Ejercicios: El conjunto de los números enteros

Expresa con un número entero ($+$ o $-$) las siguientes situaciones reales relacionadas con las redes sociales y la vida diaria de un adolescente:

1. a) Has conseguido $150$ nuevos seguidores en tu cuenta de TikTok esta semana.
2. b) Un amigo te debe $\$12$ del regalo de cumpleaños que compraron a medias.
3. c) El termómetro de la calle marca $4$ grados bajo cero.
4. d) Has bajado al segundo sótano del centro comercial para dejar la bicicleta.

Dada la siguiente lista de números, clasifícalos indicando cuáles pertenecen al conjunto de los números naturales ($\mathbb{N}$) y cuáles son números enteros ($\mathbb{Z}$) pero no naturales:

Observa la siguiente recta numérica e identifica qué número entero corresponde a cada uno de los puntos marcados con las letras $A$, $B$ y $C$.

Un dron está volando a una altitud de $+35$ pies sobre el nivel del mar, mientras que un buzo se encuentra explorando un arrecife de coral a $-15$ pies de profundidad.

1. a) Escribe el valor absoluto de ambos números: $|+35|$ y $|-15|$.
2. b) ¿Cuál de los dos está a mayor distancia del nivel del mar ($0$ pies)?
3. c) Escribe el opuesto de la posición del buzo.

En una estación de esquí se han registrado las siguientes temperaturas mínimas durante cuatro días. Ordénalas de menor a mayor utilizando el símbolo $<$:

• Lunes: $-6$ $^\circ C$

• Martes: $+2$ $^\circ C$

• Miércoles: $-9$ $^\circ C$

• Jueves: $0$ $^\circ C$

En un gran centro comercial, los botones del elevador representan los pisos. El piso principal es el $0$, los pisos superiores son positivos ($+1, +2...$) y los sótanos de estacionamiento son negativos ($-1, -2...$).

1. a) Si estás en el piso $-3$ y subes hasta el piso opuesto, ¿a qué piso llegas?
2. b) ¿Cuál es el valor absoluto del número del piso $-2$?
3. c) ¿Qué piso está más lejos de la calle (piso $0$): el $+4$ o el $-5$?

Identifica las coordenadas cartesianas $(x, y)$ de los puntos $P$ y $Q$ representados en la siguiente cuadrícula. Recuerda que el primer número es el eje horizontal (abscisas) y el segundo el vertical (ordenadas).

Escribe el número entero que representa el estado final de la cuenta bancaria de un joven en estas dos situaciones independientes:

1. a) Tenía $\$25$ ahorrados y se compró un videojuego que costaba $\$30$ (el banco le permite quedarse en negativo).
2. b) Debía $\$10$ a su hermana y su abuelo le dio un billete de $\$10$ para que salde la deuda.

Un dron de exploración submarina realiza las siguientes maniobras partiendo desde el nivel de la superficie del mar (que representamos como el valor $0$):

• Asciende $12$ pies para calibrar su señal.

• Desciende $25$ pies para tomar muestras de coral.

• Sube $8$ pies para evitar una corriente fuerte.

• Baja otros $10$ pies para entrar en una cueva submarina.

Indica mediante números enteros la posición final del dron respecto al nivel del mar y dibuja un esquema vertical en tu cuaderno que represente estas posiciones.

Observa la siguiente recta numérica donde se han marcado cuatro puntos: $A$, $B$, $C$ y $D$. Identifica el número entero que corresponde a cada letra sabiendo que el punto $C$ representa al número $-2$ y que la distancia entre cada marca pequeña es de una unidad.

En el laboratorio de física, se están analizando las temperaturas de congelación de varios líquidos. Los resultados son:

• Líquido P: $-8$ ºF

• Líquido Q: $-15$ ºF

• Líquido R: $-3$ ºF

• Líquido S: $-12$ ºF

Ordena los líquidos de menor a mayor temperatura utilizando el símbolo $<$ y explica cuál de ellos tiene el mayor valor absoluto.

Escribe todos los números enteros $x$ que cumplan simultáneamente estas dos condiciones:

1. Su valor absoluto es menor que $6$ ($|x| < 6$).

2. Es un número estrictamente menor que $-2$ ($x < -2$).

Representa la solución en una recta numérica.

Un arqueólogo encuentra una moneda en un sitio arqueológico. Al investigar, descubre que fue acuñada en el año $45$ a.C. Si el arqueólogo vive en el año $2024$ d.C., responde:

1. a) ¿Qué número entero asignarías a cada fecha?
2. b) ¿Cuál es el opuesto del año de acuñación de la moneda?
3. c) Representa de forma aproximada ambos años en una línea del tiempo.

Compara las siguientes parejas de números enteros utilizando los signos $>$ o $<$ y justifica tu respuesta basándote en su posición en la recta numérica:

1. a) $-15$ _____ $-20$
2. b) $+3$ _____ $-100$
3. c) $0$ _____ $-5$
4. d) $op(+7)$ _____ $-6$

Dos buceadores, Elena y Carlos, se encuentran en el mar. Elena está a una profundidad de $18$ pies bajo el nivel del mar. Carlos está a $12$ pies de Elena, pero él está en una posición más profunda.

1. a) ¿A qué profundidad se encuentra Carlos? Exprésalo con un número entero.
2. b) Si Elena sube $5$ pies, ¿cuál será su nueva posición?
3. c) ¿Cuál es la distancia absoluta entre la nueva posición de Elena y la posición de Carlos?

En un juego de tablero, tu ficha se encuentra en la casilla que representa el número entero $-4$. Lanzas un dado especial y obtienes los siguientes movimientos consecutivos:

1. Avanzas $6$ posiciones.

2. Retrocedes el doble de lo que indica el valor absoluto de $-3$.

3. Te mueves al opuesto de la casilla en la que te encuentras en ese momento.

¿En qué casilla terminas el juego? Indica todos los pasos intermedios.

En una expedición científica, un dron de exploración y un minisubmarino parten desde la cubierta de un barco que se encuentra exactamente al nivel del mar (altitud $0$ pies).

1. El dron asciende $145$ pies, luego desciende $60$ pies y finalmente vuelve a subir $25$ pies.

2. El submarino desciende $85$ pies, sube $30$ pies y vuelve a bajar hasta alcanzar una profundidad que duplica su distancia anterior al nivel del mar.

Si en ese instante el dron deja caer una sonda que atraviesa el aire y el agua hasta llegar al submarino, ¿qué distancia total recorre la sonda? Representa la situación en un eje vertical.

<line x1="0" y1="310" x2="400" y2="310"/>

<line x1="0" y1="370" x2="400" y2="370"/>

Encuentra todos los números enteros $x$ que cumplen simultáneamente las siguientes tres condiciones:

1. Su valor absoluto es mayor que $4$ pero menor que $10$.

2. El opuesto de $x$ es un número negativo.

3. Si a $x$ le sumas su valor absoluto, el resultado es menor que $16$.

Estamos diseñando un videojuego donde un personaje debe saltar sobre plataformas numeradas con enteros. El personaje empieza en la plataforma $0$.

• El primer salto es de $+5$ unidades.

• El segundo salto es el doble de largo que el primero, pero en sentido opuesto.

• El tercer salto lo lleva a una plataforma cuyo número es el opuesto del número de la plataforma en la que se encontraba tras el segundo salto.

• El cuarto salto es de $-12$ unidades.

¿En qué plataforma se encuentra al final? Dibuja la trayectoria en la recta numérica indicando cada paso.

Tres ciudades tienen temperaturas extremas muy curiosas en un día de invierno:

• La ciudad A tiene una temperatura que es el opuesto de $6$.

• La ciudad B tiene una temperatura tal que su valor absoluto es $4$, y es más cálida que la ciudad A.

• La ciudad C tiene una temperatura que se encuentra exactamente a la misma distancia de la temperatura de A que de la temperatura de B.

Calcula la temperatura de las tres ciudades y ordénalas de menor a mayor usando el símbolo $<$ .

En un plano cartesiano, un cuadrado tiene dos de sus vértices opuestos en los puntos $A(-2, 3)$ y $C(4, -3)$.

1. Dibuja los ejes y sitúa los puntos $A$ y $C$.

2. Determina las coordenadas de los otros dos vértices, $B$ y $D$, sabiendo que el cuadrado no está girado (sus lados son paralelos a los ejes).

3. ¿Cuáles son las coordenadas del punto central donde se cruzan las diagonales del cuadrado?

Un historiador está analizando la vida de un filósofo antiguo. Los datos que tiene son los siguientes:

• El filósofo nació en el año $42$ a.C. (que representamos como $-42$).

• Su hijo nació cuando el filósofo tenía $31$ años.

• El filósofo vivió $12$ años más que su hijo.

• El hijo murió en el año $28$ d.C. (que representamos como $+28$).

¿Cuántos años vivió el filósofo? ¿En qué año murió? ¿Es posible que el filósofo conociera a su nieto si este nació el año en que murió el hijo? Justifica tu respuesta usando números enteros.

Imagina dos números enteros, $a$ y $b$. Sabemos que:

1. La distancia entre $a$ y $0$ es de $7$ unidades.

2. La distancia entre $a$ y $b$ es de $3$ unidades.

3. $b$ es menor que $a$.

Determina todos los valores posibles para $a$ y para $b$. Para cada caso, escribe el valor absoluto de la suma $|a + b|$.

Una cuenta bancaria ha tenido los siguientes movimientos en los últimos cinco días:

• Lunes: Depósito de un dinero desconocido $X$.

• Martes: Pago de un recibo de $\$120$.

• Miércoles: Cobro de una factura de $\$200$.

• Jueves: El saldo se triplicó respecto al día anterior (miércoles).

• Viernes: Se retiraron $\$150$ y el saldo final quedó en exactamente $\$240$.

¿Cuál era el saldo de la cuenta el lunes antes de empezar los movimientos? Plantea la situación utilizando una cadena de operaciones con números enteros.