Ejercicios: Concepto

En la vida cotidiana utilizamos los números enteros para expresar situaciones opuestas. Asocia un número entero (positivo o negativo) a cada una de las siguientes situaciones:

1. a) El termómetro de la calle marca $4$ grados bajo cero.
2. b) Tienes una deuda de $\$15$ con un amigo.
3. c) Un buceador se encuentra a $20$ pies de profundidad.
4. d) Un avión vuela a una altura de $8.500$ pies.
5. e) Has ganado $50$ puntos en un nivel de tu videojuego favorito.
6. f) El estacionamiento del centro comercial está en el tercer sótano.

Observa la siguiente recta numérica e identifica qué número entero corresponde a cada uno de los puntos marcados con una letra ($A$, $B$, $C$ y $D$).

El concepto de valor absoluto representa la distancia de un número al cero. Calcula los siguientes valores absolutos:

1. a) $|-7| =$
2. b) $|+12| =$
3. c) $|-25| =$
4. d) $|0| =$
5. e) $|-1| =$
6. f) $|+100| =$

Compara los siguientes pares de números enteros utilizando los símbolos mayor que ($>$) o menor que ($<$):

1. a) $+5$ ____ $-8$
2. b) $-3$ ____ $-1$
3. c) $0$ ____ $-5$
4. d) $-12$ ____ $-20$
5. e) $+10$ ____ $+2$
6. f) $-1$ ____ $0$

El opuesto de un número entero es aquel que tiene el mismo valor absoluto pero distinto signo. Escribe el opuesto de los siguientes números:

1. a) $op(+6) =$
2. b) $op(-9) =$
3. c) $op(-15) =$
4. d) $op(+21) =$
5. e) $op(0) =$
6. f) $op(-1) =$

Imagina que estás en un hotel muy grande que tiene pisos por encima y por debajo del suelo. Si estás en el piso $-2$ (segundo sótano) y el elevador realiza los siguientes movimientos, ¿en qué piso terminarás?

1. Sube $5$ pisos.

2. Baja $2$ pisos.

3. Sube $1$ piso.

4. Baja $4$ pisos.

Dibuja un esquema vertical o una recta numérica para ayudarte.

Ordena los siguientes números enteros de menor a mayor, utilizando el símbolo $<$ entre ellos:

$$-5, \quad +3, \quad -1, \quad 0, \quad +7, \quad -8, \quad -2$$

Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justifica brevemente tu respuesta:

1. a) Cualquier número entero negativo es menor que cero.
2. b) El valor absoluto de un número siempre es positivo o cero.
3. c) El opuesto de un número negativo es otro número negativo.
4. d) Entre dos números negativos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto.
5. e) El número $-5$ es mayor que $-2$ porque está más lejos del cero.

Un sensor de temperatura en un laboratorio de criogenia marca inicialmente $12^{\circ}C$. Debido a un experimento, la temperatura desciende $18^{\circ}C$, luego sube $5^{\circ}C$ y finalmente vuelve a bajar $3^{\circ}C$.

1. a) Representa mediante números enteros cada uno de los movimientos térmicos.
2. b) ¿Cuál es la temperatura final registrada por el sensor?
3. c) ¿Se encuentra la temperatura final por encima o por debajo de los $0^{\circ}C$?

Observa la siguiente recta numérica donde algunos números enteros han sido sustituidos por letras. Sabiendo que la distancia entre cada marca es de 2 unidades:

1. a) Identifica los números enteros que representan las letras $A$, $B$ y $C$.
2. b) Calcula el valor absoluto de cada uno de esos números: $|A|$, $|B|$ y $|C|$.
3. c) ¿Qué letra representa el número con mayor valor absoluto?

Un repartidor entra en el elevador de un centro comercial en el primer piso ($0$). Primero sube al almacén en el piso $+5$, después baja $8$ pisos para recoger mercancía en el estacionamiento subterráneo y, finalmente, sube $2$ pisos para hacer una entrega.

1. a) ¿En qué piso se encuentra el estacionamiento subterráneo? Expresa el resultado con un número entero.
2. b) ¿En qué piso hace la entrega final?
3. c) ¿Cuántos pisos ha recorrido en total el repartidor durante todo su trayecto? (Pista: utiliza el concepto de valor absoluto).

En un juego de estrategia, un barco pirata se mueve por un mapa de coordenadas. Su posición inicial es el punto $P(-3, 2)$.

1. a) Si el barco se desplaza $5$ unidades hacia la derecha, ¿cuál es su nueva coordenada de abscisas ($x$)?
2. b) Si desde esa nueva posición baja $4$ unidades, ¿cuál es su coordenada de ordenadas ($y$)?
3. c) Representa en tu cuaderno el punto inicial y el punto final en un sistema de ejes de coordenadas.

Escribe los números enteros que cumplen simultáneamente las siguientes tres condiciones:

1. Su valor absoluto es mayor que $2$ y menor que $6$.

2. Es un número negativo.

3. Al sumarle su opuesto, el resultado es $0$.

Representa los números encontrados en una recta numérica.

Compara los siguientes pares de números enteros utilizando los signos $>$ o $<$ y justifica tu respuesta razonando sobre su posición en la recta numérica:

1. a) $-15 \quad \square \quad -12$
2. b) $+3 \quad \square \quad -20$
3. c) $|-8| \quad \square \quad |-10|$
4. d) $op(+5) \quad \square \quad op(-2)$

Un historiador está estudiando la vida de dos personajes de la Antigua Grecia. El personaje $A$ nació en el año $342$ a.C. y el personaje $B$ nació en el año $125$ a.C.

1. a) Representa en tu cuaderno ambos años de nacimiento mediante números enteros en la recta.
2. b) ¿Cuál de los dos personajes nació antes?
3. c) Si el personaje $B$ vivió $60$ años, ¿en qué año murió? Exprésalo con un número entero e indica si fue antes o después de Cristo.

Pienso un número entero $x$ que cumple estas pistas:

• Su valor absoluto es igual al de su opuesto.

• El número $x$ es mayor que $-4$.

• El número $x$ es menor que el opuesto de $-1$.

• No es el número cero.

¿Qué posibles valores puede tener $x$? Escribe todas las soluciones posibles.

Un dron de inspección volcánica despega desde una plataforma situada a $120$ pies sobre el nivel del mar. Durante su misión, realiza los siguientes movimientos consecutivos:

1. Desciende $150$ pies para entrar en una grieta.

2. Asciende $85$ pies para evitar una ráfaga de viento.

3. Vuelve a descender $40$ pies para tomar muestras térmicas.

Expresa cada movimiento como un número entero y determina, mediante una expresión matemática, a qué altura o profundidad se encuentra el dron respecto al nivel del mar al finalizar su misión.

Encuentra el número entero secreto $x$ que cumple simultáneamente las siguientes cuatro condiciones:

• Su valor absoluto es mayor que $5$ y menor que $11$: $5 < |x| < 11$.

• El opuesto de $x$ es un número positivo.

• $x$ es un múltiplo de $3$.

• Al representarlo en la recta numérica, está situado a la izquierda del $-7$.

Observa la siguiente recta numérica donde se han marcado dos puntos, $A$ y $B$. Sabiendo que la distancia entre el punto $A$ y el punto $B$ es de $15$ unidades y que el punto $A$ corresponde al número entero $-6$:

1. a) Determina qué número entero representa el punto $B$ si se encuentra a la derecha de $A$.
2. b) Calcula el valor de $|A| + |B|$.
3. c) Si situamos un nuevo punto $C$ justo en la mitad del segmento que une $A$ y $B$, ¿qué número entero representaría $C$?

Ordena de menor a mayor los siguientes elementos matemáticos, calculando previamente su valor numérico:

$$-| -12 |, \quad op(+5), \quad | -8 |, \quad op(op(-3)), \quad -(-10), \quad 0, \quad -| -1 |$$

Un arqueólogo está estudiando una dinastía antigua. Sabe que el primer rey de la dinastía nació en el año $42$ a.C. y murió a los $65$ años de edad. Su hijo, el heredero, nació cuando el padre tenía $28$ años y reinó durante $35$ años tras la muerte de su padre.

1. a) Utiliza números enteros para representar los años de nacimiento y muerte de ambos personajes.
2. b) ¿En qué año terminó el reinado del hijo? Expresa el resultado en formato cronológico (a.C. o d.C.).

En el siguiente plano cartesiano, un robot parte del punto $P(-2, 3)$. Realiza tres movimientos consecutivos:

1. Se desplaza $5$ unidades hacia la derecha.

2. Se desplaza $7$ unidades hacia abajo.

3. Se desplaza $4$ unidades hacia la izquierda.

¿En qué cuadrante termina el robot? Hazlo en tu cuaderno. Indica las coordenadas finales del punto y calcula el valor absoluto de la suma de su nueva abscisa ($x$) y su nueva ordenada ($y$).

El saldo de una cuenta bancaria al inicio del mes era de $\$-245$. Durante el mes se producen los siguientes movimientos:

• Tres depósitos iguales de una plataforma de ventas de segunda mano por un valor de $\$40$ cada uno.

• Un cargo de la factura de la luz que es el doble del valor absoluto del saldo inicial.

• Una devolución de una compra de $\$120$.

Escribe una única expresión con números enteros que represente todos estos movimientos y calcula el saldo final de la cuenta. ¿Sigue la cuenta en "números rojos"?

Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, poniendo un ejemplo o un contraejemplo en cada caso:

1. a) Si $a$ y $b$ son dos números enteros negativos y $|a| < |b|$, entonces $a > b$.
2. b) El valor absoluto de un número entero siempre es mayor que el propio número.
3. c) La distancia entre cualquier número entero y su opuesto es siempre un número par.
4. d) Si al opuesto de un número le sumamos su valor absoluto, el resultado es siempre cero.