"Conceptos básicos de estadística: poblaciones, muestras y variables"
¿Cuál es el almuerzo más popular en la cafetería de tu escuela? Hay 800 estudiantes y nadie quiere preguntarle a todos. Entonces, ¿a quién le preguntas y qué anotas exactamente? La estadística empieza con estas dos preguntas, y al final de esta página sabrás responderlas.
Población, muestra e individuo
Todo estudio estadístico trata de un grupo. Las palabras de abajo te dicen de qué grupo se trata y qué parte de él observas realmente.
¿Cómo se lee un diagrama como este? El recuadro grande es la población y la parte resaltada es la muestra. Cuenta todos los puntos para obtener el tamaño de la población (aquí 24) y cuenta los puntos resaltados para obtener el tamaño de la muestra (aquí 4). Cuando un problema te da los números, el total de elementos es el tamaño de la población y la cantidad que se revisó es el tamaño de la muestra.
Fíjate en que una población no tiene que ser de personas. Puede ser los tornillos que fabrica una máquina, los árboles de un parque o los días de lluvia de un año. El individuo siempre es un elemento de esa colección.
Una empresa de videojuegos quiere saber cuál es el género favorito de los alumnos de tu escuela secundaria. Para no preguntar a los $800$ alumnos, deciden hacer una…
Una empresa de videojuegos quiere saber cuál es el género favorito de los alumnos de tu escuela secundaria. Para no preguntar a los $800$ alumnos, deciden hacer una encuesta a $10$ estudiantes de cada clase de la escuela.
Identifica los siguientes elementos del estudio estadístico:
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Población:
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Muestra:
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Individuo:
Para mejorar la calidad de la comida en la cafetería de una gran escuela secundaria de $1200$ alumnos, el consejo escolar decide preguntar su opinión a los $5$ primeros…
Para mejorar la calidad de la comida en la cafetería de una gran escuela secundaria de $1200$ alumnos, el consejo escolar decide preguntar su opinión a los $5$ primeros alumnos de cada clase que entran a la escuela el lunes por la mañana. Identifica los siguientes elementos de este estudio estadístico:
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a) Población.
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b) Muestra.
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c) Individuo.
Observa el siguiente esquema que representa un estudio sobre la salud de los árboles en un parque natural que tiene $5000$ ejemplares. El equipo forestal ha analizado…
Observa el siguiente esquema que representa un estudio sobre la salud de los árboles en un parque natural que tiene $5000$ ejemplares. El equipo forestal ha analizado $150$ de ellos.
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a) ¿Cuál es el tamaño de la población?
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b) ¿Cuál es el tamaño de la muestra?
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c) Si los investigadores anotan si el árbol tiene plaga o no, ¿qué tipo de variable están estudiando?
¿Censo o muestra?
Cuando estudias a todos los individuos de la población, se llama censo. Cuando estudias solo una parte, usas una muestra. ¿Por qué no hacer siempre un censo? A veces es demasiado grande, demasiado lento o demasiado caro. A veces es simplemente imposible.
A veces es imposible estudiar a toda la población y por eso usamos una muestra. Explica en cuál de estos casos crees que es obligatorio usar una muestra en lugar de…
A veces es imposible estudiar a toda la población y por eso usamos una muestra. Explica en cuál de estos casos crees que es obligatorio usar una muestra en lugar de preguntar a toda la población:
- a) Queremos saber la nota media del último examen de matemáticas de tu clase de 6.º grado.
- b) Una fábrica de bombillas quiere saber cuántas horas duran encendidas antes de quemarse.
- c) El director de la escuela secundaria quiere saber cuántos alumnos han venido hoy a clase.
- d) Un hospital quiere analizar el grupo sanguíneo de todos los habitantes de un estado.
Un fabricante de teléfonos celulares quiere comprobar la resistencia de la pantalla de un nuevo modelo. La fábrica produce $10,000$ teléfonos al día. Para el estudio, se…
Un fabricante de teléfonos celulares quiere comprobar la resistencia de la pantalla de un nuevo modelo. La fábrica produce $10,000$ teléfonos al día. Para el estudio, se seleccionan $50$ teléfonos y se dejan caer repetidamente desde una altura de $1,5$ pies hasta que la pantalla se rompe, anotando cuántas caídas soporta cada uno.
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a) Explica por qué en este caso es estrictamente necesario utilizar una muestra en lugar de estudiar toda la población.
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b) Identifica la variable estudiada y clasícala.
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c) ¿Qué ocurriría con la producción si el fabricante decidiera no usar una muestra y analizar cada individuo de la población?
Muestras representativas y sesgo
Una muestra solo es útil si es representativa. Eso significa que se parece a toda la población, pero en pequeño. La mejor manera de obtener una es una muestra aleatoria, en la que cada individuo tiene la misma probabilidad de ser elegido. Podrías numerar a todos y sacar números de un sombrero o usar un generador de números aleatorios. Para ser aún más justo, también puedes elegir algunos estudiantes de cada grado.
Una muestra que se inclina hacia un tipo de respuesta tiene sesgo. Estas son las causas más comunes:
| Causa del sesgo | Qué sale mal | Ejemplo |
|---|---|---|
| Muestra por conveniencia | Le preguntas a quien es más fácil de alcanzar. | Preguntar solo a tu mesa del almuerzo, o a los primeros estudiantes que entran. |
| Respuesta voluntaria | Solo responden las personas con opiniones fuertes. | Una encuesta en línea en la que cualquiera puede hacer clic. |
| Grupo excluido | Una parte de la población no tiene oportunidad de ser elegida. | Una encuesta telefónica que deja fuera a quienes no tienen teléfono. |
¿Cómo recopilamos los datos?
Una vez elegida la muestra, necesitamos una herramienta para obtener los datos:
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Encuesta o cuestionario: le preguntas a la gente (deporte favorito, opiniones).
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Observación directa: miras y anotas (carros que pasan frente a la escuela en una hora).
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Instrumento de medición: usas un aparato (una regla, una báscula, un cronómetro, un termómetro).
Analiza la siguiente situación: El ayuntamiento de una ciudad quiere saber si los ciudadanos están contentos con el nuevo carril bici. Para ahorrar costos, deciden…
Analiza la siguiente situación: El ayuntamiento de una ciudad quiere saber si los ciudadanos están contentos con el nuevo carril bici. Para ahorrar costos, deciden preguntar solo a las personas que circulan por el carril bici un sábado por la mañana.
- a) ¿Es la muestra aleatoria?
- b) ¿Qué tipo de sesgo crees que presentará este estudio? ¿Los resultados sobreestimarán o infraestimarán la satisfacción general de la ciudad?
- c) Propón una forma de elegir la muestra que incluya a personas que no usan la bicicleta para que el estudio sea objetivo.
- d) Si la variable es "Grado de satisfacción (Nada, Poco, Mucho)", ¿de qué tipo de variable se trata? ¿Se podría calcular la media aritmética de estos datos? Justifica por qué.
Un famoso influencer* quiere saber qué opinan los adolescentes en Estados Unidos sobre el nuevo límite de tiempo en una red social. Para ello, pone una encuesta en sus…
Un famoso influencer quiere saber qué opinan los adolescentes en Estados Unidos sobre el nuevo límite de tiempo en una red social. Para ello, pone una encuesta en sus "historias" de Instagram durante 24 horas. Participan $15.400$ personas.
- a) Identifica la población objeto de estudio y la muestra utilizada.
- b) ¿Crees que la muestra es representativa de la población? Razona tu respuesta analizando dos posibles factores que puedan invalidar los resultados (sesgos).
- c) Propón un método más fiable para elegir una muestra de $500$ individuos que realmente represente a todos los adolescentes de Estados Unidos.
Imagina que quieres realizar un estudio estadístico para convencer al director de tu escuela de que las clases deberían empezar 15 minutos más tarde para mejorar el…
Imagina que quieres realizar un estudio estadístico para convencer al director de tu escuela de que las clases deberían empezar 15 minutos más tarde para mejorar el rendimiento.
- a) Define claramente la población y una muestra adecuada que no sea sesgada.
- b) Diseña tres variables distintas que pudieras medir: una cualitativa, una cuantitativa que sea un conteo (números enteros) y otra cuantitativa que sea una medición (con decimales).
- c) Indica qué instrumento de recogida de datos usarías para cada una (encuesta, observación directa o aparato de medida).
Variables cualitativas y cuantitativas
Una variable es la característica que anotamos de cada individuo. El almuerzo favorito, el número de mascotas y la estatura son variables. Hay dos tipos principales.
Algunas variables cualitativas tienen un orden, como la satisfacción (Muy insatisfecho, Neutral, Satisfecho, Muy satisfecho) o la talla de camiseta (S, M, L). Siguen siendo categorías. Puedes ordenarlas, pero en realidad no puedes sumarlas.
Un estudio normalmente registra varias variables de cada individuo a la vez. Por ejemplo, una clase de ciencias cultiva 100 plantas de frijol y anota la altura de cada planta en pulgadas, el color de sus flores y el número de vainas que produce. Son tres variables de los mismos individuos: la altura es cuantitativa (medida), el color de las flores es cualitativa y el número de vainas es cuantitativa (contada). Cuando te pidan diseñar variables, elige una de cada tipo y explica cómo obtendrías los datos: una encuesta, observación o un instrumento de medición.
Clasifica las siguientes variables estadísticas en cualitativas (si expresan una cualidad o característica) o cuantitativas (si se expresan mediante un número): a) El…
Clasifica las siguientes variables estadísticas en cualitativas (si expresan una cualidad o característica) o cuantitativas (si se expresan mediante un número):
- a) El nombre de las aplicaciones más usadas en el celular de tus amigos.
- b) El número de hermanos que tiene cada alumno de tu clase.
- c) La marca de los tenis que llevan los jugadores de un equipo.
- d) La temperatura máxima alcanzada en tu ciudad cada día de esta semana.
- e) El deporte preferido de los socios de un club de atletismo.
Una tienda de ropa en línea quiere conocer el grado de satisfacción de sus clientes (Muy insatisfecho, Insatisfecho, Neutro, Satisfecho, Muy satisfecho). a) Clasifica…
Una tienda de ropa en línea quiere conocer el grado de satisfacción de sus clientes (Muy insatisfecho, Insatisfecho, Neutro, Satisfecho, Muy satisfecho).
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a) Clasifica esta variable. ¿Es cuantitativa o cualitativa?
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b) Aunque se usen palabras, a veces se asignan números ($1$ al $5$) para calcular la media. ¿Crees que esto convierte a la variable en cuantitativa? Razona tu respuesta.
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c) Si la tienda envía la encuesta a $500$ clientes que compraron ayer, ¿quién es el "individuo" en este estudio?
Clasifica las siguientes variables estadísticas en cualitativas o cuantitativas. En el caso de las cuantitativas, reflexiona sobre si tiene sentido realizar operaciones…
Clasifica las siguientes variables estadísticas en cualitativas o cuantitativas. En el caso de las cuantitativas, reflexiona sobre si tiene sentido realizar operaciones aritméticas (como la media) con sus valores:
- a) El código postal de la residencia de los alumnos de una escuela secundaria.
- b) El número de serie de las computadoras de la biblioteca.
- c) La temperatura media diaria registrada en el patio de la escuela durante el mes de enero.
- d) El dorsal (número de la camiseta) de los jugadores de un equipo de baloncesto.
- e) El tiempo, expresado en segundos, que tarda un grupo de nadadores en cruzar una piscina de $50$ pies.
Nota: Piensa si el "número" actúa como una etiqueta o como una medida real.
Variables discretas y continuas
Las variables cuantitativas vienen en dos tipos.
| Tipo | Cómo se obtienen los datos | Ejemplos |
|---|---|---|
| Cualitativa | Se observa una categoría | Deporte favorito, color de ojos |
| Cuantitativa discreta | Se cuenta | Hermanos, goles, libros en una mochila |
| Cuantitativa continua | Se mide | Estatura, peso, tiempo |
Los promedios de variables discretas pueden ser decimales. Si 200 adolescentes leen un total de 450 libros, la media es $450 \div 200 = 2.25$ libros por adolescente. Ningún adolescente leyó 2.25 libros, pero la media describe al grupo.
Dentro de las variables cuantitativas, distinguimos entre discretas (cuando toman valores aislados, normalmente números enteros) y continuas (cuando pueden tomar…
Dentro de las variables cuantitativas, distinguimos entre discretas (cuando toman valores aislados, normalmente números enteros) y continuas (cuando pueden tomar cualquier valor en un intervalo, como decimales). Clasifica estas variables:
- a) El número de goles que marca un equipo en cada partido de liga.
- b) El tiempo exacto que tarda un nadador en recorrer $50$ pies.
- c) La cantidad de libros que hay en las mochilas de los alumnos.
- d) La estatura de los componentes de la selección nacional de baloncesto.
En un estudio sobre los hábitos de lectura de los adolescentes de una ciudad, se define la variable estadística como: "Número de libros leídos durante el último verano".…
En un estudio sobre los hábitos de lectura de los adolescentes de una ciudad, se define la variable estadística como: "Número de libros leídos durante el último verano".
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a) ¿De qué tipo es esta variable?
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b) Si el estudio se realiza sobre una muestra de $200$ jóvenes y la suma de todos sus libros leídos es $450$, ¿qué representa el valor $2,25$ en este contexto?
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c) Inventa tres posibles valores que podría tomar un individuo en esta variable.
Imagina que quieres realizar un estudio sobre los hábitos de lectura de los adolescentes de tu ciudad. Indica un ejemplo de: 1. Una pregunta cuya respuesta sea una…
Imagina que quieres realizar un estudio sobre los hábitos de lectura de los adolescentes de tu ciudad. Indica un ejemplo de:
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Una pregunta cuya respuesta sea una variable cualitativa.
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Una pregunta cuya respuesta sea una variable cuantitativa discreta.
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Una pregunta cuya respuesta sea una variable cuantitativa continua.
Frecuencia
Después de recopilar los datos, el primer paso es contar. La frecuencia de un valor es el número de veces que aparece en los datos. (Algunos problemas la llaman frecuencia absoluta y la escriben $f$). Al sumar todas las frecuencias se obtiene el número total de datos, que es el tamaño de la muestra $n$.
Una gráfica de barras muestra las frecuencias de un vistazo. La altura de cada barra es la frecuencia.
Aquí cada línea de la cuadrícula es un estudiante. Pero las gráficas no siempre cuentan de uno en uno, así que revisa siempre qué representa cada paso del eje vertical antes de leer una barra.
Un grupo de amigos está discutiendo sobre qué película ir a ver al cine. Han anotado sus preferencias: Aventuras, Comedia, Terror, Aventuras, Aventuras, Terror, Comedia,…
Un grupo de amigos está discutiendo sobre qué película ir a ver al cine. Han anotado sus preferencias:
Aventuras, Comedia, Terror, Aventuras, Aventuras, Terror, Comedia, Aventuras, Comedia.
Contesta a las siguientes preguntas sobre los conceptos básicos:
- a) ¿Cuál es la variable estadística que se está estudiando?
- b) ¿De qué tipo es dicha variable?
- c) ¿Cuál es la frecuencia absoluta (número de veces que aparece) de la categoría "Aventuras"?
Observa el siguiente diagrama de barras que representa las mascotas de los alumnos de una clase y responde basándote en los conceptos aprendidos: a) ¿Cuál es el tamaño…
Observa el siguiente diagrama de barras que representa las mascotas de los alumnos de una clase y responde basándote en los conceptos aprendidos:
- a) ¿Cuál es el tamaño de la muestra (número total de alumnos encuestados)?
- b) ¿Cuál es la variable estudiada y de qué tipo es?
- c) ¿Cuál es la frecuencia absoluta de la variable "Gato"?
Frecuencia relativa y gráficas circulares
¿Son muchos 7 estudiantes? En un grupo de 10, sí. En un grupo de 700, no. Para comparar grupos de distinto tamaño usamos la frecuencia relativa, que es la fracción de los datos que tiene un valor dado.
¿Por qué funciona? Una gráfica circular muestra todo el conjunto de datos como un círculo completo, que mide $360^\circ$. Un grupo que es $\frac{1}{4}$ de los datos recibe $\frac{1}{4}$ del círculo.
También puedes trabajar al revés. Usa estas dos reglas:
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De una frecuencia relativa a un conteo: $f = h \times n$.
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De un ángulo de sector a una frecuencia relativa: $h = \text{ángulo} \div 360^\circ$.
Cuando a una tabla le faltan datos, usa lo que sabes: las frecuencias suman $n$ y las frecuencias relativas suman $1$. Si conoces el total y todas las frecuencias menos una, resta para hallar la última.
En un estudio sobre el consumo de fruta en una clase de $30$ alumnos, se han perdido algunos datos de la tabla de frecuencias. Sabemos que la frecuencia relativa ($h_i$)…
En un estudio sobre el consumo de fruta en una clase de $30$ alumnos, se han perdido algunos datos de la tabla de frecuencias. Sabemos que la frecuencia relativa ($h_i$) de los alumnos que comen "3 piezas al día" es exactamente $0,2$ y que la frecuencia absoluta ($f_i$) de los que comen "1 pieza al día" es el triple de los que comen "ninguna".
Si hay $2$ alumnos que no comen ninguna pieza de fruta al día, completa razonadamente los siguientes datos:
- a) ¿Cuántos alumnos comen $3$ piezas de fruta al día?
- b) ¿Cuántos alumnos comen $1$ pieza de fruta al día?
- c) ¿Cuál es la frecuencia absoluta de los que comen "2 piezas al día", sabiendo que entre todas las opciones anteriores suman el total de la clase?
Se ha realizado una encuesta sobre el número de hijos por familia en una urbanización de $200$ familias. Se sabe que el $15\%$ de las familias tienen $3$ o más hijos. a)…
Se ha realizado una encuesta sobre el número de hijos por familia en una urbanización de $200$ familias. Se sabe que el $15\%$ de las familias tienen $3$ o más hijos.
- a) ¿Cuál es la frecuencia absoluta del suceso "tener 3 o más hijos"?
- b) Si el ángulo en un diagrama de sectores para las familias con "1 hijo" es de $144^\circ$, ¿cuántas familias tienen exactamente un hijo?
- c) Calcula la frecuencia relativa del grupo de familias que tienen "1 hijo".
Experimentos aleatorios y deterministas
Algunas cosas se pueden predecir con seguridad. Otras no.
En un experimento aleatorio sí podemos enumerar todos los resultados posibles. La lista de todos los resultados posibles se llama espacio muestral. Al lanzar un dado estándar, el espacio muestral es $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Al lanzar una moneda es $\{\text{cara}, \text{cruz}\}$.
Prueba tú la moneda y fíjate en que nunca puedes predecir el siguiente lanzamiento, aunque conozcas los dos resultados posibles.
Los experimentos reales en un laboratorio o en un jardín también suelen ser aleatorios. Si cultivas 200 plantas con la misma luz, la misma tierra y la misma agua, de todos modos no todas terminarán con la misma altura ni con el mismo número de tomates. No puedes predecir el resultado exacto de cada planta, así que medirlas es un experimento aleatorio.
En nuestra vida diaria ocurren muchas cosas, pero no todas dependen del azar. Indica cuáles de las siguientes situaciones son experimentos aleatorios y cuáles son…
En nuestra vida diaria ocurren muchas cosas, pero no todas dependen del azar. Indica cuáles de las siguientes situaciones son experimentos aleatorios y cuáles son deterministas:
- a) Lanzar una moneda al aire y observar si sale cara o cruz.
- b) Calcular cuánto costarán $3$ entradas de cine si cada una vale $8$ dólares.
- c) Preguntar a un compañero cuál es su color favorito.
- d) Dejar caer una piedra desde un balcón y ver si cae hacia abajo.
- e) Sacar una carta de una baraja de cartas sin mirar.
Estamos realizando un experimento sobre el crecimiento de unas plantas de tomate bajo diferentes tipos de luz. Tenemos $200$ plantas en total. a) Si decidimos analizar…
Estamos realizando un experimento sobre el crecimiento de unas plantas de tomate bajo diferentes tipos de luz. Tenemos $200$ plantas en total.
- a) Si decidimos analizar solo las plantas que están en la fila más cercana a la ventana, ¿estamos estudiando a la población o a una muestra?
- b) Define el individuo de este estudio.
- c) Queremos medir tres variables: la altura de la planta en $cm$, el color de las hojas (verde oscuro, verde claro o amarillento) y el número de tomates que produce cada planta. Clasifica cada variable.
- d) ¿Es este un experimento aleatorio o determinista? Justifica tu respuesta.
Identifica si los siguientes fenómenos son aleatorios o deterministas, explicando el porqué en cada caso. Para los aleatorios, describe su espacio muestral: a) Lanzar…
Identifica si los siguientes fenómenos son aleatorios o deterministas, explicando el porqué en cada caso. Para los aleatorios, describe su espacio muestral:
- a) Lanzar una piedra desde un balcón y cronometrar lo que tarda en llegar al suelo (suponiendo que no hay viento y la altura es fija).
- b) El número que ganará el primer premio en el sorteo del Powerball.
- c) Extraer una carta de una baraja de cartas y observar si es una "figura" (Jota, Reina o Rey).
- d) Mezclar un ácido con una base en un laboratorio de química siguiendo una proporción exacta para obtener una sal.
- e) El tiempo exacto que tardará en llegar el próximo autobús a la parada.
Volvamos al principio: para hallar el almuerzo más popular, la población son los 800 estudiantes y cada individuo es un estudiante. Elegirías una muestra aleatoria, por ejemplo 10 estudiantes de cada clase, para que todos los grupos estén representados. La variable es "almuerzo favorito", que es cualitativa. Para presentar los resultados, harías una tabla de frecuencias y una gráfica circular con frecuencias relativas.