Nivelación · Estadística aplicada y bioestadística
Probabilidad e introducción a la inferencia · Modelos y distribuciones muestrales
Poisson y tasas de sucesos
Un servicio de urgencias recibe de media 3 llamadas al día, pero unos días entran 0 y otros 7. ¿Cuántos días de cada cien puedes esperar sin ninguna llamada? ¿Qué cambia si miras solo medio día, o si fusionas dos servicios? El modelo de Poisson responde a estas preguntas con un único número: la tasa media de sucesos.
El modelo de Poisson
Hay situaciones en las que cuentas sucesos que aparecen de forma aislada en el tiempo, el espacio o la exposición: llamadas por hora, infecciones por cada 1000 días-paciente, errores por página. No hay un máximo natural de sucesos y cada uno ocurre de forma más o menos independiente de los demás.
Practica★☆☆Sin empezar
Las llegadas a un punto de información siguen un proceso de Poisson homogéneo de 2 por hora. Interpreta el parámetro y calcula la probabilidad de cero llegadas en una…
Las llegadas a un punto de información siguen un proceso de Poisson homogéneo de 2 por hora. Interpreta el parámetro y calcula la probabilidad de cero llegadas en una hora usando $P(X=k)=e^{-\lambda}\lambda^k/k!$.
El siguiente esquema representa los datos del ejercicio.
El parámetro $\lambda$ depende de cuánto tiempo (o exposición) observes. Si el proceso es homogéneo, con tasa constante $r$ sucesos por unidad, y observas durante una exposición $t$, el número de sucesos es
Tres propiedades de la Poisson permiten resolver problemas sin tablas ni cálculos largos.
Practica★★☆Sin empezar
Dos servicios independientes reciben llamadas Poisson con medias diarias 2 y 3. Identifica el modelo del total y calcula la probabilidad de cero llamadas.
Dos servicios independientes reciben llamadas Poisson con medias diarias 2 y 3. Identifica el modelo del total y calcula la probabilidad de cero llamadas.
En un proceso Poisson homogéneo de tasa 2 por hora, se observan cuatro eventos en dos horas. Sabiendo ese total, calcula la probabilidad de que exactamente dos…
En un proceso Poisson homogéneo de tasa 2 por hora, se observan cuatro eventos en dos horas. Sabiendo ese total, calcula la probabilidad de que exactamente dos ocurrieran en la primera hora. Usa que el reparto condicionado es binomial con probabilidad igual a la fracción temporal.
Un recuento mayor no significa una tasa mayor: depende de cuánta exposición hay detrás. Y antes de usar la Poisson conviene comprobar que los datos se comportan como ella.
Practica★★★Sin empezar
Una serie diaria presenta media 4 y varianza empírica 15. Explica qué rasgo cuestiona un modelo Poisson simple y propone dos comprobaciones antes de elegir otro.
Una serie diaria presenta media 4 y varianza empírica 15. Explica qué rasgo cuestiona un modelo Poisson simple y propone dos comprobaciones antes de elegir otro.
Dos poblaciones tienen tasas de $0,02$ y $0,05$ eventos por día-persona, y exposiciones 100 y 40 días-persona. Con recuentos Poisson independientes, calcula la…
Dos poblaciones tienen tasas de $0,02$ y $0,05$ eventos por día-persona, y exposiciones 100 y 40 días-persona. Con recuentos Poisson independientes, calcula la probabilidad de que ninguna tenga eventos y explica por qué no basta comparar los recuentos esperados para comparar tasas.
Vuelve al principio: con 3 llamadas de media al día, $P(\text{ninguna})=e^{-3}\approx0{,}05$, es decir, unos 5 días de cada 100. En medio día la media baja a $1{,}5$, y al fusionar dos servicios los parámetros se suman.
¡A practicar! 7 ejercicios de nivel medio en este apartado