Una señal de ceda el paso, una armadura de techo, la estructura de acero de un puente, el soporte bajo la rampa de un parque de patinaje: los triángulos están por todas partes en la construcción. Si empujas la esquina de un marco cuadrado, se aplasta y se convierte en un rombo inclinado. Si empujas un marco triangular, no se mueve. ¿Por qué un triángulo no se puede deformar? Al final de esta página lo sabrás.
Partes de un triángulo
Practica★☆☆Sin empezar
En un triángulo, conocemos la medida de dos de sus ángulos interiores: $\hat{A} = 45^\circ$ y $\hat{B} = 75^\circ$. Calcule cuánto mide el tercer ángulo $\hat{C}$…
En un triángulo, conocemos la medida de dos de sus ángulos interiores: $\hat{A} = 45^\circ$ y $\hat{B} = 75^\circ$. Calcule cuánto mide el tercer ángulo $\hat{C}$ sabiendo que la suma de los ángulos de cualquier triángulo es siempre $180^\circ$.
Para decorar su habitación, Lucía ha recortado un banderín de tela con forma de triángulo. Al medir sus lados, ha visto que miden $15\text{ cm}$, $15\text{ cm}$ y…
Para decorar su habitación, Lucía ha recortado un banderín de tela con forma de triángulo. Al medir sus lados, ha visto que miden $15\text{ cm}$, $15\text{ cm}$ y $20\text{ cm}$. ¿Cómo se clasifica este triángulo según la longitud de sus lados?
Un triángulo isósceles tiene un ángulo desigual que mide $40^\circ$. Si los otros dos ángulos son iguales entre sí, ¿cuál es la medida de cada uno de esos ángulos…
Un triángulo isósceles tiene un ángulo desigual que mide $40^\circ$. Si los otros dos ángulos son iguales entre sí, ¿cuál es la medida de cada uno de esos ángulos iguales?
Observe la señal de tráfico de "Ceda el paso". Tiene forma de triángulo equilátero. Indique cuánto debe medir cada uno de sus ángulos interiores sin necesidad de usar un…
Observe la señal de tráfico de "Ceda el paso". Tiene forma de triángulo equilátero. Indique cuánto debe medir cada uno de sus ángulos interiores sin necesidad de usar un transportador. Justifique su respuesta basándose en las propiedades de este tipo de polígonos.
Clasifique los siguientes triángulos según la medida de sus ángulos (acutángulo, rectángulo u obtusángulo): Triángulo 1: Sus ángulos miden $90^\circ$, $40^\circ$ y…
Clasifique los siguientes triángulos según la medida de sus ángulos (acutángulo, rectángulo u obtusángulo):
Triángulo 1: Sus ángulos miden $90^\circ$, $40^\circ$ y $50^\circ$.
Triángulo 2: Sus ángulos miden $110^\circ$, $30^\circ$ y $40^\circ$.
Triángulo 3: Sus ángulos miden $60^\circ$, $60^\circ$ y $60^\circ$.
En un taller de diseño gráfico, están creando un nuevo logotipo que tiene forma de triángulo. Sabemos que dos de sus ángulos interiores miden $42^\circ$ y $68^\circ$. a)…
En un taller de diseño gráfico, están creando un nuevo logotipo que tiene forma de triángulo. Sabemos que dos de sus ángulos interiores miden $42^\circ$ y $68^\circ$.
a) Calcule cuánto mide el tercer ángulo del logotipo.
b) Clasifique el triángulo según sus ángulos (acutángulo, rectángulo u obtusángulo).
c) Clasifique el triángulo según sus lados (equilátero, isósceles o escaleno).
Acertijos de ángulos: ángulos exteriores y ecuaciones
Un ángulo exterior se forma cuando prolongas un lado de un triángulo más allá de un vértice. Queda fuera del triángulo, junto al ángulo interior de ese vértice.
Cuando un ángulo se describe con una incógnita, escribe una ecuación. Deja que una letra represente el ángulo desconocido, suma los tres ángulos e iguala la suma a $180$.
Practica★★★Sin empezar
En un taller de diseño de videojuegos, un programador necesita crear un personaje con forma de triángulo isósceles. El ángulo desigual del vértice superior mide el…
En un taller de diseño de videojuegos, un programador necesita crear un personaje con forma de triángulo isósceles. El ángulo desigual del vértice superior mide el triple que uno de los ángulos de la base, menos $20^\circ$. Calcula la medida de los tres ángulos del personaje para que el diseño sea geométricamente correcto.
En el logo de una nueva marca de ropa deportiva, aparecen dos rectángulos que se cruzan formando varios triángulos. En el triángulo central $ABC$, sabemos que el ángulo…
En el logo de una nueva marca de ropa deportiva, aparecen dos rectángulos que se cruzan formando varios triángulos. En el triángulo central $ABC$, sabemos que el ángulo en $A$ mide $45^\circ$ y que el ángulo exterior al vértice $B$ mide $115^\circ$.
Calcule los tres ángulos interiores del triángulo $ABC$.
Clasifique el triángulo según sus lados y según sus ángulos.
No puedes construir un triángulo con tres palitos cualesquiera. Si dos de ellos son muy cortos, no alcanzan a tocarse.
Cuando los lados son expresiones con $x$, iguala los lados que deben coincidir, resuelve y luego comprueba el tercer lado.
Volvamos al principio: ¿por qué un marco triangular no se puede deformar? Porque tres longitudes de lados encajan de una sola manera. Fijan los tres ángulos. Un marco cuadrado tiene cuatro lados y puede inclinarse hasta formar un rombo sin cambiar la longitud de ningún lado.
Practica★☆☆Sin empezar
Marcos tiene tres varillas de madera para construir una estructura triangular. Las longitudes de las varillas son $12\text{ cm}$, $5\text{ cm}$ y $4\text{ cm}$. Explique…
Marcos tiene tres varillas de madera para construir una estructura triangular. Las longitudes de las varillas son $12\text{ cm}$, $5\text{ cm}$ y $4\text{ cm}$. Explique razonadamente si Marcos podrá formar un triángulo con ellas o si le resultará imposible.
Un carpintero tiene tres listones de madera para fabricar un marco triangular para un espejo. Los listones miden $15\text{ cm}$, $8\text{ cm}$ y $24\text{ cm}$. a)…
Un carpintero tiene tres listones de madera para fabricar un marco triangular para un espejo. Los listones miden $15\text{ cm}$, $8\text{ cm}$ y $24\text{ cm}$.
a) Explique, utilizando la propiedad de la suma de los lados de un triángulo, si es posible construir el marco con esas medidas.
b) Si decide cambiar el listón de $24\text{ cm}$ por uno de $20\text{ cm}$, ¿podría construirlo ahora? Razone su respuesta.
Un arquitecto está diseñando una rampa para un skatepark. Ha calculado que el soporte principal debe formar un triángulo de lados $x + 2$ pies, $2x - 1$ pies y $10$…
Un arquitecto está diseñando una rampa para un skatepark. Ha calculado que el soporte principal debe formar un triángulo de lados $x + 2$ pies, $2x - 1$ pies y $10$ pies.
Si el triángulo debe ser equilátero, ¿cuánto debe valer $x$?
Si $x = 3$, ¿es posible construir ese triángulo? Justifica tu respuesta utilizando la propiedad de la suma de los lados de un triángulo.
En un triángulo rectángulo, los dos catetos son perpendiculares entre sí, así que un cateto puede ser la base y el otro la altura.
Practica★☆☆Sin empezar
Un jardín tiene forma de triángulo equilátero. Si uno de sus lados mide $8\text{ metros}$, ¿cuántos pies de valla necesitaremos para rodearlo completamente? Calcule su…
Un jardín tiene forma de triángulo equilátero. Si uno de sus lados mide $8\text{ metros}$, ¿cuántos pies de valla necesitaremos para rodearlo completamente? Calcule su perímetro.
Necesitas dos cosas. El cuadrado de un número es el número multiplicado por sí mismo: $5^2 = 25$. La raíz cuadrada lo deshace: $\sqrt{25} = 5$. Los cuadrados perfectos que conviene conocer son $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225$. Si una raíz cuadrada no es un número entero, usa una calculadora. Por ejemplo, $\sqrt{2.56} = 1.6$.
Practica★☆☆Sin empezar
En un triángulo rectángulo, los dos lados que forman el ángulo de $90^\circ$ miden $6\text{ cm}$ y $8\text{ cm}$. ¿Cómo se llaman esos dos lados en la terminología…
En un triángulo rectángulo, los dos lados que forman el ángulo de $90^\circ$ miden $6\text{ cm}$ y $8\text{ cm}$. ¿Cómo se llaman esos dos lados en la terminología matemática de los triángulos rectángulos? ¿Y cómo se llama el lado más largo que queda frente al ángulo recto?
Un parque infantil tiene un arenero en forma de triángulo rectángulo. Sabemos que el lado más largo (la hipotenusa) mide $13\text{ metros}$ y uno de los lados que forma…
Un parque infantil tiene un arenero en forma de triángulo rectángulo. Sabemos que el lado más largo (la hipotenusa) mide $13\text{ metros}$ y uno de los lados que forma el ángulo recto mide $5\text{ metros}$.
Observe la siguiente figura compuesta por dos triángulos. El triángulo $ABC$ es rectángulo en $B$ y el triángulo $ACD$ es isósceles con $\overline{AC} = \overline{AD}$.…
Observe la siguiente figura compuesta por dos triángulos. El triángulo $ABC$ es rectángulo en $B$ y el triángulo $ACD$ es isósceles con $\overline{AC} = \overline{AD}$.
Si $\overline{AB} = 8\text{ cm}$ y $\overline{BC} = 6\text{ cm}$, calcule:
a) La longitud del lado $\overline{AC}$.
b) El perímetro total de la figura sombreada $ABCD$ sabiendo que $\overline{CD} = 7\text{ cm}$.
A veces conoces los lados de un triángulo pero no su altura. En un triángulo isósceles, la altura desde el ángulo del vértice cae directamente al punto medio de la base. Es otra vez el eje de simetría: el triángulo son dos triángulos rectángulos iguales, espalda con espalda.
Cuando un problema da el perímetro, suma los lados conocidos y réstalos del perímetro para hallar el que falta. Luego usa la desigualdad triangular para comprobar que el triángulo puede existir.
Cuando una figura está formada por varios triángulos, el perímetro de toda la figura cuenta solo los bordes exteriores. No cuentes un segmento que está dentro de la figura.
Practica★★☆Sin empezar
Una tienda de campaña tiene un frontal con forma de triángulo isósceles. La base de la tienda mide $2,4\text{ metros}$ y los dos lados iguales miden $2\text{ metros}$…
Una tienda de campaña tiene un frontal con forma de triángulo isósceles. La base de la tienda mide $2,4\text{ metros}$ y los dos lados iguales miden $2\text{ metros}$ cada uno.
a) Utilice el teorema de Pitágoras para calcular la altura de la tienda de campaña.
b) Calcule el área de la lona necesaria para cubrir únicamente el frontal de la tienda.
Un explorador ha colocado una cuerda de $24$ pies rodeando un terreno triangular para montar su campamento. 1. Si el terreno es un triángulo isósceles y uno de los lados…
Un explorador ha colocado una cuerda de $24$ pies rodeando un terreno triangular para montar su campamento.
Si el terreno es un triángulo isósceles y uno de los lados iguales mide $9 \text{ metros}$, ¿cuánto mide el lado restante?
Si el explorador quisiera que el triángulo fuera rectángulo con lados de $6 \text{ m}$, $8 \text{ m}$ y $10 \text{ m}$, ¿le serviría la misma cuerda? Compruebe también si se cumple el Teorema de Pitágoras en este último caso.
Toma una foto y redúcela: la forma sigue igual, solo cambia el tamaño. Los triángulos también pueden hacer esto.
Practica★★★Sin empezar
Observe la figura adjunta, que representa una pieza metálica. Está formada por un triángulo rectángulo grande y otro más pequeño en su interior. Sabemos que el cateto…
Observe la figura adjunta, que representa una pieza metálica. Está formada por un triángulo rectángulo grande y otro más pequeño en su interior. Sabemos que el cateto horizontal del grande mide $15 \text{ cm}$ y su área es de $60 \text{ cm}^2$. El triángulo pequeño es semejante y tiene una base de $5 \text{ cm}$.
Calcule la altura del triángulo grande.
Utilizando la lógica de las proporciones, calcule el área del triángulo pequeño. (Pista: si la base es la tercera parte, ¿qué pasará con la altura?).
Una compañía de celulares quiere una torre exactamente a la misma distancia de tres pueblos. ¿Dónde la pone? Para responder, necesitamos una idea nueva.
Practica★★☆Sin empezar
Tres pueblos, Altea ($A$), Belmonte ($B$) y Calar ($C$), están situados de forma que forman un triángulo escaleno. Se quiere instalar una torre de telecomunicaciones que…
Tres pueblos, Altea ($A$), Belmonte ($B$) y Calar ($C$), están situados de forma que forman un triángulo escaleno. Se quiere instalar una torre de telecomunicaciones que esté exactamente a la misma distancia de los tres pueblos.
a) ¿Qué punto notable del triángulo representa la ubicación de la torre?
b) ¿Qué rectas notables ha tenido que trazar para encontrar dicho punto? Dibuje un esquema aproximado de la situación.
Tres pueblos de la sierra, Arlington, Bristol y Concord, quieren construir una torre de telefonía que esté exactamente a la misma distancia de los tres para que todos…
Tres pueblos de la sierra, Arlington, Bristol y Concord, quieren construir una torre de telefonía que esté exactamente a la misma distancia de los tres para que todos tengan la misma cobertura.
¿Cómo se llama el punto notable del triángulo donde deben colocar la torre?
Si el triángulo que forman los pueblos es obtusángulo, explica razonadamente si la torre estará dentro o fuera del área delimitada por los tres pueblos.
¿Por qué el incentro es el mejor lugar para un aspersor en un jardín triangular? Pon el aspersor en el incentro y ajústalo para regar un círculo justo del tamaño para llegar a un borde. Llega a los tres bordes a la vez, porque todos están a la misma distancia. En cualquier otro lugar, un borde queda más cerca y otro más lejos.
Practica★★☆Sin empezar
Se ha diseñado una señal de tráfico triangular que es un triángulo equilátero de $60\text{ cm}$ de lado. a) Si queremos poner un borde reflectante alrededor de la señal,…
Se ha diseñado una señal de tráfico triangular que es un triángulo equilátero de $60\text{ cm}$ de lado.
a) Si queremos poner un borde reflectante alrededor de la señal, ¿cuántos pies de material reflectante necesitaremos?
b) Si trazamos las tres bisectrices del triángulo, ¿cómo se llama el punto donde se cruzan? ¿Qué propiedad especial tiene este punto con respecto a los lados de la señal?
Un jardín tiene forma de rectángulo de $12 \times 8$ pies. Para instalar un sistema de riego, se ha dividido el jardín trazando una diagonal. En uno de los dos…
Un jardín tiene forma de rectángulo de $12 \times 8$ pies. Para instalar un sistema de riego, se ha dividido el jardín trazando una diagonal. En uno de los dos triángulos resultantes, se quiere colocar un aspersor circular en el incentro.
Explique qué son las bisectrices y por qué el aspersor en el incentro es la mejor opción para que esté a la misma distancia de los tres lados del triángulo (los dos bordes del jardín y la diagonal).
Dibuje el rectángulo, la diagonal y el incentro de uno de los triángulos de manera esquemática.
En un triángulo isósceles, la mediana desde el ángulo del vértice es especial. Por la simetría del doblez, es perpendicular a la base y divide el ángulo del vértice por la mitad.
Practica★★☆Sin empezar
En un jardín, se quiere colocar una valla que delimite una zona de flores con forma de triángulo isósceles. El ángulo desigual mide $100^\circ$. a) ¿Cuánto miden cada…
En un jardín, se quiere colocar una valla que delimite una zona de flores con forma de triángulo isósceles. El ángulo desigual mide $100^\circ$.
a) ¿Cuánto miden cada uno de los otros dos ángulos de la zona de flores?
b) Si trazamos la mediana desde el vértice del ángulo de $100^\circ$ hacia el lado opuesto, ¿en qué dos tipos de triángulos queda dividida la zona? Clasifíquelos según sus ángulos.
En un examen de geometría avanzada, se presenta un triángulo donde las tres medianas se cortan en un punto $G$ (Baricentro). Si la mediana que sale del vértice $A$ mide…
En un examen de geometría avanzada, se presenta un triángulo donde las tres medianas se cortan en un punto $G$ (Baricentro). Si la mediana que sale del vértice $A$ mide un total de $12 \text{ cm}$, calcule la medida de los dos segmentos en los que el punto $G$ divide a dicha mediana. (Recuerde la propiedad: el baricentro divide a la mediana en dos partes, siendo una el doble que la otra).