Media, mediana y moda
Un hospital publica que «el paciente típico espera 20 minutos en urgencias», pero tú esperaste una hora y la persona de al lado cinco minutos. ¿Qué significa «típico»? Según cómo lo calcules, puede ser el reparto equitativo del tiempo total, el valor que deja la mitad de los pacientes a cada lado o el valor que más se repite. Son tres medidas distintas y conviene saber cuál responde a cada pregunta.
Moda: el valor más frecuente
La moda se lee directamente en una tabla de frecuencias o en un diagrama de puntos: es el pico más alto. No requiere hacer cuentas, pero tampoco usa la información de los demás valores.
En una unidad de sueño se registra el número de despertares nocturnos en una muestra de 10 pacientes durante una noche: 2; 4; 1; 2; 3; 5; 4; 2; 1; 4. Determine la moda o…
En una unidad de sueño se registra el número de despertares nocturnos en una muestra de 10 pacientes durante una noche: 2; 4; 1; 2; 3; 5; 4; 2; 1; 4. Determine la moda o modas de este conjunto de observaciones e interprete brevemente el resultado en términos de frecuencia.
Mediana: el valor central
¿Por qué? Con $n$ impar hay un dato exactamente en medio. Con $n$ par hay dos, y se toma el punto intermedio entre ellos.
Con datos en tabla de frecuencias se usan las frecuencias acumuladas: la mediana es el primer valor cuya acumulada alcanza o supera $n/2$ (con cuidado si cae justo en el límite entre dos valores).
Un equipo de fisioterapia evalúa los días necesarios para que 7 pacientes intervenidos de rodilla alcancen una flexión de 90 grados. Los registros individuales son: 12;…
Un equipo de fisioterapia evalúa los días necesarios para que 7 pacientes intervenidos de rodilla alcancen una flexión de 90 grados. Los registros individuales son: 12; 15; 9; 14; 21; 11; 13 días. Calcule la mediana del tiempo de recuperación de este grupo.
En un estudio sobre estrés laboral en enfermería, se administra un cuestionario breve con puntuaciones de 0 a 30 a 8 profesionales de guardia. Las puntuaciones obtenidas…
En un estudio sobre estrés laboral en enfermería, se administra un cuestionario breve con puntuaciones de 0 a 30 a 8 profesionales de guardia. Las puntuaciones obtenidas son: 18; 24; 15; 22; 19; 27; 16; 20. Halle la mediana de la muestra.
En una escala de dolor de 1 a 5 puntos, 30 pacientes postoperatorios responden con las siguientes frecuencias: 1 (4 pacientes), 2 (8 pacientes), 3 (11 pacientes), 4 (5…
En una escala de dolor de 1 a 5 puntos, 30 pacientes postoperatorios responden con las siguientes frecuencias: 1 (4 pacientes), 2 (8 pacientes), 3 (11 pacientes), 4 (5 pacientes) y 5 (2 pacientes). Determine la moda y la mediana a partir de las frecuencias acumuladas.
Media aritmética y su sensibilidad
Interpretación: es el valor que tendría cada observación si el total se repartiera a partes iguales. Por eso la media se relaciona directamente con el total: $\sum x_i = n\bar{x}$. Es útil para hallar un dato que falta si conoces la media.
Otra propiedad: la media es el punto de equilibrio de los datos. Las desviaciones respecto a ella suman cero, $\sum (x_i-\bar{x})=0$.
En un control preventivo de salud comunitaria se mide la concentración de glucosa basal en sangre (en mg/dl) a 6 usuarios en ayunas: 88; 94; 91; 105; 89; 97. Obtenga la…
En un control preventivo de salud comunitaria se mide la concentración de glucosa basal en sangre (en mg/dl) a 6 usuarios en ayunas: 88; 94; 91; 105; 89; 97. Obtenga la media aritmética muestral de estas determinaciones.
Un psicólogo registra los fallos cometidos por un sujeto en 5 bloques de una tarea de memoria de trabajo. Se conocen los errores de cuatro bloques: 3; 6; 2; 5. Si la…
Un psicólogo registra los fallos cometidos por un sujeto en 5 bloques de una tarea de memoria de trabajo. Se conocen los errores de cuatro bloques: 3; 6; 2; 5. Si la media final de los 5 bloques fue exactamente de 4 errores, determine cuántos errores cometió en el bloque restante.
Cinco participantes declaran estos consumos semanales: 0; 2; 3; 4; 45 cigarrillos. Calcula media y mediana. Explica cuál elegirías para describir una persona situada en…
Cinco participantes declaran estos consumos semanales: 0; 2; 3; 4; 45 cigarrillos. Calcula media y mediana. Explica cuál elegirías para describir una persona situada en el centro del grupo y cuál se relaciona directamente con el consumo total, sin eliminar el valor 45 solo por ser grande.
Medias ponderadas y combinadas
¿Por qué? $n_j\bar{x}_j$ es el total del grupo $j$. Sumar totales y dividir entre el número total de sujetos es exactamente la definición de media.
La puntuación global de adherencia a un tratamiento rehabilitador combina tres áreas evaluadas de 0 a 10: asistencia a sesiones (peso 50 %), ejecución domiciliaria de…
La puntuación global de adherencia a un tratamiento rehabilitador combina tres áreas evaluadas de 0 a 10: asistencia a sesiones (peso 50 %), ejecución domiciliaria de ejercicios (peso 30 %) y registro en diario de actividad (peso 20 %). Un paciente obtiene 8 en asistencia, 6 en ejecución y 9 en registro. Calcule la media ponderada de adherencia.
En un ensayo sobre tiempo de inducción anestésica, el grupo de adultos jóvenes ($n_1 = 15$) presenta una media de 42 segundos, mientras que el grupo de adultos mayores…
En un ensayo sobre tiempo de inducción anestésica, el grupo de adultos jóvenes ($n_1 = 15$) presenta una media de 42 segundos, mientras que el grupo de adultos mayores ($n_2 = 25$) presenta una media de 54 segundos. Calcule la media combinada del tiempo de inducción para el total de los 40 participantes.
Un investigador analiza la satisfacción vital en tres grupos terapéuticos de tamaños desiguales ($n_A = 10$, $n_B = 30$, $n_C = 60$) cuyas medias son $\bar{x}A = 8$,…
Un investigador analiza la satisfacción vital en tres grupos terapéuticos de tamaños desiguales ($n_A = 10$, $n_B = 30$, $n_C = 60$) cuyas medias son $\bar{x}_A = 8$, $\bar{x}_B = 6$ y $\bar{x}_C = 4$. Compruebe si la media de las medias coincide con la verdadera media global de todos los sujetos.
Un estudio multicéntrico evalúa días de estancia hospitalaria en 3 centros: Centro 1 ($n_1 = 20$, $\bar{x}1 = 6,5$), Centro 2 ($n_2 = 30$, $\bar{x}2 = 8,0$) y Centro 3…
Un estudio multicéntrico evalúa días de estancia hospitalaria en 3 centros: Centro 1 ($n_1 = 20$, $\bar{x}_1 = 6,5$), Centro 2 ($n_2 = 30$, $\bar{x}_2 = 8,0$) y Centro 3 ($n_3 = 50$, $\bar{x}_3 = 5,6$). Posteriormente se incorpora un cuarto centro con 20 pacientes y media de 7,2 días. Calcule la media combinada inicial y la nueva media combinada tras la incorporación.
En una encuesta comunitaria sobre horas semanales de actividad física se definen dos estratos: Jóvenes (población accesible $60\%$) y Mayores (población accesible…
En una encuesta comunitaria sobre horas semanales de actividad física se definen dos estratos: Jóvenes (población accesible $60\%$) y Mayores (población accesible $40\%$). La muestra reclutada por conveniencia incluyó 80 jóvenes (media 6 h) y 20 mayores (media 2 h). Calcule la media muestral simple y la media ponderada corregida según la estructura poblacional.
Una auditoría analiza dos salas hospitalarias (A y B) con un total conjunto de 50 camas ocupadas. La estancia media informada es de 4 días en la sala A y de 9 días en la…
Una auditoría analiza dos salas hospitalarias (A y B) con un total conjunto de 50 camas ocupadas. La estancia media informada es de 4 días en la sala A y de 9 días en la sala B, pero se desconoce el número exacto de camas en cada sala, sabiendo únicamente que cada sala tiene al menos 10 camas ocupadas. Determine el intervalo de posibles valores para la media global de estancia.
Media geométrica y transformaciones lineales
Cuando los datos son factores multiplicativos (el cultivo se duplica, luego se triplica…), lo que importa es el producto, no la suma.
Ejemplo de uso: pasar de °C a °F con $y=1{,}8x+32$ transforma la media de $20$ °C en $1{,}8\cdot 20+32=68$ °F.
En un laboratorio de microbiología se mide la tasa de reducción bacteriana tras la aplicación sucesiva de tres dosis de antiséptico. Las tasas multiplicativas de…
En un laboratorio de microbiología se mide la tasa de reducción bacteriana tras la aplicación sucesiva de tres dosis de antiséptico. Las tasas multiplicativas de supervivencia respecto al paso previo fueron de 0,10; 0,05 y 0,02. Calcule la media geométrica de estos tres factores de reducción (definida como $\bar{x}_g = \sqrt[n]{\prod x_i}$).
En un ensayo de laboratorio se registran temperaturas en grados Celsius de 5 muestras biológicas, con una media de $20$ °C y una mediana de $21$ °C. Si por exigencia de…
En un ensayo de laboratorio se registran temperaturas en grados Celsius de 5 muestras biológicas, con una media de $20$ °C y una mediana de $21$ °C. Si por exigencia de calibración se aplica a cada dato la transformación lineal $y = 1,8 \cdot x + 32$, calcule la nueva media y la nueva mediana.
Un cultivo duplica su recuento en una fase, lo triplica en la segunda y lo reduce a la mitad en la tercera. Compara la media aritmética de los factores $2;3;0,5$ con su…
Un cultivo duplica su recuento en una fase, lo triplica en la segunda y lo reduce a la mitad en la tercera. Compara la media aritmética de los factores $2;3;0,5$ con su media geométrica, definida como la raíz cúbica del producto. ¿Qué factor constante aplicado tres veces reproduce el cambio total?
Elegir y combinar: forma de la distribución y datos agrupados
La relación entre las tres medidas revela la forma de la distribución. En una distribución simétrica coinciden aproximadamente. Si hay cola larga a la derecha (tiempos de espera, gasto sanitario) suele ocurrir $Mo La media y la mediana no determinan los datos: muchos conjuntos distintos comparten ambas. Por eso, ante restricciones (mínimo, máximo, moda, media, mediana), se razona con el total $n\bar{x}$ y con las posiciones centrales, y se prueban casos. Con datos agrupados en intervalos, la mediana se aproxima por interpolación lineal: $Me\approx L_i+I\cdot\dfrac{n/2-F_{i-1}}{f_i}$, suponiendo datos repartidos uniformemente dentro del intervalo. El resultado difiere del exacto porque se pierde información al agrupar. En un centro de salud se registra el número de consultas médicas anuales de 20 pacientes crónicos, resumidos en el siguiente diagrama de frecuencias de puntos: 1 consulta (2 pacientes), 2 consultas (5 pacientes), 3 consultas (6 pacientes), 4 consultas (4 pacientes) y 6 consultas (3 pacientes). A partir de estos datos, obtenga la media, la mediana y la moda. El gráfico muestra los datos del ejercicio. Un informe de investigación sobre 4 pacientes indica que la media del tiempo de reacción es $\bar{x} = 250$ ms y la mediana es $Me = 250$ ms. Justifique si es posible reconstruir de manera única los 4 datos originales a partir únicamente de esta información. En un estudio sobre latencia para conciliar el sueño (en minutos), 6 pacientes registran: 15; 22; 28; 35; 40; 120. Debido a un fallo de registro a los 60 minutos, el último dato se censura y se anota como 60 minutos en lugar de 120. Calcule la variación absoluta en la media y en la mediana tras dicha modificación. Vuelve al principio: el «paciente típico» de urgencias puede ser la moda (la espera más común), la mediana (la espera que deja a la mitad por debajo) o la media (el reparto equitativo del tiempo total). Con una cola de esperas largas, la media será mayor que la mediana, y por eso conviene decir siempre cuál se ha calculado. Siete observaciones enteras ordenadas tienen mínimo 2, máximo 14, moda única 3, mediana 6 y media 7. Determina todos los conjuntos de siete valores que cumplen esas condiciones. Justifica por qué no hay una única solución. Un conjunto de $n = 6$ puntuaciones enteras no negativas en una prueba neuropsicológica tiene media $\bar{x} = 5$, mediana $Me = 4,5$ y moda única $Mo = 4$. Si la puntuación mínima posible es 2, determine el mayor valor individual posible que puede tomar la puntuación máxima de esta serie. El tiempo de espera (en minutos) de 10 usuarios en urgencias es: 5; 8; 12; 15; 18; 22; 25; 28; 32; 45. Calcule la mediana exacta con los datos directos. A continuación, agrupe los datos en dos intervalos ([0; 20) y [20; 50)) y aproxime la mediana mediante interpolación lineal continua ($L_i + I \cdot \frac{N/2 - F_{i-1}}{f_i}$). Evalúe la diferencia.En un centro de salud se registra el número de consultas médicas anuales de 20 pacientes crónicos, resumidos en el siguiente diagrama de frecuencias de puntos: 1…
Un informe de investigación sobre 4 pacientes indica que la media del tiempo de reacción es $\bar{x} = 250$ ms y la mediana es $Me = 250$ ms. Justifique si es posible…
En un estudio sobre latencia para conciliar el sueño (en minutos), 6 pacientes registran: 15; 22; 28; 35; 40; 120. Debido a un fallo de registro a los 60 minutos, el…
Siete observaciones enteras ordenadas tienen mínimo 2, máximo 14, moda única 3, mediana 6 y media 7. Determina todos los conjuntos de siete valores que cumplen esas…
Un conjunto de $n = 6$ puntuaciones enteras no negativas en una prueba neuropsicológica tiene media $\bar{x} = 5$, mediana $Me = 4,5$ y moda única $Mo = 4$. Si la…
El tiempo de espera (en minutos) de 10 usuarios en urgencias es: 5; 8; 12; 15; 18; 22; 25; 28; 32; 45. Calcule la mediana exacta con los datos directos. A continuación,…