Lenguaje algebraico
Una maga le dice a un estudiante: "Piensa un número. Súmale 4. Multiplica el resultado por 3. Réstale 12. Divide entre 3". Luego dice: "¡Estás pensando en... tu número original!". Acierta siempre, sin importar qué número elijas. ¿Magia? No, álgebra. Al final de esta página podrás demostrar el truco tú mismo.
De las palabras al álgebra
Una variable es una letra que representa un número que todavía no conocemos (o un número que puede cambiar). Una expresión algebraica combina números, variables y operaciones, como $3x + 50$.
Para traducir una frase larga, divídela en partes, traduce cada parte y luego júntalas, como al seguir una receta paso a paso.
| Palabras | Álgebra |
|---|---|
| suma, más, más que, aumentado en | $+$ |
| diferencia, menos, menos que, disminuido en | $-$ |
| veces, producto, el doble ($\times 2$), el triple ($\times 3$) | multiplicar |
| la mitad, cociente, repartir en partes iguales | dividir, o una fracción |
| el cuadrado de, el cubo de | $x^2$, $x^3$ |
| $10\%$ de $x$ | $0.10x$ |
En el mundo de los videojuegos, a veces usamos fórmulas para calcular puntuaciones. Traduce al lenguaje algebraico las siguientes frases, llamando $x$ al número de gemas…
En el mundo de los videojuegos, a veces usamos fórmulas para calcular puntuaciones. Traduce al lenguaje algebraico las siguientes frases, llamando $x$ al número de gemas que ha conseguido un jugador:
-
a) El doble del número de gemas.
-
b) El triple de gemas más $50$ puntos extra.
-
c) El número de gemas que tendría si perdiera $5$ gemas.
-
d) La mitad de las gemas que tiene.
En una tienda de ropa, una sudadera cuesta $\$s$. Si unos pantalones cuestan $\$12$ menos que la sudadera, expresa en lenguaje algebraico: a) El precio de los…
En una tienda de ropa, una sudadera cuesta $\$s$. Si unos pantalones cuestan $\$12$ menos que la sudadera, expresa en lenguaje algebraico:
-
a) El precio de los pantalones.
-
b) El precio total de comprar dos sudaderas.
-
c) El precio total de comprar una sudadera y unos pantalones.
En un popular videojuego de aventuras, los jugadores obtienen diferentes puntuaciones según sus acciones. Si llamamos $x$ al número de cofres de oro encontrados e $y$ al…
En un popular videojuego de aventuras, los jugadores obtienen diferentes puntuaciones según sus acciones. Si llamamos $x$ al número de cofres de oro encontrados e $y$ al número de misiones secundarias completadas, expresa en lenguaje algebraico las siguientes situaciones:
-
El triple de cofres de oro encontrados.
-
El número de misiones secundarias más cinco misiones extra de bonificación.
-
El doble de la suma de los cofres de oro y las misiones secundarias.
-
La mitad de los cofres encontrados tras perder tres de ellos en una batalla.
-
El total de puntos si cada cofre vale 100 puntos y cada misión vale 50 puntos.
Siguiente, anterior y consecutivos
Si un número es $n$, el siguiente es $n + 1$ y el anterior es $n - 1$. No importa cuál sea $n$: la regla siempre funciona.
Las edades funcionan igual. Si Mia tiene $x$ años ahora, dentro de 8 años tendrá $x + 8$, y hace 3 años tenía $x - 3$. Avanzar en el tiempo suma y retroceder resta.
Si un problema dice que el primer número es $x - 2$, construye los demás a partir de él: los dos siguientes son $x - 1$ y $x$.
Llamamos $x$ a la edad actual de Lucía. Expresa algebraicamente las edades de su familia: a) La edad que tendrá Lucía dentro de $8$ años. b) La edad que tenía Lucía hace…
Llamamos $x$ a la edad actual de Lucía. Expresa algebraicamente las edades de su familia:
-
a) La edad que tendrá Lucía dentro de $8$ años.
-
b) La edad que tenía Lucía hace $3$ años.
-
c) Su hermano tiene el doble de la edad de Lucía. ¿Qué edad tiene el hermano?
-
d) Su madre tiene el triple de la edad que Lucía tendrá dentro de $1$ año.
Si $n$ representa un número entero cualquiera, escribe la expresión algebraica para: a) El número siguiente a $n$. b) El número anterior a $n$. c) El triple del…
Si $n$ representa un número entero cualquiera, escribe la expresión algebraica para:
-
a) El número siguiente a $n$.
-
b) El número anterior a $n$.
-
c) El triple del siguiente de $n$.
-
d) La suma de un número y su anterior.
Expresa en lenguaje algebraico las siguientes frases complejas, utilizando una sola variable $x$ para el número desconocido: a) El triple de la diferencia entre el…
Expresa en lenguaje algebraico las siguientes frases complejas, utilizando una sola variable $x$ para el número desconocido:
- a) El triple de la diferencia entre el cuadrado de un número y su mitad.
- b) La suma de tres números naturales consecutivos, sabiendo que el primero de ellos es $x-2$.
- c) El precio final de una sudadera que costaba $\$x$, si primero se le aplica un aumento del $10\%$ por costos de envío y luego un descuento de $\$5$ por un cupón.
- d) La diferencia entre el cubo del siguiente de un número y el doble de su anterior.
Leer el álgebra al revés
También necesitas ir en la otra dirección: de una expresión a una oración en lenguaje cotidiano. Es la misma habilidad, al revés. Sea $x$ el precio de un boleto de cine y $y$ el precio de unas palomitas.
| Expresión | En lenguaje cotidiano |
|---|---|
| $x + y$ | un boleto y unas palomitas |
| $2x + y$ | dos boletos y unas palomitas |
| $x - 3$ | el precio del boleto después de un cupón de $\$3$ |
| $0.75x$ | $75\%$ del precio del boleto (es decir, $25\%$ de descuento) |
| $2(x + y)$ | dos amigos, cada uno con un boleto y unas palomitas |
Cuando una expresión tiene un número y una parte con variable, pregúntate qué significa cada pieza. Una pista de patinaje cobra $C = 3h + 5$ dólares, donde $h$ es el número de horas que patinas. El $3$ multiplica a $h$, así que es el precio por hora ($\$3$ cada hora). El $5$ no cambia con $h$, así que es una cuota fija ($\$5$ por entrar).
En una tienda de deportes, una camiseta de fútbol cuesta $\$x$ y un pantalón cuesta $\$y$. Traduce del lenguaje algebraico al lenguaje común qué significan las…
En una tienda de deportes, una camiseta de fútbol cuesta $\$x$ y un pantalón cuesta $\$y$. Traduce del lenguaje algebraico al lenguaje común qué significan las siguientes expresiones:
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$x + y$
-
$2x + 3y$
-
$x - 10$
-
$0,85 \cdot x$
-
$3(x + y)$
Un creador de contenido de TikTok* analiza sus ingresos mensuales. Si $v$ representa el número de videos publicados en un mes, su ganancia en dólares viene definida por…
Un creador de contenido de TikTok analiza sus ingresos mensuales. Si $v$ representa el número de videos publicados en un mes, su ganancia en dólares viene definida por la expresión algebraica: $G = 0,5 \cdot v + 12$.
-
¿Qué representan los números $0,5$ y $12$ en este contexto?
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¿Cuál será su ganancia si este mes ha conseguido publicar un total de $v = 40$ videos?
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Si el mes que viene decide publicar el doble de videos que este mes, escribe la nueva expresión para su ganancia.
Monomios: coeficiente, parte variable y grado
Un monomio es un solo término: un número, una variable o un producto de un número y variables, como $-5x^2$ o $7ab$. Un monomio tiene tres partes.
-
El coeficiente es el número que multiplica a las variables. Si no ves ningún número, el coeficiente es $1$ (y para $-y$ es $-1$).
-
La parte variable son las letras con sus exponentes. Algunos problemas la llaman parte literal.
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El grado es la suma de los exponentes de las variables. Una letra sin exponente escrito tiene exponente $1$. Un número solo tiene grado $0$.
Copia en tu cuaderno la siguiente tabla y completa la información sobre estos monomios (recuerda que si no hay número delante de la letra, el coeficiente es $1$): |…
Copia en tu cuaderno la siguiente tabla y completa la información sobre estos monomios (recuerda que si no hay número delante de la letra, el coeficiente es $1$):
| Monomio | Coeficiente | Parte literal | Grado |
|---|---|---|---|
| $7a^2$ | |||
| $-5x$ | |||
| $x^3y$ | |||
| $\frac{1}{2}b$ |
Copia y completa la siguiente tabla sobre monomios en tu cuaderno. Recuerda que si el coeficiente no aparece, se entiende que es la unidad. | Monomio | Coeficiente |…
Copia y completa la siguiente tabla sobre monomios en tu cuaderno. Recuerda que si el coeficiente no aparece, se entiende que es la unidad.
| Monomio | Coeficiente | Parte Literal | Grado |
|---|---|---|---|
| $-5x^2$ | |||
| $ab^3c$ | |||
| $\frac{3}{4}x^4y$ | |||
| $-z$ | |||
| $12$ |
Evaluar expresiones
Evaluar una expresión es reemplazar cada variable por su valor (sustituir) y seguir el orden de las operaciones. Entre un número y una letra hay una multiplicación invisible: $3x$ significa $3 \times x$.
Dos expresiones que dan los mismos valores
A veces dos expresiones que se ven distintas siempre dan la misma respuesta. Evaluemos $Q = \dfrac{x^2 - 9}{x + 3}$.
| $x$ | $x^2 - 9$ | $x + 3$ | $Q$ |
|---|---|---|---|
| $0$ | $-9$ | $3$ | $-3$ |
| $3$ | $0$ | $6$ | $0$ |
| $7$ | $40$ | $10$ | $4$ |
Observa el patrón: $-3, 0, 4$ son exactamente $x - 3$ para $x = 0, 3, 7$. Evaluar unos cuantos valores y compararlos es una gran manera de adivinar una expresión equivalente más sencilla. Después comprueba que tu conjetura funciona con más valores.
¿Y si $x = -3$? El denominador es $-3 + 3 = 0$ y el numerador es $9 - 9 = 0$. Una fracción significa división, y no se puede dividir entre cero. Piensa por qué: $12 \div 3 = 4$ porque $4 \times 3 = 12$. Pero $12 \div 0$ necesitaría un número que multiplicado por $0$ diera $12$, y no existe. Por eso, cualquier fracción cuyo denominador se vuelva $0$ no tiene valor.
Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones para el valor que se indica (recuerda que entre un número y una letra siempre hay una multiplicación invisible):…
Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones para el valor que se indica (recuerda que entre un número y una letra siempre hay una multiplicación invisible):
-
a) $3x + 5$ cuando $x = 2$
-
b) $10 - 2n$ cuando $n = 3$
-
c) $a^2 + 1$ cuando $a = 5$
-
d) $\frac{x}{2} + 7$ cuando $x = 10$
Considera la expresión algebraica $P(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 2}$. a) Calcula el valor numérico de $P(x)$ para $x = 0, x = 2$ y $x = 10$. b) Observando los resultados,…
Considera la expresión algebraica $P(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 2}$.
- a) Calcula el valor numérico de $P(x)$ para $x = 0, x = 2$ y $x = 10$.
- b) Observando los resultados, ¿podrías proponer una expresión mucho más sencilla que sea equivalente a $P(x)$ para cualquier valor de $x$ (excepto para $x = -2$)?
- c) ¿Por qué crees que no se puede calcular el valor numérico de $P(x)$ para $x = -2$? Razona tu respuesta basándote en lo que sabes de las fracciones.
Perímetro y fórmulas
El perímetro de una figura es la distancia alrededor de ella: suma todos los lados. Si los lados son expresiones, sumas expresiones. Un cuadrado de lado $x$ tiene perímetro $x + x + x + x = 4x$.
Al sumar expresiones puedes combinar términos semejantes: términos con la misma parte variable. $3x + 2x = 5x$, pero $3x + 2$ no se puede combinar porque uno tiene $x$ y el otro no.
Un borde alrededor de un rectángulo
Ahora un jardín de $l$ pies de largo y $w$ pies de ancho recibe un camino de $1$ pie de ancho por todo el contorno. El camino agrega $1$ pie en cada lado, así que agrega $2$ pies al largo y $2$ pies al ancho.
El rectángulo exterior mide $(l + 2)$ por $(w + 2)$. Su perímetro es $2(l + 2) + 2(w + 2) = 2l + 2w + 8$. El área del camino es el área exterior menos el área interior.
Queremos cercar un recinto para un festival de música que tiene forma de cuadrado. No sabemos cuánto mide el lado todavía, así que lo llamaremos $x$. a) Escribe una…
Queremos cercar un recinto para un festival de música que tiene forma de cuadrado. No sabemos cuánto mide el lado todavía, así que lo llamaremos $x$.
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a) Escribe una expresión algebraica para el perímetro del recinto (la suma de todos sus lados).
-
b) Escribe una expresión algebraica para el área del recinto.
Calcula el perímetro de la siguiente cancha de pádel cuyas dimensiones vienen dadas en pies mediante expresiones algebraicas. Una vez obtenida la expresión simplificada,…
Calcula el perímetro de la siguiente cancha de pádel cuyas dimensiones vienen dadas en pies mediante expresiones algebraicas. Una vez obtenida la expresión simplificada, calcula su valor numérico para $x = 4$ pies.
En el diseño de una piscina moderna, se quiere rodear una zona rectangular de agua de largo $l$ y ancho $a$ con un borde de madera de $2$ pies de ancho por todo su…
En el diseño de una piscina moderna, se quiere rodear una zona rectangular de agua de largo $l$ y ancho $a$ con un borde de madera de $2$ pies de ancho por todo su contorno.
- a) Escribe la expresión algebraica que representa el área total ocupada por la madera (el borde).
- b) Simplifica la expresión obtenida en el inciso anterior.
- c) ¿Cuál sería el valor numérico de esa área si la piscina mide $10$ pies de largo y $5$ pies de ancho?
Problemas verbales: construye la expresión por partes
Muchos problemas reales tienen varias personas o varias etapas. El truco es el mismo de antes: divide la historia en partes, escribe una expresión para cada parte y luego combínalas.
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Total = la suma de las partes.
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Costo = número de artículos $\times$ precio de cada uno.
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Distancia = tasa $\times$ tiempo ($d = rt$).
-
Si un problema da un tiempo en minutos y otro en horas, primero convierte todo a una sola unidad. Por ejemplo, $30$ minutos $= 0.5$ hora y $15$ minutos $= 0.25$ hora.
Cuando un problema te da el total, iguala la expresión a ese número y deshaz la operación. Tres amigos dividen una cuenta de $\$45$ en partes iguales y pagan $x$ cada uno, así que $3x = 45$. Divide ambos lados entre $3$: $x = 15$.
Comparar cantidades funciona igual. Si Priya tiene $p$ seguidores, "el triple" es $3p$ y "200 más que eso" es $3p + 200$.
Isabella, Mateo y Camila están comparando cuántos seguidores tienen en sus redes sociales. Mateo tiene el doble de seguidores que Isabella. Camila tiene 500 seguidores…
Isabella, Mateo y Camila están comparando cuántos seguidores tienen en sus redes sociales. Mateo tiene el doble de seguidores que Isabella. Camila tiene 500 seguidores menos que Mateo. Si llamamos $s$ al número de seguidores que tiene Isabella:
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Expresa en lenguaje algebraico los seguidores que tiene Mateo.
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Expresa en lenguaje algebraico los seguidores que tiene Camila.
-
Escribe una expresión que represente la suma de los seguidores de los tres amigos.
-
Si Isabella tiene $s = 1200$ seguidores, ¿cuántos seguidores tienen entre los tres?
Un grupo de amigos quiere regalar una consola de videojuegos a un compañero. La consola cuesta $\$C…
Un grupo de amigos quiere regalar una consola de videojuegos a un compañero. La consola cuesta $\$C$. Deciden que dos de los amigos, que son hermanos, pagarán solo la mitad de lo que pague el resto cada uno.
- a) Si $x$ es la cantidad de dinero que aporta cada uno de los amigos que no son hermanos, y hay un total de $6$ amigos (incluyendo a los dos hermanos), expresa algebraicamente el costo total $C$ de la consola.
- b) Si el costo de la consola es de $\$300$, calcula cuánto dinero debe aportar cada uno de los hermanos.
En una competencia de triatlón, un atleta corre a una velocidad constante de $v$ mph. a) Expresa algebraicamente la distancia que recorre en un tiempo de $t$ horas y…
En una competencia de triatlón, un atleta corre a una velocidad constante de $v$ mph.
- a) Expresa algebraicamente la distancia que recorre en un tiempo de $t$ horas y $15$ minutos. (Recuerda expresar el tiempo en una única unidad).
- b) Si el atleta decide aumentar su velocidad en $2$ mph durante la segunda mitad del tiempo, escribe la expresión de la distancia total recorrida en un tiempo total de $t$ horas.
- c) Calcula la distancia total del apartado b) si $v = 12$ mph y $t = 2$ horas.
Patrones: encuentra la regla
En muchos problemas una figura crece paso a paso y necesitas una expresión que funcione para cualquier número de paso $n$, no solo para los primeros.
Hay una segunda manera de verlo: contar todo y luego corregir lo que se superpone. $n$ cuadrados separados necesitan $4n$ palitos. Pero cada par de vecinos comparte un palito, y hay $n - 1$ palitos compartidos. Así que el total es $4n - (n - 1) = 4n - n + 1 = 3n + 1$. Ambos métodos coinciden.
Usa esta idea de "cuenta todo y resta lo compartido" siempre que las figuras de un patrón se toquen, como losetas o mesas puestas lado a lado.
Lee siempre la figura para ver cuántas losetas comparte realmente cada par. Si es un número distinto de $2$, usa ese número en la resta. Las filas de mesas hexagonales para una fiesta escolar funcionan igual. Cada mesa tiene $6$ asientos, uno por lado. Cuando se juntan dos mesas, el lado que se toca queda bloqueado en ambas, así que se pierden $2$ asientos por cada unión. Eso da $6n - 2(n - 1) = 4n + 2$ asientos para $n$ mesas.
Observa la siguiente serie de figuras formadas por puntos naranjas. Si llamamos $n$ a la posición de la figura (Figura 1, Figura 2...): a) ¿Cuántos puntos tendrá la…
Observa la siguiente serie de figuras formadas por puntos naranjas. Si llamamos $n$ a la posición de la figura (Figura 1, Figura 2...):
-
a) ¿Cuántos puntos tendrá la Figura 4?
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b) Escribe una expresión algebraica que nos diga cuántos puntos hay en la Figura $n$.
Observa la siguiente serie de mesas hexagonales colocadas en línea para una celebración en la escuela secundaria. Cada hexágono representa una mesa donde se sientan los…
Observa la siguiente serie de mesas hexagonales colocadas en línea para una celebración en la escuela secundaria. Cada hexágono representa una mesa donde se sientan los alumnos.
Si en una mesa ($n=1$) caben 6 personas, en dos mesas ($n=2$) caben 10 personas y en tres mesas ($n=3$) caben 14 personas:
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Crea una expresión algebraica que permita calcular el número de personas que pueden sentarse en función del número de mesas $n$.
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Calcula cuántas personas podrán sentarse si se unen 15 mesas.
En una empresa de diseño de jardines, se utilizan losetas hexagonales para rodear jardineras de flores. Si colocamos las jardineras en línea, cada jardinera adicional…
En una empresa de diseño de jardines, se utilizan losetas hexagonales para rodear jardineras de flores. Si colocamos las jardineras en línea, cada jardinera adicional comparte algunas losetas con la anterior para ahorrar material. Observa la siguiente secuencia de diseño:
Patrones con cuadrados
No todos los patrones suben la misma cantidad cada vez. Mira estos arreglos cuadrados de puntos.
Los números $1, 4, 9, 16, \ldots$ no suben una cantidad constante (los saltos son $3, 5, 7, \ldots$). En cambio, el nivel $n$ es un cuadrado de $n$ por $n$, así que tiene $n \times n = n^2$ elementos. Esta es la regla de un patrón cuadrado.
Cuando las cajas se apilan en forma de pirámide, el total de una pirámide de $n$ niveles es el total acumulado de los números cuadrados. Cada total nuevo es el total anterior más el nuevo nivel $n^2$.
| Niveles de la pirámide | Cajas del nuevo nivel | Total de cajas |
|---|---|---|
| $1$ | $1^2 = 1$ | $1$ |
| $2$ | $2^2 = 4$ | $1 + 4 = 5$ |
| $3$ | $3^2 = 9$ | $5 + 9 = 14$ |
| $4$ | $4^2 = 16$ | $14 + 16 = 30$ |
| $5$ | $5^2 = 25$ | $30 + 25 = 55$ |
Para saber cuántas cajas más necesitas para pasar de una pirámide de 4 niveles a una de 5, solo necesitas el nuevo nivel: $5^2 = 25$.
En un almacén de logística, las cajas se apilan formando estructuras piramidales de base cuadrada. En el nivel más alto (nivel 1) hay $1$ caja. En el nivel 2 (debajo del…
En un almacén de logística, las cajas se apilan formando estructuras piramidales de base cuadrada. En el nivel más alto (nivel 1) hay $1$ caja. En el nivel 2 (debajo del primero) hay $4$ cajas formando un cuadrado de $2 \times 2$. En el nivel 3 hay $9$ cajas formando un cuadrado de $3 \times 3$.
Por qué funciona el truco de magia
Ahora puedes desarmar el truco del principio. En lugar de un número, seguimos una caja con la etiqueta $n$ a través de cada paso.
Los paréntesis importan en el paso 3: "por 3" se aplica a todo el resultado, así que es $3(n + 4) = 3n + 12$. Después de restar $12$ nos queda $3n$, y al dividir entre $3$ queda $n$.
Algunos trucos siempre dan la misma respuesta sin importar con qué número empieces, porque las $n$ se cancelan. Por ejemplo: piensa $n$, suma $6$, resta el número con el que empezaste. Obtenemos $n + 6 - n = 6$. El resultado siempre es $6$ y no depende de $n$.
Volvamos al principio: el truco de la maga funciona porque $[3(n + 4) - 12] \div 3 = n$, así que puede decir tu número siempre.
Sofía le propone un truco de magia a su hermano utilizando el lenguaje algebraico. Sigue los pasos y luego explica algebraicamente por qué siempre se obtiene el mismo…
Sofía le propone un truco de magia a su hermano utilizando el lenguaje algebraico. Sigue los pasos y luego explica algebraicamente por qué siempre se obtiene el mismo resultado:
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Piensa un número cualquiera ($n$).
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Súmale 5.
-
Multiplica el resultado por 2.
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Réstale 10 al valor obtenido.
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Divide el resultado entre 2.
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¿Qué número obtienes respecto al número inicial? Escribe la expresión simplificada del proceso.
Un mago pide a un espectador que realice las siguientes instrucciones: 1. Piensa un número natural cualquiera $n$. 2. Multiplícalo por $6$. 3. Suma $12$ al resultado…
Un mago pide a un espectador que realice las siguientes instrucciones:
-
Piensa un número natural cualquiera $n$.
-
Multiplícalo por $6$.
-
Suma $12$ al resultado anterior.
-
Divide todo entre $3$.
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Resta el doble del número que pensaste al principio.
- a) Traduce a lenguaje algebraico cada paso del truco y escribe la expresión final simplificada.
- b) ¿Cuál es el resultado final del truco? ¿Depende del número que haya pensado el espectador? Justifica tu respuesta usando el lenguaje algebraico.