Puntos, rectas, rayos y ángulos

Observa la siguiente imagen e identifica cuál de los elementos dibujados corresponde a una recta, cuál a una semirrecta y cuál a un segmento. Explica brevemente la diferencia entre ellos fijándote en sus extremos.

Utiliza la regla para medir los siguientes segmentos y calcula la suma total de sus longitudes en centímetros ($cm$).

• Segmento $AB = 40$ $mm$

• Segmento $CD = 2,5$ $cm$

• Segmento $EF = 0,5$ $dm$

Recuerda pasar todas las medidas a la misma unidad antes de sumar.

En un mapa de senderismo, una ruta recta une el punto $A$ (un refugio) con el punto $B$ (una cascada). Si prolongamos la ruta más allá de la cascada hacia la cima de la montaña (punto $C$), identifica qué elemento geométrico representan los siguientes tramos:

1. El camino que empieza en el refugio y termina en la cascada.

2. El camino que empieza en el refugio y sigue indefinidamente pasando por la cascada y la cima.

3. La línea teórica que contiene al refugio, la cascada y la cima, extendiéndose sin fin en ambas direcciones.

En el plano de tu barrio, dos calles pueden cruzarse o ser paralelas. Observa el esquema de las rectas $a$, $b$ y $c$. Indica qué pareja de rectas son paralelas y qué pareja son secantes. ¿Cómo se llama el punto naranja donde se cortan dos de ellas?

Un arquitecto está diseñando una nueva zona residencial. Ha trazado tres calles representadas por las rectas $r$, $s$ y $t$. Observa el plano y responde de forma razonada:

• Si la calle $r$ es perpendicular a la calle $s$, y la calle $t$ es paralela a la calle $r$, ¿cómo son entre sí las calles $s$ y $t$?

• Si un carro circula por la calle $s$ y quiere girar para entrar en la calle $t$, ¿qué ángulo (en grados) tendrá que girar?

Clasifica los siguientes ángulos según su abertura en agudo, recto u obtuso. Para ayudarte, recuerda que un ángulo recto mide exactamente $90^\circ$.

• Ángulo $A = 45^\circ$

• Ángulo $B = 120^\circ$

• Ángulo $C = 90^\circ$

• Ángulo $D = 10^\circ$

Dibuja un polígono de tres lados (un triángulo) y nombra sus elementos principales. Debes indicar dónde están los vértices, los lados y los ángulos interiores. ¿Cuántos de cada uno tiene esta figura?

Un radar de tráfico gira sobre su eje barriendo un ángulo total de $145^\circ$ $30'$. Si el radar ya ha girado $82^\circ$ $45' $ $20''$, ¿cuánto le falta por girar para completar su barrido total? Expresa el resultado en grados, minutos y segundos.

En el diseño de una rampa para skaters, se han calculado tres ángulos internos que deben sumar un ángulo llano para que la estructura sea estable. Si los dos primeros ángulos miden $\hat{A} = 48^\circ$ $25'$ y $\hat{B} = 72^\circ$ $50'$, calcula la medida del tercer ángulo $\hat{C}$. ¿De qué tipo de ángulo se trata según su abertura (agudo, recto u obtuso)?

Una pizzería quiere dividir una pizza circular de $30 \text{ cm}$ de diámetro en 7 raciones iguales.

1. a) ¿Cuál es la medida exacta del ángulo central de cada ración en grados, minutos y segundos?
2. b) Si por error el primer corte se hace a $52^\circ$, ¿cuántos minutos y segundos de más tiene esa ración respecto a la medida correcta?

Dos ángulos son complementarios si su suma es $90^\circ$ y suplementarios si su suma es $180^\circ$. Calcula cuánto vale el ángulo que falta en cada caso:

1. a) El complementario de un ángulo de $35^\circ$.
2. b) El suplementario de un ángulo de $110^\circ$.

Dos ángulos son suplementarios. Si uno de ellos mide el triple que el otro, ¿cuál es la medida de cada uno de los ángulos? Ayúdate de un esquema gráfico para visualizar la situación.

En el diseño de una pieza metálica, dos ángulos son suplementarios. Si uno de ellos es el triple del otro disminuido en $20^\circ$, ¿cuánto mide cada uno de los ángulos? Plantea una estrategia lógica o matemática para hallar sus medidas en grados, minutos y segundos.

Cuando dos rectas se cortan, los ángulos opuestos por el vértice son iguales. En el siguiente dibujo, si sabemos que el ángulo naranja $\hat{\alpha}$ mide $40^\circ$, ¿cuánto medirán los ángulos $\hat{\beta}$, $\hat{\gamma}$ y $\hat{\delta}$?

Dos rectas paralelas, $r$ y $s$, son cortadas por una secante $t$. Se sabe que dos ángulos alternos internos vienen expresados por las medidas $2x + 15^\circ$ y $3x - 10^\circ$.

1. a) Halla el valor de $x$.
2. b) Calcula la medida de los ocho ángulos que se forman en la intersección.

Un jardinero quiere dividir un parterre de flores con forma de sector circular en dos sectores iguales. Para ello, necesita trazar la bisectriz del ángulo central que forma el parterre original, el cual mide $135^\circ$.

• Calcula cuánto medirá cada uno de los nuevos ángulos tras pasar la bisectriz.

• Si el jardinero comete un error y traza una línea que deja un ángulo de $60^\circ$ $40'$, ¿cuántos grados, minutos y segundos de diferencia hay respecto a la bisectriz correcta?

Dibuja un ángulo obtuso $\widehat{AOB} = 150^\circ$. Traza su bisectriz $OC$. Posteriormente, traza la bisectriz $OD$ del ángulo $\widehat{AOC}$. Sin utilizar el transportador de ángulos para la medida final, calcula aritméticamente cuánto mide el ángulo suplementario del ángulo $\widehat{DOB}$. Muestra todos los pasos de la operación en el sistema sexagesimal.

Dos amigos, Isabella y Mateo, quieren instalar una antena repetidora de Wi-Fi en el patio de la escuela secundaria que esté exactamente a la misma distancia de ambos. Si Isabella está en el punto $A$ y Mateo en el punto $B$:

1. ¿Cómo se llama la línea imaginaria donde podrían colocar la antena?

2. Si la distancia entre Isabella y Mateo es de $12$ pies, ¿a qué distancia mínima de cada uno estará la antena?

3. Dibuja un esquema representando los puntos $A$ y $B$, el segmento que los une y la línea donde deben situar la antena.

Tres pueblos, Alcedo ($A$), Berzosa ($B$) y Cañotal ($C$), están situados de forma que el ángulo con vértice en $A$ formado por las carreteras que van a $B$ y $C$ mide $74^\circ \ 12'$. Se quiere construir una torre de telefonía que esté exactamente a la misma distancia de la carretera $AB$ que de la carretera $AC$. Además, la torre debe estar situada a la misma distancia de los pueblos $B$ y $C$. Describe razonadamente qué elementos geométricos del plano (rectas notables) debes trazar para encontrar la ubicación exacta de la torre y qué nombre recibe el punto de intersección.

Las agujas de un reloj forman diferentes ángulos a lo largo del día.

1. a) ¿Qué tipo de ángulo forman las manecillas cuando son las 3:00 en punto?
2. b) ¿Y cuando son las 6:00 en punto?
3. c) ¿Qué ángulo (en grados) recorre la aguja del minutero en 15 minutos?

Observa las agujas de un reloj analógico cuando marca exactamente las $15:00$ (las tres en punto) y responde:

1. ¿Qué tipo de ángulo forman las dos agujas?

2. Si el reloj avanza hasta las $15:10$, el minutero ha girado un ángulo determinado. Sabiendo que cada minuto equivale a un giro de $6^\circ$, ¿qué ángulo ha recorrido el minutero?

3. En el momento de las $15:10$, ¿es el ángulo formado por las dos agujas mayor o menor que el que formaban a las $15:00$? (Ten en cuenta que la aguja de las horas también se desplaza un poco).

Calcula de forma exacta el ángulo menor que forman las agujas de un reloj analógico cuando marca las $10:20$ de la mañana. Ten en cuenta que la aguja de las horas se desplaza proporcionalmente al movimiento del minutero. (Pista: cada minuto, la aguja de las horas avanza $0,5^\circ$).