Cuadriláteros

En clase de dibujo técnico, un alumno ha trazado un cuadrilátero y ha medido tres de sus ángulos interiores: $110^\circ$, $70^\circ$ y $110^\circ$.

1. a) Sabiendo que la suma de los ángulos de cualquier cuadrilátero es siempre la misma, ¿cuánto debe medir el cuarto ángulo?
2. b) Si los lados opuestos son iguales dos a dos, ¿de qué figura se trata?

Indica si las siguientes afirmaciones sobre paralelogramos son verdaderas o falsas, justificando brevemente tu respuesta:

1. Todo cuadrado es también un rectángulo porque tiene 4 ángulos rectos.

2. Un rombo es un cuadrado porque tiene sus 4 lados iguales.

3. El romboide no tiene sus diagonales iguales.

En un taller de diseño gráfico, Marcos está creando un logotipo con forma de romboide (paralelogramo no regular). Si uno de los ángulos interiores del romboide mide $65^\circ$, calcule razonadamente la medida de los otros tres ángulos del logotipo.

En un romboide, la suma de dos de sus ángulos opuestos es $130^\circ$.

1. ¿Cuánto mide cada uno de esos dos ángulos?

2. ¿Cuánto miden los otros dos ángulos restantes del romboide?

3. Si el lado mayor del romboide mide $12 \text{ cm}$ y el perímetro es de $38 \text{ cm}$, ¿cuánto mide el lado menor?

El tablero de una mesa de clase tiene forma de cuadrilátero. Si observas bien, tiene dos lados paralelos de diferente longitud y los otros dos lados son iguales entre sí.

1. a) ¿Cómo se clasifica este cuadrilátero?
2. b) ¿Es un paralelogramo? Explica por qué.

La sección transversal de una nueva rampa de skate tiene forma de trapecio isósceles. Sabemos que la base superior mide $3\text{ m}$, la base inferior mide $7\text{ m}$ y los ángulos que forma la base inferior con los lados laterales son de $72^\circ$. Indique cuánto miden los dos ángulos de la parte superior y justifique su respuesta basándose en las propiedades de los trapecios.

En la construcción de una rampa para un skatepark se utiliza una estructura con forma de trapecio rectángulo. El ángulo obtuso de la estructura mide $125^\circ$. Calcule la medida de todos los ángulos interiores de este trapecio y justifique su respuesta basándose en las propiedades de las rectas paralelas cortadas por una secante.

En un examen de geometría, a Lucía le piden calcular el ángulo que falta en una cometa de papel que tiene forma de trapezoide simétrico (deltoide). Los ángulos desiguales miden $110^\circ$ (el superior) y $40^\circ$ (el inferior). Si los otros dos ángulos son iguales entre sí, ¿cuánto mide cada uno de ellos? Recuerde utilizar la propiedad de la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero.

En un parque de atracciones han diseñado una nueva zona de juegos con forma de trapezoide simétrico (también llamado cometa). Sabemos que el ángulo superior mide $\hat{A} = 110^\circ$ y el ángulo inferior mide $\hat{C} = 40^\circ$. Los otros dos ángulos laterales son iguales entre sí. Calcule la medida de estos dos ángulos laterales y explique razonadamente por qué deben ser iguales en este tipo de figura.

Estamos diseñando el logotipo para un nuevo equipo de eSports. El logo principal tiene la forma del cuadrilátero que ve en el dibujo. Observe sus lados y ángulos, y responda:

1. a) ¿Cómo se llama este cuadrilátero de forma precisa?
2. b) ¿A qué grupo pertenece: paralelogramos, trapecios o trapezoides? Justifique su respuesta fijándose en el paralelismo de sus lados.

Observe las siguientes afirmaciones sobre los cuadriláteros y diga si son Verdaderas o Falsas, justificando su respuesta:

1. "Un cuadrado es, al mismo tiempo, un rectángulo y un rombo".

2. "Un trapecio rectángulo tiene exactamente cuatro ángulos rectos".

3. "En un romboide, las diagonales son iguales y perpendiculares".

4. "Cualquier paralelogramo tiene dos pares de lados paralelos".

Observe las diagonales de los siguientes cuadriláteros. Una de las propiedades más importantes es si estas son perpendiculares (forman $90^\circ$) y si se cortan en su punto medio.

Identifica cuál de estos dibujos representa las diagonales de un rombo y cuál las de un rectángulo. Justifica tu elección.

Clasifique los siguientes cuadriláteros basándose exclusivamente en la descripción de sus diagonales:

• Figura A: Sus diagonales son de diferente longitud, son perpendiculares y se cortan en su punto medio.

• Figura B: Sus diagonales son iguales, no son perpendiculares y se cortan en su punto medio.

• Figura C: Sus diagonales son iguales, son perpendiculares y se cortan en su punto medio.

Averigüe de qué cuadrilátero estamos hablando en cada caso basándose en sus diagonales:

1. "Mis diagonales son iguales y se cortan perpendicularmente en su punto medio".

2. "Mis diagonales son iguales, se cortan en su punto medio, pero no son perpendiculares".

3. "Mis diagonales no son iguales, pero sí son perpendiculares y se cortan en su punto medio".

4. "Tengo dos lados paralelos y dos diagonales iguales, pero no se cortan en sus puntos medios".

Justifique su respuesta haciendo un pequeño esquema de las diagonales para cada caso.

Dibuja en tu cuaderno un cuadrado de $4\text{ cm}$ de lado.

1. a) Traza todos sus ejes de simetría. ¿Cuántos has encontrado en total?
2. b) ¿Se cortan todos los ejes en el mismo punto? ¿Cómo se llama ese punto?

La pantalla de un nuevo modelo de smartphone tiene forma de rectángulo. El fabricante indica que su base mide $7\text{ cm}$ y su altura es de $15\text{ cm}$.

1. a) Calcule el perímetro del smartphone (la longitud del marco metálico que rodea la pantalla).
2. b) Si queremos colocar un protector de pantalla que cubra toda la superficie, ¿cuál será el área de dicho protector en $\text{cm}^2$?

Una empresa de telefonía quiere diseñar una pantalla para un nuevo modelo de smartphone con forma de rectángulo. El diseñador ha establecido que la base debe medir el doble que la altura. Si el perímetro total de la pantalla debe ser de $36\text{ cm}$, ¿cuáles serán las dimensiones (base y altura) de la pantalla?

La pantalla de un nuevo modelo de smartphone tiene forma rectangular. El fabricante indica que el perímetro total de la pantalla es de $48 \text{ cm}$ y que la base mide exactamente el doble que la altura.

1. Calcule las dimensiones (base y altura) de la pantalla.

2. Si se quiere colocar un protector que cuesta $0,50 \text{ \$}$ por cada $\text{cm}^2$ de superficie, ¿cuánto costará proteger la pantalla completa?

Calcula el área de la zona sombreada de la siguiente cuadrícula, sabiendo que cada cuadrado pequeño mide $1\text{ cm}$ de lado. Para facilitarlo, divide la figura en un rectángulo y un triángulo.

Un jardín cuadrado de $20 \text{ metros}$ de lado tiene en su centro una fuente también cuadrada. Sabemos que la distancia desde cualquier lado del jardín al lado paralelo de la fuente es de $6 \text{ metros}$.

1. ¿Cuánto mide el lado de la fuente central?

2. Calcule el área de la zona de paseo (la región del jardín que no ocupa la fuente).

Un arquitecto está diseñando una ventana con forma de rombo. Para que la estructura sea estable, ha colocado dos listones de madera que coinciden con las diagonales del rombo. La diagonal mayor mide $160\text{ cm}$ y la diagonal menor mide $120\text{ cm}$. Al cruzarse, las diagonales dividen el rombo en cuatro triángulos iguales.

1. ¿Qué tipo de triángulos son estos? (según sus ángulos).

2. Si el lado del rombo mide $100\text{ cm}$, calcule el perímetro total de la ventana.

Un artista está diseñando un mosaico con piezas en forma de rombo. Sabe que las dos diagonales del rombo suman $28 \text{ cm}$ y que la diagonal mayor mide $4 \text{ cm}$ más que la diagonal menor.

1. Calcule la medida de ambas diagonales.

2. Calcule el área de una sola pieza del mosaico.

3. Si el mosaico completo utiliza $50$ piezas iguales, ¿cuántos decímetros cuadrados ($\text{dm}^2$) de superficie cubrirá en total?

Dibuje en su cuaderno un cuadrilátero cualquiera (trapezoide) que no tenga ningún lado paralelo. Localice el punto medio de cada uno de sus cuatro lados y únalos siguiendo el orden del contorno.

1. ¿Qué figura geométrica especial se forma siempre en el interior?

2. Si los lados del cuadrilátero original miden $8\text{ cm}$, $10\text{ cm}$, $12\text{ cm}$ y $14\text{ cm}$, ¿cuál es el perímetro del cuadrilátero original?

Una empresa de diseño gráfico está creando un logotipo. Han dibujado un cuadrilátero cualquiera y han marcado los puntos medios de cada uno de sus lados. Al unir esos puntos medios en orden, se forma un nuevo cuadrilátero en el interior.

1. ¿Qué tipo de cuadrilátero se forma siempre en el interior, sin importar la forma del original?

2. Si el área del cuadrilátero exterior es de $120 \text{ cm}^2$, ¿cuál será el área de la figura formada al unir los puntos medios?