Cómo resolver problemas verbales con ecuaciones
Marcus y Jayden anotaron 27 puntos juntos en un juego de baloncesto, y Marcus anotó el doble que Jayden. ¿Podrías hallar cuánto anotó cada uno sin adivinar? Resolver una ecuación es la parte mecánica. La parte difícil, y la que de verdad importa, es plantearla: convertir las palabras en una ecuación con una variable. Con un método claro y unos cuantos modelos, la mayoría de los problemas verbales se vuelven rutina.
El método de cuatro pasos
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Elige la variable y escribe qué significa: "sea $x$ = el número de tarjetas que tiene Marcus". No escribas solo la letra. Di a qué número representa.
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Traduce cada dato de la historia usando esa misma $x$.
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Plantea una ecuación con el dato que aún no has usado (por lo general un total, o dos cosas que son iguales) y resuélvela con operaciones inversas.
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Comprueba tu respuesta en la historia, no en tu ecuación (la ecuación podría estar mal), y responde con una oración completa y con unidades.
Hay dos datos que aparecen todo el tiempo. El siguiente entero consecutivo después de $x$ es $x + 1$. Y cuando algo sobra o queda, se resta: si tenías $x$ dólares y gastaste $\$12$, te quedan $x - 12$.
Si a un número le sumas su consecutivo (el número que va justo después), el resultado es $43$. Plantea una ecuación para averiguar de qué número se trata.
Si a un número le sumas su consecutivo (el número que va justo después), el resultado es $43$. Plantea una ecuación para averiguar de qué número se trata.
Un grupo de amigos compra una pizza familiar que cuesta $\$12$. Si después de pagarla les sobran $\$8$ del dinero que habían reunido, ¿cuánto dinero tenían al principio?…
Un grupo de amigos compra una pizza familiar que cuesta $\$12$. Si después de pagarla les sobran $\$8$ del dinero que habían reunido, ¿cuánto dinero tenían al principio? Representa la cantidad inicial con la letra $x$.
"El doble," "más que," "menos que"
Así se traducen las frases más comunes. Supón que una cantidad es $x$.
| Palabras | Expresión |
|---|---|
| el doble de $x$ | $2x$ |
| el triple de $x$ | $3x$ |
| $5$ más que $x$ | $x + 5$ |
| $5$ menos que $x$ | $x - 5$ |
Resolvamos el problema del inicio de la página. Sea $x$ los puntos de Jayden. Marcus anotó el doble, o sea $2x$. Un diagrama de cinta muestra por qué el total es $x + 2x$:
Marcos está jugando a un videojuego y ha conseguido en el nivel actual el doble de puntos que en el nivel anterior. Si entre los dos niveles suma un total de $150$…
Marcos está jugando a un videojuego y ha conseguido en el nivel actual el doble de puntos que en el nivel anterior. Si entre los dos niveles suma un total de $150$ puntos, ¿cuántos puntos obtuvo en cada nivel? Llama $x$ a los puntos del primer nivel.
En una estantería de una tienda de cómics hay el triple de mangas de acción que de misterio. Si en total hay $48$ cómics entre ambos géneros, ¿cuántos hay de cada clase?…
En una estantería de una tienda de cómics hay el triple de mangas de acción que de misterio. Si en total hay $48$ cómics entre ambos géneros, ¿cuántos hay de cada clase? Llama $x$ a los cómics de misterio.
En el cumpleaños de Adrián, se han repartido invitaciones de dos tipos: digitales y en papel. El número de invitaciones digitales ha sido el triple que el de papel. Si…
En el cumpleaños de Adrián, se han repartido invitaciones de dos tipos: digitales y en papel. El número de invitaciones digitales ha sido el triple que el de papel. Si en total se han enviado 48 invitaciones, ¿cuántas personas han recibido la invitación en papel y cuántas en formato digital?
Repartir un total
Cuando varias personas (o cosas) suman un total, sea $x$ la cantidad de una de ellas. Escribe las demás usando $x$. La ecuación dice que todas las partes juntas son iguales al total.
Elige como $x$ la cantidad con la que se comparan las demás. Así las otras partes salen directamente como $3x$ o $x + 12$, sin fracciones.
Tres amigos están comparando cuántas canciones tienen en su lista de reproducción favorita. Lucía tiene el doble de canciones que Marcos, y Sara tiene 15 canciones más…
Tres amigos están comparando cuántas canciones tienen en su lista de reproducción favorita. Lucía tiene el doble de canciones que Marcos, y Sara tiene 15 canciones más que Marcos. Si entre los tres suman un total de 155 canciones, ¿cuántas canciones tiene cada uno en su lista? Plantea una ecuación donde $x$ sea el número de canciones de Marcos.
Sofía ha comprado un videojuego de oferta y un control nuevo. El control le ha costado $\$25$ menos que el videojuego. Si ha pagado en total por las dos cosas $\$89$,…
Sofía ha comprado un videojuego de oferta y un control nuevo. El control le ha costado $\$25$ menos que el videojuego. Si ha pagado en total por las dos cosas $\$89$, ¿cuál es el precio original de cada artículo sin contar otros descuentos?
El profesor de Educación Física ha comprado tres cajas de pelotas de tenis. En la segunda caja hay el doble de pelotas que en la primera, y en la tercera hay $10$…
El profesor de Educación Física ha comprado tres cajas de pelotas de tenis. En la segunda caja hay el doble de pelotas que en la primera, y en la tercera hay $10$ pelotas más que en la segunda. Si en total hay $85$ pelotas, ¿cuántas pelotas contiene cada caja?
Cadenas de comparaciones
A veces una cantidad se compara con una segunda, y la segunda con una tercera. Empieza con la cantidad que no depende de nadie, llámala $x$ y construye las demás un eslabón a la vez. Presta mucha atención a de quién habla cada frase.
En una tienda de videojuegos, han vendido el triple de copias del "Elden Ring" que del "FIFA". Además, han vendido $15$ unidades menos del "Zelda" que del "Elden Ring".…
En una tienda de videojuegos, han vendido el triple de copias del "Elden Ring" que del "FIFA". Además, han vendido $15$ unidades menos del "Zelda" que del "Elden Ring". Si en total han vendido $125$ videojuegos entre los tres títulos, ¿cuántas copias se han vendido de cada uno?
Un creador de contenido digital ha revisado sus estadísticas mensuales. El vídeo de humor tiene el doble de visualizaciones que el de tecnología, y el vídeo de viajes…
Un creador de contenido digital ha revisado sus estadísticas mensuales. El vídeo de humor tiene el doble de visualizaciones que el de tecnología, y el vídeo de viajes tiene $4000$ visualizaciones más que el de humor. Si entre los tres suman un total de $24000$ visualizaciones, ¿cuántas tiene cada vídeo?
Tres hermanos, Alberto, Berta y Carlos, quieren comprar un regalo para sus padres que cuesta $\$105…
Tres hermanos, Alberto, Berta y Carlos, quieren comprar un regalo para sus padres que cuesta $\$105$. Alberto aporta una cantidad de dinero, Berta pone el doble que Alberto y Carlos pone $\$15$ menos que Berta. ¿Cuánto dinero aporta cada uno para que les llegue justo para el regalo?
Problemas de edades
En los problemas de edades, haz una tablita para "hoy" y "dentro de unos años". El tiempo pasa al mismo ritmo para todos, así que sumas el mismo número a todas las edades.
Algunos problemas de edades ponen $x$ en ambos lados de la ecuación. Cuando pase eso, resta el término con $x$ más pequeño en ambos lados para que las $x$ queden de un solo lado.
Paula tiene $3$ años más que su hermano pequeño. Si entre los dos suman $19$ años, ¿qué edad tiene cada uno? Llama $x$ a la edad del hermano pequeño.
Paula tiene $3$ años más que su hermano pequeño. Si entre los dos suman $19$ años, ¿qué edad tiene cada uno? Llama $x$ a la edad del hermano pequeño.
Héctor tiene 5 años más que su hermana Elena. Dentro de 8 años, la suma de sus edades será de 41 años. ¿Qué edad tiene actualmente cada uno? (Recuerda sumar 8 años a la…
Héctor tiene 5 años más que su hermana Elena. Dentro de 8 años, la suma de sus edades será de 41 años. ¿Qué edad tiene actualmente cada uno?
(Recuerda sumar 8 años a la edad de cada uno para plantear la suma futura).
La madre de Lucía tiene actualmente el triple de edad que ella. Dentro de $12$ años, la edad de la madre será solo el doble que la de Lucía. ¿Qué edad tienen actualmente…
La madre de Lucía tiene actualmente el triple de edad que ella. Dentro de $12$ años, la edad de la madre será solo el doble que la de Lucía. ¿Qué edad tienen actualmente cada una? Ayúdate de una tabla para organizar los datos del presente y del futuro.
Problemas de rectángulos
En los problemas de geometría, dibuja siempre la figura y rotula los lados usando $x$. Luego usa el perímetro: la suma de las longitudes de todos los lados. Para un rectángulo, $P = \ell + w + \ell + w$.
Cuando un lado se describe con "más que" o "menos que" (por ejemplo, "el largo mide 4 pies más que el ancho"), el largo es $x + 4$ y la ecuación del perímetro queda $x + (x + 4) + x + (x + 4) = P$.
Queremos cercar un pequeño huerto rectangular para plantar tomates. El largo del huerto es el doble que el ancho. Si hemos utilizado $18$ pies de cerca para rodearlo por…
Queremos cercar un pequeño huerto rectangular para plantar tomates. El largo del huerto es el doble que el ancho. Si hemos utilizado $18$ pies de cerca para rodearlo por completo (perímetro), ¿cuánto miden el ancho y el largo del huerto?
Queremos diseñar una zona rectangular para un torneo de e-sports* en el gimnasio de la escuela secundaria. El largo de la zona debe ser $8$ pies mayor que el ancho. Si…
Queremos diseñar una zona rectangular para un torneo de e-sports en el gimnasio de la escuela secundaria. El largo de la zona debe ser $8$ pies mayor que el ancho. Si para acotar el perímetro total con una cinta de seguridad necesitamos exactamente $56$ pies de cinta, ¿cuáles son las dimensiones (largo y ancho) de la zona de juego?
Un agricultor quiere cercar una parcela rectangular de $120$ pies de perímetro. Para aprovechar mejor el terreno, ha decidido que el largo sea el doble del ancho menos…
Un agricultor quiere cercar una parcela rectangular de $120$ pies de perímetro. Para aprovechar mejor el terreno, ha decidido que el largo sea el doble del ancho menos $6$ pies. ¿Cuáles serán las dimensiones finales de la parcela?
Problemas de triángulos isósceles
Un triángulo isósceles tiene dos lados de igual longitud. Así que si uno de los lados iguales mide $s$, el otro también, y el perímetro es base $+\ s + s$. No olvides contar dos veces el lado igual.
Estamos diseñando un logo para un equipo de e-sports con forma de triángulo isósceles. Queremos que el perímetro sea de $30$ pulgadas. Si la base mide $10$ pulgadas y…
Estamos diseñando un logo para un equipo de e-sports con forma de triángulo isósceles. Queremos que el perímetro sea de $30$ pulgadas. Si la base mide $10$ pulgadas y los otros dos lados son iguales, ¿cuánto debe medir cada uno de esos lados ($x$)?
El perímetro de un parque tecnológico con forma de triángulo isósceles es de $110$ pies. Sabemos que cada uno de los lados iguales mide $10$ pies más que el doble de la…
El perímetro de un parque tecnológico con forma de triángulo isósceles es de $110$ pies. Sabemos que cada uno de los lados iguales mide $10$ pies más que el doble de la base. Calcula la medida de cada uno de los tres lados del parque planteando una ecuación.
Problemas de balanzas
Una balanza es un dibujo de una ecuación. Si la balanza está equilibrada, el plato izquierdo es igual al derecho. Lo que hagas en un plato, debes hacerlo en el otro. Es la misma regla que usas para resolver ecuaciones.
Pruébalo. Tres cajas idénticas (cada una pesa $x$) y una pesa de 2 g equilibran una pesa de 14 g. Mueve los controles y observa qué hace que la balanza se equilibre.
Algunas balanzas tienen cajas en ambos platos. Entonces quita la misma cantidad de cajas de los dos lados hasta que las cajas queden solo en un lado.
En el laboratorio de Ciencias, tenemos una balanza en equilibrio. En el plato de la izquierda hay $2$ cajas iguales (que pesan $x$ cada una) y una pesa de $1$ kg. En el…
En el laboratorio de Ciencias, tenemos una balanza en equilibrio. En el plato de la izquierda hay $2$ cajas iguales (que pesan $x$ cada una) y una pesa de $1$ kg. En el plato de la derecha hay una pesa de $7$ kg. Escribe la ecuación que representa este equilibrio y calcula cuánto pesa cada caja.
Para equilibrar una balanza en el laboratorio de Ciencias Naturales, hemos colocado en el platillo izquierdo una piedra que pesa un valor desconocido $x$ y una pesa de…
Para equilibrar una balanza en el laboratorio de Ciencias Naturales, hemos colocado en el platillo izquierdo una piedra que pesa un valor desconocido $x$ y una pesa de $12$ gramos. En el platillo derecho, para que esté en equilibrio, hemos tenido que poner cuatro pesas iguales, cada una de ellas con el mismo peso $x$ que la piedra original. ¿Cuánto pesa la piedra?
Conteos y valores
Algunos problemas dan dos totales: cuántos artículos hay y cuánto valen en conjunto (dinero, puntos, ruedas…). La cantidad y el valor son cosas distintas. Para obtener el valor, multiplica cuántos hay por el valor de cada uno.
El truco: si hay 18 artículos en total y $x$ son de un tipo, entonces del otro tipo hay $18 - x$.
Con dinero, el valor de cada moneda va en la columna "cada una", por ejemplo $\$0.50$ para una moneda de medio dólar. La ecuación usa dólares, así que $0.50(35 - x)$ es el valor de las monedas de medio dólar cuando hay $35 - x$ de ellas.
En un estacionamiento de un centro comercial hay un total de $32$ vehículos entre carros y motos. Si contamos las ruedas de todos ellos (sin incluir las de repuesto),…
En un estacionamiento de un centro comercial hay un total de $32$ vehículos entre carros y motos. Si contamos las ruedas de todos ellos (sin incluir las de repuesto), obtenemos un total de $94$ ruedas. Calcula cuántos carros y cuántas motos hay en el estacionamiento.
(Pista: Si llamamos $x$ al número de carros, el número de motos será $32 - x$).
En una alcancía hay monedas de $\$0,50$ y de $\$1$. En total hay $35$ monedas que suman un valor de $\$26…
En una alcancía hay monedas de $\$0,50$ y de $\$1$. En total hay $35$ monedas que suman un valor de $\$26$. ¿Cuántas monedas de cada tipo hay en la alcancía? (Pista: si llamas $x$ al número de monedas de $\$1$, el número de monedas de $\$0,50$ será $35 - x$).
Fracciones de lo que queda
Cuando un problema dice "usaron $\tfrac{1}{3}$ el sábado, y luego $\tfrac{1}{2}$ de lo que quedaba el domingo," la segunda fracción se aplica a una cantidad más pequeña. Un diagrama de cinta lo aclara.
Digamos que el tanque de agua de un campamento tiene $x$ galones. Los campistas usan $\tfrac{1}{3}$ del agua el sábado y $\tfrac{1}{2}$ de lo que queda el domingo. Al final quedan 40 galones.
También puedes trabajar hacia atrás. Los 40 galones son la mitad de lo que quedó el sábado, así que quedaban 80 galones. Esos 80 galones son $\tfrac{2}{3}$ del inicio, así que el inicio era $80 \div \tfrac{2}{3} = 80 \times \tfrac{3}{2} = 120$ galones. Ambos caminos dan la misma respuesta.
En una expedición científica por el Amazonas, el equipo consume el primer día $\frac{1}{4}$ de sus provisiones de agua. El segundo día consumen $\frac{2}{5}$ de lo que…
En una expedición científica por el Amazonas, el equipo consume el primer día $\frac{1}{4}$ de sus provisiones de agua. El segundo día consumen $\frac{2}{5}$ de lo que quedaba en el depósito. Si después de estos dos días aún tienen $135$ galones, ¿cuántos galones de agua tenían al comenzar la expedición?
Resumen
Volvamos al inicio: sea $x$ los puntos de Jayden. Marcus tiene $2x$, así que $x + 2x = 27$, lo que da $x = 9$. Jayden anotó 9 puntos y Marcus anotó 18.