "Monomio Misterioso" ha perdido algunas de sus partes tras pasar por una máquina de operaciones. Tu misión es reconstruir la igualdad original encontrando el monomio que falta en cada caso (representado por el signo $?$):

1. a) $? + 7a^2b - 3a^2b = 10a^2b$

1. b) $(? \cdot 5x^4) : 2x^2 = 15x^5$

1. c) $\frac{24y^{10}}{?} = 4y^5$

En una tienda de deportes, un paquete de entrenamiento contiene $3$ pesas y $2$ cintas elásticas. Si el precio de una pesa es $\$x$ y el de una cinta es $\$y$, expresa mediante un monomio simplificado el costo total de comprar cuatro paquetes iguales.

Un conocido streamer está analizando las estadísticas de su canal durante una semana. El lunes recibió $5x$ nuevos suscriptores y $3y$ comentarios. El martes, sus suscriptores se triplicaron respecto al lunes, pero los comentarios cayeron a la tercera parte de los del lunes. El miércoles, perdió $2x$ suscriptores y recibió el doble de comentarios que el lunes.

Escribe y simplifica la expresión algebraica que represente el total de suscriptores y comentarios acumulados en esos tres días. ¿Es posible sumar los términos con $x$ y con $y$? Justifica tu respuesta usando los conceptos de monomios semejantes.

Fíjate en la siguiente serie de figuras construidas con baldosas cuadradas blancas y grises. Los matemáticos llaman a esto "patrones de crecimiento".

1. Si $n$ representa el número de la figura, escribe un monomio que represente el número de baldosas grises de la figura $n$.

2. Escribe un monomio para el número de baldosas blancas de la figura $n$.

3. Suma ambos monomios para obtener la expresión del total de baldosas. ¿Qué figura tendría en total 101 baldosas?