Fracciones y fracciones equivalentes
Marcus dice que ha leído $\frac{3}{4}$ de su libro. Lucy dice que ha leído $\frac{9}{12}$ del suyo. Los libros tienen el mismo tamaño. ¿Quién va más adelantado? Los números se ven distintos, pero la respuesta puede sorprenderte: son fracciones equivalentes.
¿Qué son las fracciones equivalentes?
Cómo leer una fracción
Una fracción indica cuántas partes iguales tienes de las partes iguales en que se divide el entero. El número de abajo (denominador) dice en cuántas partes iguales se corta el entero. El número de arriba (numerador) dice de cuántas de esas partes hablas.
La misma idea sirve para un grupo: si 6 de los 15 jugadores de un equipo de básquetbol son zurdos, entonces $\frac{6}{15}$ del equipo es zurdo. También sirve en la recta numérica: divide el espacio entre $0$ y $1$ en pasos iguales y cuenta cuántos pasos hay desde $0$ hasta el punto. Las partes siempre deben ser iguales.
La misma cantidad con distinto nombre
Media pizza, dos cuartos o cuatro octavos: es la misma cantidad de pizza, aunque esté cortada de otra manera.
¿Cómo saberlo sin dibujar? Usa los productos cruzados.
Comprueba si las siguientes fracciones son equivalentes utilizando el método de los productos cruzados: $$\frac{4}{6} \text{ y } \frac{10}{15}$$ Muestra los cálculos…
Comprueba si las siguientes fracciones son equivalentes utilizando el método de los productos cruzados:
$$\frac{4}{6} \text{ y } \frac{10}{15}$$Muestra los cálculos realizados.
Dos amigos, Marcos y Lucía, están comparando cuánto han avanzado en la lectura de un mismo libro. Marcos dice que ha leído $\frac{3}{4}$ del total, mientras que Lucía…
Dos amigos, Marcos y Lucía, están comparando cuánto han avanzado en la lectura de un mismo libro. Marcos dice que ha leído $\frac{3}{4}$ del total, mientras que Lucía afirma haber completado $\frac{9}{12}$ de las páginas. Utiliza la representación gráfica para comprobar si ambos han leído la misma proporción del libro y justifica tu respuesta mediante el producto en cruz.
En un equipo de básquetbol, $6$ de los $15$ jugadores son zurdos. a) Escribe la fracción de jugadores zurdos. b) ¿Cuál de las siguientes fracciones es equivalente a la…
En un equipo de básquetbol, $6$ de los $15$ jugadores son zurdos.
- a) Escribe la fracción de jugadores zurdos.
- b) ¿Cuál de las siguientes fracciones es equivalente a la anterior?
-
$\frac{1}{3}$
-
$\frac{2}{5}$
-
$\frac{3}{10}$
Cómo obtener fracciones equivalentes multiplicando
Si multiplicas el numerador y el denominador por el mismo número, obtienes una fracción equivalente. Cortas cada pedazo en pedazos más pequeños: tienes más pedazos, pero cada uno es más pequeño.
Así también cambias el tamaño de los pedazos. Supón que la barra de energía de un videojuego tiene $8$ segmentos y $6$ están llenos, o sea $\frac{6}{8}$. Para cortar la barra en $24$ segmentos, nota que $8 \cdot 3 = 24$. Multiplica también el numerador por $3$: $\frac{6}{8} = \frac{18}{24}$. La barra está igual de llena.
Todas las fracciones equivalentes a $\frac{3}{7}$ tienen la forma $\frac{3k}{7k}$ para algún número entero $k$: $\frac{3}{7}, \frac{6}{14}, \frac{9}{21}, \frac{12}{28}, \dots$ Este patrón es útil cuando un problema te da pistas sobre una "fracción misteriosa".
Obtén tres fracciones equivalentes a $\frac{2}{7}$ por amplificación. Para ello, multiplica el numerador y el denominador por $2$, por $3$ y por $10$.
Obtén tres fracciones equivalentes a $\frac{2}{7}$ por amplificación. Para ello, multiplica el numerador y el denominador por $2$, por $3$ y por $10$.
Observa la posición del punto $P$ en la recta numérica. ¿Qué fracción representa? Escribe una fracción equivalente a ella cuyo denominador sea $10$.
Observa la posición del punto $P$ en la recta numérica. ¿Qué fracción representa? Escribe una fracción equivalente a ella cuyo denominador sea $10$.
En un videojuego, la barra de energía de un personaje está dividida originalmente en $8$ segmentos iguales. Si el personaje tiene actualmente $\frac{6}{8}$ de su…
En un videojuego, la barra de energía de un personaje está dividida originalmente en $8$ segmentos iguales. Si el personaje tiene actualmente $\frac{6}{8}$ de su energía, ¿cuántos segmentos estarían llenos si decidiéramos dividir la misma barra en $24$ partes más pequeñas? Escribe la fracción equivalente correspondiente.
Simplificar a su mínima expresión
En sentido contrario, puedes dividir el numerador y el denominador por el mismo número. Esto se llama simplificar. Cuando ya no puedes seguir, la fracción está en su forma más simple (también llamada mínima expresión).
No es necesario hallar el MCD de inmediato. También puedes dividir paso a paso entre cualquier factor común que veas (como $2$, $3$ o $5$) hasta que no quede ninguno.
Simplificar también es la forma más rápida de comprobar si unas fracciones son equivalentes: simplifica cada una y las equivalentes quedarán idénticas. Por ejemplo, $\frac{4}{12}$ y $\frac{10}{30}$ se simplifican a $\frac{1}{3}$.
Simplifica la siguiente fracción hasta obtener su fracción irreducible: $$\frac{18}{24}$$ Indica entre qué número has dividido el numerador y el denominador en cada paso.
Simplifica la siguiente fracción hasta obtener su fracción irreducible:
$$\frac{18}{24}$$Indica entre qué número has dividido el numerador y el denominador en cada paso.
Obtén la fracción irreducible de las siguientes expresiones utilizando el método de división sucesiva o calculando el Máximo Común Divisor ($M.C.D.$): a)…
Obtén la fracción irreducible de las siguientes expresiones utilizando el método de división sucesiva o calculando el Máximo Común Divisor ($M.C.D.$):
- a) $\dfrac{120}{180}$
- b) $\dfrac{45}{105}$
- c) $\dfrac{256}{512}$
De la siguiente lista de fracciones, agrupa aquellas que sean equivalentes entre sí:…
De la siguiente lista de fracciones, agrupa aquellas que sean equivalentes entre sí:
$\dfrac{1}{3}, \dfrac{5}{10}, \dfrac{2}{6}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{4}{12}, \dfrac{3}{6}, \dfrac{10}{30}, \dfrac{7}{14}$
Pista: Simplifica cada fracción a su forma irreducible para encontrarlas más FÁCILmente.
Cómo hallar un número que falta
A veces una fracción equivalente tiene un espacio en blanco, como $\frac{3}{5} = \frac{\Box}{20}$ o $\frac{3}{7} = \frac{21}{x}$. Tienes dos herramientas.
Herramienta 1: buscar el multiplicador. Compara los dos denominadores: $5 \cdot 4 = 20$, así que el numerador también se multiplica por $4$. Entonces $\Box = 3 \cdot 4 = 12$.
Herramienta 2: productos cruzados. Cuando el multiplicador no es obvio, usa $a \cdot d = b \cdot c$ y resuelve.
La incógnita puede estar dentro de una expresión. Primero simplifica la fracción que ya conoces; así los números son más pequeños.
Calcula el valor del número faltante para que la siguiente pareja de fracciones sean equivalentes: $$\frac{3}{5} = \frac{\Box}{20}$$
Calcula el valor del número faltante para que la siguiente pareja de fracciones sean equivalentes:
$$\frac{3}{5} = \frac{\Box}{20}$$Calcula el valor de la incógnita $x$ para que las siguientes parejas de fracciones sean equivalentes: a) $\dfrac{x}{15} = \dfrac{4}{5}$ b) $\dfrac{3}{7} = \dfrac{21}{x}$…
Calcula el valor de la incógnita $x$ para que las siguientes parejas de fracciones sean equivalentes:
- a) $\dfrac{x}{15} = \dfrac{4}{5}$
- b) $\dfrac{3}{7} = \dfrac{21}{x}$
- c) $\dfrac{18}{x} = \dfrac{6}{11}$
Halla el valor de la incógnita $n$ en cada una de las siguientes igualdades para que las fracciones sean equivalentes, sabiendo que $n$ debe ser un número entero…
Halla el valor de la incógnita $n$ en cada una de las siguientes igualdades para que las fracciones sean equivalentes, sabiendo que $n$ debe ser un número entero positivo:
- a) $\frac{n+2}{12} = \frac{15}{18}$
- b) $\frac{8}{n-3} = \frac{32}{40}$
- c) $\frac{3}{7} = \frac{n^2}{147}$
Denominadores comunes y enteros distintos
Es más fácil comparar dos fracciones cuando tienen el mismo denominador. La mejor opción es el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores, porque mantiene los números pequeños.
Las fracciones equivalentes también sirven para comprobar una afirmación. El robot de Irene ha recorrido $\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$ de una pista y el de Alexander ha recorrido $\frac{25}{30} = \frac{5}{6}$. Con denominador $12$, son $\frac{9}{12}$ y $\frac{10}{12}$. Alexander va adelante por $\frac{1}{12}$ de la pista. (Nota que si Irene avanza justo esa cantidad, las dos fracciones se igualan.)
Una fracción de una cantidad
Para hallar una fracción de una cantidad, divide entre el denominador y multiplica por el numerador. Si un jardín de $300$ ft² se reparte y a Marcus le tocan $\frac{4}{15}$, entonces $300 \div 15 = 20$ ft² por cada quinceavo, y $20 \cdot 4 = 80$ ft².
La misma fracción, enteros distintos
Volvamos al principio: Marcus ($\frac{3}{4}$) y Lucy ($\frac{9}{12}$) han leído la misma fracción de libros del mismo tamaño, porque $3 \cdot 12 = 4 \cdot 9$. Van exactamente igual de adelantados.
En una competencia de robótica, el robot de Irene ha completado $\frac{18}{24}$ del circuito, mientras que el de Alejandro ha completado $\frac{25}{30}$. a) Simplifica…
En una competencia de robótica, el robot de Irene ha completado $\frac{18}{24}$ del circuito, mientras que el de Alejandro ha completado $\frac{25}{30}$.
- a) Simplifica ambas fracciones hasta llegar a su fracción irreducible para saber qué robot va por delante.
- b) Irene afirma que si su robot recorre un tramo más equivalente a $\frac{1}{12}$ del total, las fracciones de ambos robots pasarán a ser equivalentes. ¿Es cierta su afirmación? Demuéstralo matemáticamente.
Una empresa de jugos utiliza dos envases diferentes. El envase A está lleno hasta los $\frac{3}{4}$ de su capacidad y el envase B hasta los $\frac{12}{16}$ de la suya.…
Una empresa de jugos utiliza dos envases diferentes. El envase A está lleno hasta los $\frac{3}{4}$ de su capacidad y el envase B hasta los $\frac{12}{16}$ de la suya.
- a) Demuestra gráficamente y mediante productos cruzados si las fracciones de llenado son equivalentes.
- b) Si el envase A tiene una capacidad de $2$ galones y el envase B tiene una capacidad de $1,5$ galones, ¿contienen la misma cantidad de jugo en galones? ¿Siguen representando la misma proporción respecto a sus propios envases? Explica la diferencia entre "fracción equivalente" y "cantidad absoluta".
Tres amigos, Lucía, Marcos y Sofía, han comprado un terreno rectangular para cultivar un huerto urbano. Lucía se queda con $\frac{2}{5}$ del terreno, Marcos con…
Tres amigos, Lucía, Marcos y Sofía, han comprado un terreno rectangular para cultivar un huerto urbano. Lucía se queda con $\frac{2}{5}$ del terreno, Marcos con $\frac{4}{15}$ y Sofía con el resto.
- a) Calcula la fracción simplificada que le corresponde a Sofía.
- b) Encuentra una fracción equivalente a la parte de Sofía cuyo numerador sea el doble que el numerador de la parte de Marcos.
- c) Si el terreno total mide $300$ pies cuadrados, ¿es cierto que la parte de Marcos es equivalente a tener $20$ trozos de $\frac{4}{1}$ pies cuadrados cada uno? Razona tu respuesta.