Números primos y factorización prima
En la clase de educación física, el entrenador Rivera quiere formar a $13$ estudiantes en filas iguales para un ejercicio de estiramiento. No funciona: las únicas opciones son $1$ fila de $13$ estudiantes o $13$ filas de $1$. Con $12$ estudiantes es fácil: $2 \times 6$, $3 \times 4$, $1 \times 12$... ¿Por qué el $13$ es tan terco y el $12$ tan flexible? La respuesta está en sus factores.
Números primos y compuestos
Un factor de un número es un número entero que lo divide exactamente (sin residuo). Los factores de $12$ son $1, 2, 3, 4, 6$ y $12$. Los factores de $13$ son solamente $1$ y $13$.
En clase de Educación Física, el profesor quiere organizar a los $13$ alumnos en filas y columnas perfectas para hacer un ejercicio (por ejemplo, $2$ filas de $6$…
En clase de Educación Física, el profesor quiere organizar a los $13$ alumnos en filas y columnas perfectas para hacer un ejercicio (por ejemplo, $2$ filas de $6$ personas).
- a) ¿Por qué no puede hacerlo con $13$ alumnos de ninguna forma que no sea una única fila de $13$?
- b) ¿Qué tipo de número es el $13$ según sus divisores?
Observe los siguientes números e identifique cuáles son compuestos razonando su respuesta (indicando al menos tres divisores para cada uno): $15, 17, 21, 23, 27$
Observe los siguientes números e identifique cuáles son compuestos razonando su respuesta (indicando al menos tres divisores para cada uno):
$15, 17, 21, 23, 27$
Un programador de videojuegos quiere crear un "monstruo final" cuyo nivel de fuerza sea el producto de los tres primeros números primos diferentes. ¿Qué nivel de fuerza…
Un programador de videojuegos quiere crear un "monstruo final" cuyo nivel de fuerza sea el producto de los tres primeros números primos diferentes. ¿Qué nivel de fuerza tendrá el monstruo?
La criba de Eratóstenes
Hace más de 2,000 años, el matemático griego Eratóstenes inventó un "filtro" que encuentra todos los primos hasta el número que elijas. Tachas los múltiplos de cada primo que encuentras, y lo que sobrevive es primo.
La criba como algoritmo
Un algoritmo es una lista precisa de pasos. Esta es la criba para los números hasta el $30$:
-
Escribe los números del $2$ al $30$. Deja fuera el $1$ porque no es primo.
-
Encierra en un círculo el número más pequeño que todavía no esté encerrado ni tachado.
-
Tacha todos los múltiplos de ese número que sean mayores que él. No taches el número encerrado.
-
Repite los pasos 2 y 3 hasta que cada número esté encerrado o tachado. Los números encerrados son los primos.
Para cribar hasta el $100$ solo necesitas tachar los múltiplos de $2, 3, 5$ y $7$. La siguiente sección explica por qué.
En una convención de coleccionistas de cartas, se han numerado los expositores del $10$ al $25$. Los organizadores quieren destacar los puestos que tienen un número…
En una convención de coleccionistas de cartas, se han numerado los expositores del $10$ al $25$. Los organizadores quieren destacar los puestos que tienen un número primo con un cartel naranja. Escriba la lista de todos los números de puesto que deberían llevar el cartel naranja.
La Criba de Eratóstenes funciona como un filtro que deja pasar solo a los números primos. Si vertemos los números del $1$ al $10$ en el filtro, explique por qué el…
La Criba de Eratóstenes funciona como un filtro que deja pasar solo a los números primos. Si vertemos los números del $1$ al $10$ en el filtro, explique por qué el número $1$ no se considera primo y por qué el número $9$ se queda atrapado en el filtro de los números compuestos.
Se dice que dos números son "primos gemelos" si ambos son primos y su diferencia es exactamente $2$ (como $3$ y $5$, o $11$ y $13$). a) Encuentre todas las parejas de…
Se dice que dos números son "primos gemelos" si ambos son primos y su diferencia es exactamente $2$ (como $3$ y $5$, o $11$ y $13$).
- a) Encuentre todas las parejas de primos gemelos que hay entre $50$ y $100$.
- b) ¿Es posible que existan tres números impares consecutivos que sean todos primos (trillizos primos)? Si la respuesta es sí, dé un ejemplo. Si es no, explique por qué razonando sobre la divisibilidad por $3$.
Cómo comprobar si un número es primo
Tachar todos los números hasta el $601$ tomaría una eternidad. Un atajo: para decidir si un número $N$ es primo, divídelo solo entre los primos hasta $\sqrt{N}$.
¿Por qué funciona? Los factores vienen en pares que multiplicados dan $N$. En cada par, un factor es menor o igual que $\sqrt{N}$ y el otro es mayor o igual.
Así que si $N$ tuviera algún factor aparte de $1$ y él mismo, tendría una pareja pequeña menor o igual que $\sqrt{N}$. Si revisaste todos los primos hasta $\sqrt{N}$ y no encontraste nada, ese factor no existe. Un factor grande no puede existir sin uno pequeño.
Las reglas de divisibilidad ayudan con los primos pequeños:
| Primo | Prueba rápida |
|---|---|
| $2$ | La última cifra es $0, 2, 4, 6$ u $8$ |
| $3$ | La suma de las cifras es divisible entre $3$ |
| $5$ | La última cifra es $0$ o $5$ |
| $7, 11, 13, \dots$ | No hay regla rápida: simplemente divide |
Clasifique los siguientes números en primos o compuestos razonando su respuesta mediante los criterios de divisibilidad. Para los números compuestos, indique al menos un…
Clasifique los siguientes números en primos o compuestos razonando su respuesta mediante los criterios de divisibilidad. Para los números compuestos, indique al menos un divisor distinto de $1$ y de sí mismo:
$47, 51, 67, 87, 91, 101$
En una clase de matemáticas, el profesor dice que para saber si un número menor que $100$ es primo, basta con comprobar que no es divisible por $2, 3, 5$ y $7$. Razone…
En una clase de matemáticas, el profesor dice que para saber si un número menor que $100$ es primo, basta con comprobar que no es divisible por $2, 3, 5$ y $7$.
Razone por qué no hace falta comprobar si es divisible por $11$ o por otros números primos mayores. Aplique esta idea para comprobar si el número $97$ es primo.
Para comprobar si el número $601$ es primo, un estudiante afirma que solo necesita dividirlo por los números primos menores que $25$. a) Justifique por qué el estudiante…
Para comprobar si el número $601$ es primo, un estudiante afirma que solo necesita dividirlo por los números primos menores que $25$.
- a) Justifique por qué el estudiante ha elegido el número $25$ como límite.
- b) Realice las divisiones necesarias siguiendo su razonamiento y determine si $601$ es primo o compuesto.
- c) ¿Cuál es el número primo más grande que tendría que probar para saber si $1009$ es primo?
Factorización prima
Los números primos son los "bloques de construcción" de todos los demás números. Todo número compuesto se puede escribir como un producto de primos, y de una sola manera (salvo el orden de los factores). Ese producto se llama su factorización prima.
Hay dos maneras comunes de hallarla.
Árbol de factores. Separa el número en dos factores cualesquiera y sigue separando cada factor compuesto hasta que en los extremos de las ramas solo queden primos.
Escalera (divisiones repetidas). Divide entre el primo más pequeño que entre exactamente, haz lo mismo con el cociente y sube por los primos hasta llegar a $1$. Algunos problemas lo llaman el método de la barra vertical por la barra que se dibuja entre el número y los primos.
Los primos repetidos se escriben como potencia: $2 \times 2 \times 2 = 2^3$.
Complete este "árbol de factores" para realizar la descomposición en factores primos del número $12$. Recuerde que en las ramas finales solo pueden quedar números primos.
Complete este "árbol de factores" para realizar la descomposición en factores primos del número $12$. Recuerde que en las ramas finales solo pueden quedar números primos.
A los números primos se les llama a veces "los ladrillos de las matemáticas" porque con ellos se construyen todos los demás números. a) Si multiplica…
A los números primos se les llama a veces "los ladrillos de las matemáticas" porque con ellos se construyen todos los demás números.
- a) Si multiplica $3 \cdot 3 \cdot 5$, ¿qué número compuesto obtiene?
- b) ¿Es posible obtener el número $20$ multiplicando solo números primos? Demuéstrelo escribiendo su descomposición.
Realice la descomposición en factores primos (factorización) de los siguientes números utilizando el método de la barra vertical. Exprese el resultado final utilizando…
Realice la descomposición en factores primos (factorización) de los siguientes números utilizando el método de la barra vertical. Exprese el resultado final utilizando potencias cuando sea posible:
- a) $180$
- b) $252$
- c) $450$
Factores a partir de la factorización prima
La factorización es como una lista de piezas. Te dice todo sobre los factores de un número sin tener que dividir una y otra vez.
¿Es divisible entre...? Un número es divisible entre $d$ exactamente cuando los primos de $d$ caben dentro de los primos del número.
Cómo listar todos los factores. Combina todas las potencias de cada primo, una elección por cada primo.
Halle todos los divisores de los siguientes números utilizando su descomposición factorial. Muestre el proceso de combinación de factores: a) $28$ b) $42$
Halle todos los divisores de los siguientes números utilizando su descomposición factorial. Muestre el proceso de combinación de factores:
- a) $28$
- b) $42$
Observe la siguiente descomposición factorial de un número "misterioso" $N$: $N = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5$ Sin necesidad de calcular el valor de $N$, responda de forma…
Observe la siguiente descomposición factorial de un número "misterioso" $N$:
$N = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5$
Sin necesidad de calcular el valor de $N$, responda de forma razonada:
- a) ¿Es $N$ divisible por $10$?
- b) ¿Es $N$ un múltiplo de $18$?
- c) Escriba tres divisores de $N$ que no sean números primos.
Un número natural $N$ tiene la siguiente particularidad: su descomposición en factores primos es de la forma $2^a \cdot 3^b$. Sabemos que si multiplicamos $N$ por $2$,…
Un número natural $N$ tiene la siguiente particularidad: su descomposición en factores primos es de la forma $2^a \cdot 3^b$. Sabemos que si multiplicamos $N$ por $2$, el número de sus divisores aumenta en $3$, y si lo multiplicamos por $3$, el número de sus divisores aumenta en $4$.
Calcule el valor de los exponentes $a$ y $b$, y halle el número $N$.
Pista: Recuerde que si un número es $p^x \cdot q^y$, el número total de sus divisores es $(x + 1) \cdot (y + 1)$.
MCD y mcm a partir de la factorización prima
Dos números pueden compartir factores y también múltiplos. Dos ideas son especialmente útiles.
Las factorizaciones primas hacen fáciles ambos:
Toma $36 = 2^2 \times 3^2$ y $60 = 2^2 \times 3 \times 5$.
| Primo | En $36$ | En $60$ | Menor | Mayor |
|---|---|---|---|---|
| $2$ | $2^2$ | $2^2$ | $2^2$ | $2^2$ |
| $3$ | $3^2$ | $3^1$ | $3^1$ | $3^2$ |
| $5$ | ninguno | $5^1$ | no se usa | $5^1$ |
Entonces $\text{MCD} = 2^2 \times 3 = 12$ y $\text{mcm} = 2^2 \times 3^2 \times 5 = 180$.
Se dice que dos números son primos entre sí (o coprimos) si su único divisor común es el $1$. Compruebe si los números $8$ y $9$ son primos entre sí siguiendo estos…
Se dice que dos números son primos entre sí (o coprimos) si su único divisor común es el $1$. Compruebe si los números $8$ y $9$ son primos entre sí siguiendo estos pasos:
-
Escriba todos los divisores de $8$.
-
Escriba todos los divisores de $9$.
-
Rodee los que tengan en común. ¿Son primos entre sí?
Un almacén de logística quiere organizar $120$ cajas de refrescos y $144$ cajas de jugos en tarimas iguales, de forma que cada tarima tenga el mismo número de cajas de…
Un almacén de logística quiere organizar $120$ cajas de refrescos y $144$ cajas de jugos en tarimas iguales, de forma que cada tarima tenga el mismo número de cajas de cada tipo y que este número sea el máximo posible.
- a) ¿Cuántas cajas de cada tipo habrá en cada tarima?
- b) ¿Cuántas tarimas se necesitarán en total?
En una convención de jóvenes programadores, se quiere organizar a los asistentes en equipos idénticos. Hay $154$ niños y $132$ niñas. El objetivo es que cada equipo…
En una convención de jóvenes programadores, se quiere organizar a los asistentes en equipos idénticos. Hay $154$ niños y $132$ niñas. El objetivo es que cada equipo tenga el mismo número de niños y el mismo número de niñas, y que el número de equipos sea el máximo posible para fomentar la competitividad.
- a) ¿Cuántos equipos se formarán y cuántas personas habrá en cada uno?
- b) Si por motivos de seguridad, los equipos no pueden tener más de $20$ personas, ¿cuál es el siguiente número máximo de equipos que se podrían formar cumpliendo las condiciones de igualdad?
Problemas de enunciado: ¿MCD o mcm?
Lo más difícil de un problema de enunciado es decidir qué herramienta usar. Busca las palabras clave.
| El problema dice... | Usa |
|---|---|
| repartir en grupos iguales, cortar en pedazos iguales, "tantos como sea posible", "lo más largo posible" | MCD (la respuesta es un tamaño o un número de grupos) |
| vuelve a ocurrir al mismo tiempo, se repite cada..., "la primera vez que otra vez", "el menor número que sirve para ambos" | mcm (la respuesta es un tiempo o una cantidad que es múltiplo) |
| sobrantes: "sobran $3$" | mcm de los tamaños de los grupos, y luego suma el sobrante |
Los eventos que se repiten a intervalos regulares coinciden en los múltiplos del mcm.
Tres líneas de metro coinciden en la estación central a las $06:00$ de la mañana. La línea A pasa cada $12$ minutos, la línea B cada $15$ minutos y la línea C cada $20$…
Tres líneas de metro coinciden en la estación central a las $06:00$ de la mañana. La línea A pasa cada $12$ minutos, la línea B cada $15$ minutos y la línea C cada $20$ minutos.
¿A qué hora volverán a coincidir las tres líneas por primera vez? ¿Cuántas veces habrán coincidido en total antes de las $10:00$ de la mañana?
Isabella tiene una colección de monedas antiguas. Si las agrupa de $6$ en $6$, le sobran $3$. Si las agrupa de $10$ en $10$, también le sobran $3$. Sabiendo que tiene…
Isabella tiene una colección de monedas antiguas. Si las agrupa de $6$ en $6$, le sobran $3$. Si las agrupa de $10$ en $10$, también le sobran $3$.
Sabiendo que tiene más de $50$ monedas pero menos de $80$, ¿cuántas monedas tiene exactamente Isabella en su colección? (Pista: relacione el problema con el concepto de mínimo común múltiplo).
En el laboratorio de robótica, tres drones se han programado para emitir una señal luminosa en intervalos diferentes. El dron Alfa parpadea cada $45$ segundos, el dron…
En el laboratorio de robótica, tres drones se han programado para emitir una señal luminosa en intervalos diferentes. El dron Alfa parpadea cada $45$ segundos, el dron Beta cada $60$ segundos y el dron Gamma cada $72$ segundos. Si los tres drones se encienden simultáneamente a las $10:00$ de la mañana:
- a) ¿A qué hora exacta volverán a coincidir los tres parpadeos por primera vez?
- b) ¿Cuántas veces habrán coincidido los tres drones antes de las $11:00$ de la mañana (sin contar el parpadeo inicial)?
Problemas de desafío
Estos problemas combinan varias ideas. Aquí tienes tres estrategias.
1. Descomponer un producto de dos primos. Los sistemas de seguridad de internet se basan en que multiplicar dos primos enormes es fácil, pero hallarlos a partir del producto es muy difícil. Para números de nuestro tamaño, prueba los primos cercanos a $\sqrt{N}$.
Un producto de dos primos distintos $p \times q$ tiene $(1 + 1)(1 + 1) = 4$ factores: $1$, $p$, $q$ y $pq$.
2. Construir un número a partir de factores requeridos. "Un múltiplo de $A$ y $B$" significa un múltiplo de $\text{mcm}(A, B)$. Halla el mcm y luego lista sus múltiplos hasta caer en el intervalo dado. Por ejemplo, un número entre $70$ y $100$ que sea múltiplo de $14$ y $21$: $14 = 2 \times 7$ y $21 = 3 \times 7$, así que $\text{mcm} = 2 \times 3 \times 7 = 42$. Los múltiplos son $42, 84, 126, \dots$, así que el número es $84$.
3. Usar una herramienta a la vez. En problemas de varios pasos, termina la primera pregunta (a menudo un MCD) y luego pregúntate: "¿Qué números nuevos tengo ahora?" y decide qué herramienta necesita la siguiente pregunta. Para comprobar una suma de factores (como en un problema de "número perfecto"), lista todos los factores a partir de la factorización prima, suma los que quieras y verifica que incluiste cada uno exactamente una vez.
Un número "perfecto" es aquel que es igual a la suma de todos sus divisores propios (todos sus divisores excepto él mismo). Por ejemplo, el $6$ es perfecto porque sus…
Un número "perfecto" es aquel que es igual a la suma de todos sus divisores propios (todos sus divisores excepto él mismo). Por ejemplo, el $6$ es perfecto porque sus divisores son $1, 2, 3$ y $1 + 2 + 3 = 6$.
- a) Compruebe si el número $28$ es un número perfecto.
- b) El siguiente número perfecto es mayor que $400$ y menor que $500$. Sabiendo que es múltiplo de $16$ y de $31$, utilice la descomposición factorial para encontrarlo.
En ciberseguridad, se utilizan números primos muy grandes para crear claves. Supongamos que una clave de seguridad se genera multiplicando dos números primos distintos,…
En ciberseguridad, se utilizan números primos muy grandes para crear claves. Supongamos que una clave de seguridad se genera multiplicando dos números primos distintos, $p$ y $q$. El resultado es $N = p \cdot q$.
Si sabemos que $N = 1591$ y que uno de los números primos es cercano a la raíz cuadrada de $N$:
- a) Encuentre los valores de $p$ y $q$.
- b) ¿Cuántos divisores totales tiene el número $N$? Justifique su respuesta sin enumerarlos.
Disponemos de una cuerda de $210$ pulgadas y otra de $330$ pulgadas. Queremos cortarlas en pedazos de la misma longitud, de manera que sean lo más largos posible y no…
Disponemos de una cuerda de $210$ pulgadas y otra de $330$ pulgadas. Queremos cortarlas en pedazos de la misma longitud, de manera que sean lo más largos posible y no sobre nada.
- a) ¿Qué longitud tendrá cada pedazo?
- b) Una vez cortados, queremos guardar todos los pedazos en cajas. En cada caja solo puede haber pedazos de una sola cuerda (no se pueden mezclar). Si cada caja debe tener el mismo número de pedazos, ¿cuál es el número máximo de pedazos que podemos poner en cada caja para que no sobre ningún pedazo y usemos el menor número de cajas posible?
Volvamos al principio: los $13$ estudiantes del entrenador Rivera solo pueden formar una fila porque $13$ es primo: sus únicos factores son $1$ y $13$. El número $12$ es compuesto y tiene seis factores ($1, 2, 3, 4, 6, 12$), así que se puede acomodar en muchos rectángulos distintos.