Raíces cuadradas

En una raíz cuadrada, cada número tiene un nombre especial que indica su función. Observe la siguiente igualdad e identifique el nombre de cada uno de los elementos señalados con flechas:

$\sqrt{81} = 9$

Calcule mentalmente el valor de las siguientes raíces cuadradas exactas:

1. a) $\sqrt{16} =$
2. b) $\sqrt{4} =$
3. c) $\sqrt{100} =$
4. d) $\sqrt{49} =$
5. e) $\sqrt{1} =$
6. f) $\sqrt{121} =$

Calcule las siguientes raíces cuadradas exactas justificando el resultado mediante una potencia, como en el ejemplo:

Ejemplo: $\sqrt{49} = 7$ porque $7^2 = 49$

1. a) $\sqrt{121}$
2. b) $\sqrt{169}$
3. c) $\sqrt{225}$
4. d) $\sqrt{400}$

Lucía quiere decorar una tarjeta cuadrada de felicitación que tiene una superficie de $64 \text{ cm}^2$. Para comprar un cordel decorativo que rodee todo el borde, primero necesita saber cuánto mide un lado. ¿Cuál es la longitud del lado de la tarjeta?

En el patio de la escuela secundaria se ha diseñado un jardín cuadrado que tiene una superficie de $144$ $m^2$. Para proteger las plantas, el conserje quiere colocar una cerca de madera alrededor de todo el borde. Si cada pie de cerca cuesta $\$12$, ¿cuánto costará cercar el jardín completo?

Sofía tiene un tablero cuadrado con $100$ casillas. Su hermano pequeño le ha regalado otro tablero cuya área es la cuarta parte del primero.

1. a) ¿Cuántas casillas tiene el tablero pequeño?
2. b) ¿Cuántas casillas tiene de lado el tablero grande?
3. c) ¿Cuántas casillas tiene de lado el tablero pequeño? ¿Qué relación hay entre el lado del grande y el del pequeño?

No todas las raíces son exactas. Sin usar la calculadora, indica entre qué dos números enteros consecutivos se encuentran las siguientes raíces cuadradas:

1. a) $....... < \sqrt{20} < .......$
2. b) $....... < \sqrt{50} < .......$
3. c) $....... < \sqrt{11} < .......$

Halla la raíz cuadrada entera y el residuo de los siguientes números. Indique también entre qué dos números naturales consecutivos se encuentra cada raíz.

1. a) $\sqrt{30}$
2. b) $\sqrt{55}$
3. c) $\sqrt{85}$

Un DJ quiere organizar su colección de $200$ CD en una estantería formando el cuadrado más grande posible.

1. a) ¿Cuántos CD tendrá cada lado del cuadrado?
2. b) ¿Cuántos CD le sobrarán?
3. c) ¿Cuántos CD más necesitaría para completar un cuadrado que tenga un CD más en cada lado?

Aplique las propiedades de las raíces (raíz de un producto y raíz de un cociente) para resolver estas operaciones de forma simplificada:

1. a) $\sqrt{64 \cdot 100}$
2. b) $\sqrt{16 \cdot 25}$
3. c) $\sqrt{\frac{144}{9}}$
4. d) $\sqrt{4 \cdot 9 \cdot 100}$

Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y explica brevemente por qué:

1. a) La raíz cuadrada de 25 es 5 porque $5 \cdot 2 = 10$.
2. b) No existe ningún número entero que sea la raíz cuadrada de 30.
3. c) El número 0 no tiene raíz cuadrada.
4. d) $\sqrt{144}$ es igual a 12 porque $12^2 = 144$.

Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, razonando su respuesta con un contraejemplo cuando sea necesario:

1. a) La raíz cuadrada de la suma de dos números es igual a la suma de las raíces de esos números: $\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$.
2. b) No existe la raíz cuadrada de un número negativo.
3. c) Si un número termina en $2$, no puede ser un cuadrado perfecto.
4. d) La raíz cuadrada de un número siempre es menor que el propio número.

Resuelve las siguientes operaciones combinadas respetando la jerarquía de las operaciones (recuerda calcular la raíz antes que las sumas o restas):

1. a) $15 + \sqrt{36} =$
2. b) $2 \cdot \sqrt{25} - 3 =$
3. c) $\sqrt{64} + \sqrt{9} =$
4. d) $20 - \sqrt{81} : 3 =$

Calcule el valor de las siguientes expresiones respetando la jerarquía de las operaciones:

1. a) $3^2 + \sqrt{64} - 2 \cdot 3$
2. b) $(\sqrt{100} - 4) : 2 + 5^2$
3. c) $2 \cdot \sqrt{81} - (3^2 - \sqrt{25})$
4. d) $\sqrt{49} \cdot 2 + 10^2 : 4$

Calcule el valor de la siguiente expresión combinada, respetando estrictamente la jerarquía de las operaciones:

Un coleccionista de cartas quiere organizar su álbum. Sabe que si coloca sus cartas formando un cuadrado, le sobran $8$ cartas. Sin embargo, si intenta formar un cuadrado con un hueco más en cada lado (una unidad más de lado), le faltarían $13$ cartas.

Calcule el número de cartas que tiene el coleccionista y el valor de la raíz cuadrada entera de dicho número.

Estamos diseñando un nivel para un videojuego sobre una cuadrícula. Queremos construir una habitación cuadrada usando baldosas especiales. Si utilizamos todas las baldosas que tenemos, nos sobran $15$, pero si intentamos añadir una fila y una columna más para hacer el cuadrado más grande, nos faltarían $16$ baldosas.

¿Cuántas baldosas tenemos en total?

Halla el número natural $A$ sabiendo que su raíz cuadrada entera es $25$ y que, si le sumamos $20$ unidades a dicho número, se convierte en un cuadrado perfecto exacto.

Halla el número natural $n$ que cumple la siguiente igualdad:

Razone su respuesta utilizando el concepto de suma de sumandos iguales y las propiedades de las potencias.

Un virus informático se propaga de la siguiente manera: cada minuto, cada computadora infectada contagia a otras $3$ computadoras. Si a las 10:00 de la mañana hay una sola computadora infectada:

1. a) Exprese como potencia de base 3 cuántas computadoras se infectan nuevas a las 10:05.
2. b) ¿Cuántas computadoras habrá infectadas en total en ese momento (10:05)? (Recuerde sumar la infectada inicial y las de los minutos anteriores).

Utilice las propiedades de las potencias para expresar el resultado como una única potencia de base 2:

Pista: Exprese todas las bases como potencias de 2 antes de operar.

Una empresa de mensajería utiliza cajas cúbicas para sus envíos. Tienen un contenedor grande que también es cúbico y en el que caben exactamente $216$ cajas pequeñas.

1. a) ¿Cuántas cajas pequeñas hay en la base del contenedor?
2. b) Si deciden fabricar un nuevo contenedor cuyo lado mida el triple que el anterior, ¿cuántas cajas pequeñas cabrán en total en el nuevo contenedor? Exprese el resultado como una potencia.