Nivelación · Estadística aplicada y bioestadística
Probabilidad e introducción a la inferencia · Probabilidad aplicada
Modelos de Bernoulli y binomial
Envías un cuestionario a cinco participantes y cada uno responde o no. ¿Cuál es la probabilidad de que respondan exactamente tres? ¿Y de que respondan al menos uno? Son preguntas de recuento de éxitos que aparecen en ensayos clínicos, encuestas, control de calidad y tests de respuesta múltiple. Aquí construyes el modelo que las resuelve y aprendes a reconocer cuándo no se puede aplicar.
El ensayo de Bernoulli
Un ensayo de Bernoulli es la unidad mínima: un experimento con solo dos resultados, éxito o fracaso. «Éxito» no significa «bueno»: es el suceso que decides contar (responder, fallar, recuperarse).
La varianza $pq$ es máxima en $p = 0{,}5$ (vale $0{,}25$) y tiende a $0$ cuando $p$ se acerca a $0$ o a $1$: un resultado casi seguro apenas varía.
Practica★☆☆Sin empezar
Un indicador de respuesta sigue una Bernoulli con $p=0,30$. Calcula media y varianza.
Un indicador de respuesta sigue una Bernoulli con $p=0,30$. Calcula media y varianza.
Si repites $n$ ensayos y cuentas los éxitos, obtienes una binomial. Con cuatro invitaciones y $p=0{,}5$, ¿cuántas respuestas hay? Puede ser 0, 1, 2, 3 o 4, y no todas son igual de probables.
Practica★☆☆Sin empezar
Cuatro personas responden independientemente a una invitación con probabilidad $0,50$ cada una. Sea X el número de respuestas. Identifica su distribución y calcula la…
Cuatro personas responden independientemente a una invitación con probabilidad $0,50$ cada una. Sea X el número de respuestas. Identifica su distribución y calcula la probabilidad de cero respuestas.
El siguiente esquema representa los datos del ejercicio.
Cinco participantes responden independientemente con probabilidad $0,60$. Calcula la probabilidad de exactamente tres respuestas usando la fórmula binomial.
Cinco participantes responden independientemente con probabilidad $0,60$. Calcula la probabilidad de exactamente tres respuestas usando la fórmula binomial.
Un test de cuatro preguntas tiene tres opciones equiprobables por pregunta y una correcta. Si se responde al azar e independientemente, calcula la probabilidad de…
Un test de cuatro preguntas tiene tres opciones equiprobables por pregunta y una correcta. Si se responde al azar e independientemente, calcula la probabilidad de acertar las cuatro y de acertar exactamente una.
Muchas preguntas no piden un valor exacto sino «al menos», «como máximo» o «ninguno». Se resuelven sumando probabilidades puntuales o, mejor, usando el suceso contrario.
Practica★☆☆Sin empezar
Tres alarmas independientes se activan con probabilidad $0,10$ cada una. Calcula la probabilidad de que ninguna se active.
Tres alarmas independientes se activan con probabilidad $0,10$ cada una. Calcula la probabilidad de que ninguna se active.
El modelo exige independencia y $p$ constante. Si fallan, la fórmula da números que parecen precisos pero no lo son.
Por ejemplo, con dos ensayos de probabilidades $0{,}2$ y $0{,}8$: $P(\text{un éxito})=0{,}2\cdot0{,}2+0{,}8\cdot0{,}8$... no: es $0{,}2\cdot0{,}2+0{,}8\cdot0{,}8$ solo si se confundieran los sucesos; lo correcto es $0{,}2\cdot0{,}2+0{,}8\cdot0{,}8$ no aplica. Un éxito exacto es (éxito, fracaso) o (fracaso, éxito): $0{,}2\cdot0{,}2+0{,}8\cdot0{,}8$ no, sino $0{,}2\cdot(1-0{,}8)+0{,}8\cdot(1-0{,}2)=0{,}04+0{,}64=0{,}68$. Una binomial con $p=0{,}5$ daría $2\cdot0{,}25=0{,}5$: promediar las probabilidades cambia el resultado.
Practica★★☆Sin empezar
Se seleccionan cinco tarjetas sin reposición de una caja con diez, cuatro marcadas. Explica por qué el número de marcadas no es binomial y nombra un modelo apropiado.
Se seleccionan cinco tarjetas sin reposición de una caja con diez, cuatro marcadas. Explica por qué el número de marcadas no es binomial y nombra un modelo apropiado.
Un estudio agrupa a estudiantes en aulas con respuestas semejantes dentro de cada aula. Se conoce una respuesta marginal del 40 %. Explica por qué usar…
Un estudio agrupa a estudiantes en aulas con respuestas semejantes dentro de cada aula. Se conoce una respuesta marginal del 40 %. Explica por qué usar $\operatorname{Bin}(100;0,40)$ para cien alumnos puede infravalorar la variabilidad aunque la media siga siendo 40.
Dentro de una binomial puedes condicionar: si sabes que ha ocurrido al menos un éxito, la probabilidad del resto de valores se reescala.
Cuando $n$ es grande, sumar muchos términos es costoso. Si $np$ y $nq$ son suficientemente grandes (por ejemplo, ambos al menos 10), la binomial se aproxima por $N(np,\sqrt{npq})$.
Practica★★☆Sin empezar
En seis ensayos independientes con éxito $0,20$, calcula la probabilidad de como máximo un éxito.
En seis ensayos independientes con éxito $0,20$, calcula la probabilidad de como máximo un éxito.
Dos ensayos independientes tienen probabilidades de éxito $0,20$ y $0,80$. Calcula la probabilidad de un éxito y compárala con una binomial de dos ensayos con…
Dos ensayos independientes tienen probabilidades de éxito $0,20$ y $0,80$. Calcula la probabilidad de un éxito y compárala con una binomial de dos ensayos con probabilidad media $0,50$.
En 100 ensayos independientes con $p=0,50$, aproxima $P(45\le X\le55)$ por normal con corrección de continuidad. Usa $\Phi(1,1)=0,8643$ y $\Phi(-1,1)=0,1357$.
En 100 ensayos independientes con $p=0,50$, aproxima $P(45\le X\le55)$ por normal con corrección de continuidad. Usa $\Phi(1,1)=0,8643$ y $\Phi(-1,1)=0,1357$.