Precios unitarios y el sistema métrico
En el mostrador de la tienda, el letrero dice que las cerezas cuestan $\$5.80$ por kilogramo. Tomas una bolsa que la báscula marca como $750$ gramos. ¿Cuánto pagas? El precio es por kilogramos y la bolsa está en gramos, así que primero tienes que resolver esa diferencia.
Precio por unidad
¿Por qué se multiplica? Dos metros de listón cuestan el doble que uno, y 2.4 metros cuestan 2.4 veces más. Cada unidad adicional suma el mismo precio.
Prueba el siguiente widget. Mueve el precio unitario y observa cómo crece el total con la cantidad.
En la frutería del barrio, el precio de las manzanas es de $1,80 \text{ \$}$ por cada kilogramo. Si queremos comprar una bolsa que pesa exactamente $500 \text{ g}…
En la frutería del barrio, el precio de las manzanas es de $1,80 \text{ \$}$ por cada kilogramo. Si queremos comprar una bolsa que pesa exactamente $500 \text{ g}$, ¿cuánto dinero tendremos que pagar?
Una botella de aceite de oliva de $1 \text{ L}$ cuesta $8,40 \text{ \$}$. Si un restaurante compra una garrafa de $5 \text{ L}…
Una botella de aceite de oliva de $1 \text{ L}$ cuesta $8,40 \text{ \$}$. Si un restaurante compra una garrafa de $5 \text{ L}$ que mantiene el mismo precio por litro, ¿cuánto pagará por la garrafa completa?
Convierte antes de multiplicar
Casi todos los errores en estos problemas vienen de multiplicar antes de que la cantidad esté en la misma unidad que el precio. Para convertir, usa la "escalera" métrica.
Las unidades métricas se forman con una unidad base (metro, gramo, litro) y un prefijo. Cada prefijo es $10$ veces el siguiente hacia abajo.
Los mismos prefijos sirven para la masa (kg, hg, dag, g, dg, cg, mg) y para la capacidad (kL, hL, daL, L, dL, cL, mL). Una tonelada métrica (t) son $1{,}000$ kg.
En una papelería, el gramo de papel especial para manualidades cuesta $0,02 \text{ \$}$. Si compramos un pliego que pesa $80 \text{ dg}$, ¿cuánto tendremos que pagar?
En una papelería, el gramo de papel especial para manualidades cuesta $0,02 \text{ \$}$. Si compramos un pliego que pesa $80 \text{ dg}$, ¿cuánto tendremos que pagar?
En la frutería de tu barrio, el kilogramo de cerezas cuesta $\$5,80$. Si decides comprar una bolsa que contiene $750 \text{ g}…
En la frutería de tu barrio, el kilogramo de cerezas cuesta $\$5,80$. Si decides comprar una bolsa que contiene $750 \text{ g}$ de cerezas y entregas un billete de $\$10$ para pagar, ¿cuánto dinero te devolverán de cambio?
Una camioneta de reparto puede transportar un máximo de $1,5 \text{ t}$ (toneladas). Si el costo del transporte es de $0,10 \text{ \$}…
Una camioneta de reparto puede transportar un máximo de $1,5 \text{ t}$ (toneladas). Si el costo del transporte es de $0,10 \text{ \$}$ por cada kilogramo de carga, ¿cuánto costará el envío si la camioneta va llena a su máxima capacidad?
Precios con longitud
Cuando el precio es por metro, convierte cada longitud a metros y multiplica. Si hay varias piezas, conviértelas todas primero y luego suma.
Una cerca rodea un rectángulo, así que su longitud es el perímetro: $P = 2\ell + 2w$. Si una parte del lado es una puerta que ya tienes, resta ese hueco antes de multiplicar por el precio.
Para un trabajo de Arte, Marcos necesita comprar $2 \text{ m}$ y $40 \text{ cm}$ de cinta decorativa. Si el metro de cinta cuesta $0,50 \text{ \$}…
Para un trabajo de Arte, Marcos necesita comprar $2 \text{ m}$ y $40 \text{ cm}$ de cinta decorativa. Si el metro de cinta cuesta $0,50 \text{ \$}$, ¿cuál es el costo total de la cinta que necesita Marcos?
Un ganadero quiere cercar una parcela rectangular para sus ovejas que mide $1,5 \text{ hm}$ de largo y $80 \text{ m}$ de ancho. El metro de cerca metálica cuesta…
Un ganadero quiere cercar una parcela rectangular para sus ovejas que mide $1,5 \text{ hm}$ de largo y $80 \text{ m}$ de ancho. El metro de cerca metálica cuesta $\$6,40$. Además, debe dejar un hueco de $30 \text{ dm}$ para instalar una puerta que ya tiene comprada. ¿Cuál será el presupuesto total para comprar la cerca necesaria?
En una ferretería, el cable de red se vende a $\$0,85$ el metro. Necesitas comprar varios pedazos para instalar internet en casa: uno de $1250 \text{ cm}$, otro de $85…
En una ferretería, el cable de red se vende a $\$0,85$ el metro. Necesitas comprar varios pedazos para instalar internet en casa: uno de $1250 \text{ cm}$, otro de $85 \text{ dm}$ y un último pedazo de $4 \text{ m}$. Si el vendedor te hace un descuento de $\$2,50$ por comprar más de $20 \text{ m}$ en total, ¿cuánto tendrás que pagar finalmente?
Precios con área
Cuando el precio es por metro cuadrado, halla el área en $\text{m}^2$ y multiplica. Convierte primero las longitudes de los lados a metros. Entonces metros por metros dan metros cuadrados directamente.
Convertir áreas directamente es diferente. Un cuadrado de $1$ m por lado mide $10$ dm por lado, así que su área es $10 \times 10 = 100$ decímetros cuadrados. Cada paso de la escalera es $\times 100$, no $\times 10$.
| Unidad | Equivale a |
|---|---|
| $1 \text{ m}^2$ | $100 \text{ dm}^2 = 10{,}000 \text{ cm}^2$ |
| $1 \text{ dam}^2$ | $100 \text{ m}^2$ |
| $1 \text{ hm}^2 = 1$ hectárea (ha) | $100 \text{ dam}^2 = 10{,}000 \text{ m}^2$ |
| $1 \text{ km}^2$ | $100 \text{ hm}^2 = 1{,}000{,}000 \text{ m}^2$ |
La madre de Lucía ha comprado una alfombra rectangular para su habitación que mide $3 \text{ m}$ de largo y $2 \text{ m}$ de ancho. Si el precio de la alfombra es de…
La madre de Lucía ha comprado una alfombra rectangular para su habitación que mide $3 \text{ m}$ de largo y $2 \text{ m}$ de ancho. Si el precio de la alfombra es de $15 \text{ \$}$ por cada metro cuadrado ($m^2$), ¿cuánto ha costado la alfombra?
Quieres renovar el piso de tu habitación, que tiene forma rectangular con unas dimensiones de $4 \text{ m}$ de largo y $350 \text{ cm}$ de ancho. El precio del piso…
Quieres renovar el piso de tu habitación, que tiene forma rectangular con unas dimensiones de $4 \text{ m}$ de largo y $350 \text{ cm}$ de ancho. El precio del piso laminado que te gusta es de $\$18,50$ por cada metro cuadrado. ¿Cuál será el costo total del material para cubrir todo el piso?
Un agricultor ha heredado un terreno rural de $2,4 \text{ ha}$ (hectáreas). Sabiendo que el precio del terreno en esa zona es de $\$12…
Un agricultor ha heredado un terreno rural de $2,4 \text{ ha}$ (hectáreas). Sabiendo que el precio del terreno en esa zona es de $\$12$ por cada decámetro cuadrado ($\text{dam}^2$), ¿cuál es el valor total de la finca?
Precios con capacidad y volumen
Para los líquidos, el precio suele ser por litro. Estos datos conectan la capacidad con el volumen:
-
$1 \text{ L} = 1{,}000 \text{ mL}$
-
$1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ L}$
-
$1 \text{ cm}^3 = 1 \text{ mL}$
-
$1 \text{ m}^3 = 1{,}000 \text{ L}$
Las unidades de volumen avanzan de $1{,}000$ en $1{,}000$, porque $10 \times 10 \times 10 = 1{,}000$.
Un agricultor vende miel en frascos de $250 \text{ ml}$ a un precio de $4 \text{ \$}$ cada uno. Si un cliente quiere comprar exactamente $1 \text{ L}…
Un agricultor vende miel en frascos de $250 \text{ ml}$ a un precio de $4 \text{ \$}$ cada uno. Si un cliente quiere comprar exactamente $1 \text{ L}$ de miel, ¿cuántos frascos necesita y cuánto dinero se gastará en total?
Para una fiesta de cumpleaños, necesitas comprar $12 \text{ L}$ de refresco de naranja. En el supermercado tienes dos opciones: Botellas de $1,5 \text{ L}$ a $\$1,20…
Para una fiesta de cumpleaños, necesitas comprar $12 \text{ L}$ de refresco de naranja. En el supermercado tienes dos opciones:
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Botellas de $1,5 \text{ L}$ a $\$1,20$ la unidad.
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Paquetes de 6 latas de $33 \text{ cl}$ a $\$3,15$ el paquete.
Calcula cuánto te costaría comprar los $12 \text{ L}$ exactos usando solo la primera opción. ¿Cuántos paquetes de latas tendrías que comprar para tener al menos esa cantidad?
Un camión cisterna transporta $15 \text{ m}^3$ de agua potable para abastecer a una zona en sequía. a) Si el agua se vende a $\$0,05$ el decalitro ($\text{daL}…
Un camión cisterna transporta $15 \text{ m}^3$ de agua potable para abastecer a una zona en sequía.
- a) Si el agua se vende a $\$0,05$ el decalitro ($\text{daL}$), ¿cuánto vale toda la carga del camión?
- b) ¿Cuántas garrafas de $5 \text{ L}$ se podrían llenar con todo ese volumen?
Comparar ofertas
¿Cuál es la mejor compra, un paquete pequeño o uno grande? Para comparar con justicia, halla el precio de la misma cantidad de cada uno, por lo general una unidad.
Si la cantidad es una fracción sencilla de una unidad, también puedes escalar. Una bolsa de $250$ g es un cuarto de kilogramo, así que $4$ bolsas hacen $1$ kg y el precio por kilogramo es $4$ veces el precio de una bolsa.
Una etiqueta como "$20\%$ extra gratis" significa que el paquete contiene $120\%$ de la masa habitual por el precio habitual.
Un paquete de $250 \text{ g}$ de café cuesta $3 \text{ \$}$. ¿A cuánto sale el precio del kilogramo de ese mismo café?
Un paquete de $250 \text{ g}$ de café cuesta $3 \text{ \$}$. ¿A cuánto sale el precio del kilogramo de ese mismo café?
En una perfumería ofrecen una promoción de tu colonia favorita. El frasco de $75 \text{ ml}$ cuesta $\$13,50$, mientras que el frasco de tamaño "ahorro" de $0,2 \text{…
En una perfumería ofrecen una promoción de tu colonia favorita. El frasco de $75 \text{ ml}$ cuesta $\$13,50$, mientras que el frasco de tamaño "ahorro" de $0,2 \text{ L}$ cuesta $\$32$.
- a) ¿Cuál es el precio por litro en cada uno de los formatos?
- b) ¿Qué formato resulta más económico?
En un supermercado encontramos dos ofertas de frascos de mermelada de la misma marca: Opción A: Un frasco de $450 \, g$ que cuesta $2,85 \, \$…
En un supermercado encontramos dos ofertas de frascos de mermelada de la misma marca:
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Opción A: Un frasco de $450 \, g$ que cuesta $2,85 \, \$$.
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Opción B: Un frasco de $0,6 \, kg$ con una oferta de "$20 \, \%$ de regalo extra gratis" (es decir, el frasco contiene un $20 \, \%$ más de masa pero el precio es el del frasco estándar de $600 \, g$), por un precio de $3,90 \, \$$.
Determina cuál de las dos opciones es más económica calculando el precio por kilogramo de cada una.
Masa, volumen y densidad
Algunos problemas te dan un volumen de líquido pero cobran por masa. La densidad conecta ambos.
Como $1 \text{ mL} = 1 \text{ cm}^3$ y $1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3$, estas densidades son el mismo número: $1 \text{ g/cm}^3 = 1 \text{ kg/dm}^3 = 1 \text{ kg/L}$. El agua tiene densidad $1$.
Fijar un precio de venta
Un negocio no vende un producto por lo que cuestan los ingredientes. El precio de venta tiene que cubrir todos los costos de hacer un artículo, más la ganancia que el negocio quiere obtener.
Los costos vienen en distintas formas. El líquido se cobra por masa, mientras que la botella y la caja se cobran por pieza. Halla el costo de cada parte para un artículo y luego súmalos.
Otros problemas dan un límite de peso y preguntan cuántos artículos caben. Como no puedes cargar parte de una caja, redondea hacia abajo.
Una empresa de cosmética fabrica un perfume de lujo. Para llenar cada frasco de $75 \, ml$, utilizan una esencia cuya densidad es de $0,85 \, g/cm^3$. El costo de…
Una empresa de cosmética fabrica un perfume de lujo. Para llenar cada frasco de $75 \, ml$, utilizan una esencia cuya densidad es de $0,85 \, g/cm^3$. El costo de producción de la esencia es de $145 \, \$$ por cada kilogramo. Además, el envase de vidrio cuesta $2,15 \, \$$ y el embalaje $0,80 \, \$$. Si quieren obtener un beneficio de $15 \, \$$ por cada frasco vendido, ¿cuál debe ser el precio de venta al público de un solo frasco?
Un camión de reparto tiene una capacidad de carga máxima de $3,5 \, t$. Debe transportar cajas de detergente concentrado. Cada caja contiene $24$ envases, y cada envase…
Un camión de reparto tiene una capacidad de carga máxima de $3,5 \, t$. Debe transportar cajas de detergente concentrado. Cada caja contiene $24$ envases, y cada envase tiene una masa de $1.250 \, g$. Si cada caja vacía pesa $800 \, g$ y el precio de venta de cada envase individual es de $6,45 \, \$$, ¿cuál es el valor total de la mercancía que transporta el camión cuando va cargado al máximo de su capacidad sin excederla?
Un tanque con forma de cubo de $1,5 \, m$ de arista está lleno de aceite de oliva. Sabemos que la densidad del aceite es de $0,92 \, kg/dm^3$. Si el aceite se envasa en…
Un tanque con forma de cubo de $1,5 \, m$ de arista está lleno de aceite de oliva. Sabemos que la densidad del aceite es de $0,92 \, kg/dm^3$. Si el aceite se envasa en botellas de $75 \, cl$ y cada botella se vende en el mercado internacional a un precio de $12,50 \, \$$, ¿cuál es el valor total del tanque en dólares? (Considera que el tanque se vacía completamente).
Problemas de varios pasos con área y costo
Pintar un cuarto lleva varios pasos. Halla el área que se va a pintar, convierte el área a litros de pintura, convierte los litros a latas y, por último, multiplica por el precio. Las latas se venden enteras, así que redondea hacia arriba.
Las cuatro paredes de un cuarto, desenrolladas, forman un rectángulo largo. Su longitud es el perímetro del piso y su altura es la altura del cuarto. Un techo es simplemente un $\ell \times w$ adicional.
A veces comparas dos fórmulas de precio, una con una cuota fija. Pon ambos precios en la misma unidad: $1 \text{ m}^2 = 10{,}000 \text{ cm}^2$, así que un precio por $\text{cm}^2$ se convierte en un precio por $\text{m}^2$ al multiplicar por $10{,}000$.
Queremos pintar las cuatro paredes y el techo de una sala de exposiciones que tiene forma de prisma rectangular. Las dimensiones de la planta son $12 \, m$ de largo por…
Queremos pintar las cuatro paredes y el techo de una sala de exposiciones que tiene forma de prisma rectangular. Las dimensiones de la planta son $12 \, m$ de largo por $80 \, dm$ de ancho, y la altura de la sala es de $350 \, cm$. Sabemos que:
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Una de las paredes largas tiene un ventanal de vidrio que ocupa $15 \, m^2$.
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El rendimiento de la pintura es de $1 \, L$ por cada $10 \, m^2$.
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La pintura se vende en botes de $5 \, L$ a un precio de $42,50 \, \$$ cada bote.
Calcula el costo total de la pintura necesaria, teniendo en cuenta que solo se pueden comprar botes completos.
Se quiere instalar césped artificial en un campo de entrenamiento que mide $0,4 \, hm$ de largo y $250 \, dm$ de ancho. Hay dos presupuestos: Empresa "VerdeTotal":…
Se quiere instalar césped artificial en un campo de entrenamiento que mide $0,4 \, hm$ de largo y $250 \, dm$ de ancho. Hay dos presupuestos:
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Empresa "VerdeTotal": $18,50 \, \$$ por cada metro cuadrado, pero cobran una tasa fija de instalación de $450 \, \$$.
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Empresa "PraderaPlus": $0,0022 \, \$$ por cada centímetro cuadrado, con la instalación incluida en el precio.
¿Qué empresa resulta más barata para este campo y cuánto dinero se ahorra respecto a la otra opción?
Problemas de varios pasos con volumen de agua
Las facturas de agua se cobran por $\text{m}^3$. Si baja el nivel del agua, el agua perdida es un prisma rectangular cuya altura es lo que bajó el nivel. El volumen es el área de la base por la altura, y todas las unidades deben estar en metros antes de multiplicar.
Algunos problemas dan una tasa por metro cuadrado. Entonces multiplica por el área y convierte los litros a $\text{m}^3$ al final.
Un agricultor ecológico tiene un huerto de cítricos que ocupa una superficie de $0,85 \, ha$. Para mantener los árboles hidratados durante el verano, utiliza un sistema…
Un agricultor ecológico tiene un huerto de cítricos que ocupa una superficie de $0,85 \, ha$. Para mantener los árboles hidratados durante el verano, utiliza un sistema de riego que consume exactamente $12 \, L$ de agua por cada metro cuadrado al día. Si el precio del agua de riego es de $0,35 \, \$$ por cada metro cúbico ($m^3$), ¿a cuánto ascenderá la factura del agua tras un mes de $30$ días?
Una piscina municipal de $25 \, m$ de largo y $12,5 \, m$ de ancho se ha llenado hasta una altura de $180 \, cm$. Debido a la evaporación y al uso, el nivel del agua…
Una piscina municipal de $25 \, m$ de largo y $12,5 \, m$ de ancho se ha llenado hasta una altura de $180 \, cm$. Debido a la evaporación y al uso, el nivel del agua baja $5 \, mm$ cada día. Si el precio del agua es de $1,95 \, \$$ por cada metro cúbico ($m^3$), calcula cuánto dinero le cuesta a la alcaldía reponer el agua perdida tras una temporada de verano de $90$ días.
Volvamos al inicio: $750$ g son $0.75$ kg, y $5.80 \times 0.75 = \$4.35$ por las cerezas.