Modelos continuos y elección de distribución
Llegas a urgencias y te dicen que te atenderán «en unos minutos». ¿Cuál es la probabilidad de esperar más de diez? ¿Si ya llevas diez, esperarás menos que al llegar? Para responder necesitas un modelo de variable continua: una forma de repartir la probabilidad sobre un intervalo de valores. Aquí verás cuáles son los más habituales y cómo decidir cuál usar.
Densidad: la probabilidad es un área
La altura de $f$ no es una probabilidad: es probabilidad por unidad de $x$. Por eso puede superar $1$ si el intervalo donde se concentra la masa es corto. Una densidad que vale $4$ en un tramo de longitud $0{,}25$ aporta un área de $1$: nada imposible.
Un tiempo X se distribuye uniformemente entre 0 y 10 minutos. A partir de la densidad representada, calcula la probabilidad de esperar entre 2 y 5 minutos. El siguiente…
Un tiempo X se distribuye uniformemente entre 0 y 10 minutos. A partir de la densidad representada, calcula la probabilidad de esperar entre 2 y 5 minutos.
El siguiente esquema representa los datos del ejercicio.
Para una variable continua con densidad, explica por qué una altura de densidad mayor que 1 no implica una probabilidad imposible.
Para una variable continua con densidad, explica por qué una altura de densidad mayor que 1 no implica una probabilidad imposible.
Una densidad vale $cx$ para $0\le x\le2$ y cero fuera. Halla c mediante el área de un triángulo y calcula $P(X\le1)$.
Una densidad vale $cx$ para $0\le x\le2$ y cero fuera. Halla c mediante el área de un triángulo y calcula $P(X\le1)$.
Modelo uniforme y densidades triangulares
Otras densidades se manejan con geometría. Si $f(x)=cx$ en $[0,2]$, el área es un triángulo de base $2$ y altura $2c$: $\tfrac12\cdot2\cdot2c=1$ y $c=\tfrac12$. En una triangular sobre $[0,10]$ con pico en $5$, el área $\tfrac12\cdot10\cdot h=1$ da $h=0{,}2$.
Un tiempo uniforme entre 4 y 12 minutos tiene qué esperanza? Explica la simetría empleada.
Un tiempo uniforme entre 4 y 12 minutos tiene qué esperanza? Explica la simetría empleada.
Si $X\sim U(10;30)$, calcula el percentil 75 y $P(X>25)$.
Si $X\sim U(10;30)$, calcula el percentil 75 y $P(X>25)$.
Una densidad triangular simétrica ocupa $[0;10]$ y alcanza su máximo en 5. Halla su altura máxima y la probabilidad de X entre 0 y 2.
Una densidad triangular simétrica ocupa $[0;10]$ y alcanza su máximo en 5. Halla su altura máxima y la probabilidad de X entre 0 y 2.
Exponencial: esperas sin memoria
Una duración exponencial tiene tasa $\lambda=0,25$ por minuto. Usa $E(X)=1/\lambda$ para hallar el tiempo medio.
Una duración exponencial tiene tasa $\lambda=0,25$ por minuto. Usa $E(X)=1/\lambda$ para hallar el tiempo medio.
Una espera exponencial tiene tasa $0,20$ por minuto. Usa $P(X>t)=e^{-\lambda t}$ para calcular la probabilidad de esperar más de cinco minutos.
Una espera exponencial tiene tasa $0,20$ por minuto. Usa $P(X>t)=e^{-\lambda t}$ para calcular la probabilidad de esperar más de cinco minutos.
Una espera exponencial tiene tasa $0,10$ por minuto. Calcula $P(X>15\mid X>10)$ y compárala con $P(X>5)$.
Una espera exponencial tiene tasa $0,10$ por minuto. Calcula $P(X>15\mid X>10)$ y compárala con $P(X>5)$.
Lognormal y mezclas
Una mezcla combina masa puntual y densidad. Si con probabilidad $0{,}30$ no hay espera ($X=0$) y en el resto es exponencial de media $5$, entonces $P(X=0)=0{,}30$ y $P(X>5)=0{,}70\,e^{-1}\approx0{,}258$. Aquí $X$ no es continua pura: tiene un salto en $0$.
Un tiempo X tiene $\log X\sim N(2;0,25)$, donde el segundo parámetro es la varianza del logaritmo natural. Halla la mediana de X y su percentil 95 usando…
Un tiempo X tiene $\log X\sim N(2;0,25)$, donde el segundo parámetro es la varianza del logaritmo natural. Halla la mediana de X y su percentil 95 usando $z_{0,95}=1,645$. Puedes usar exponenciales.
Se modela una espera como mezcla: con probabilidad $0,30$ la atención es inmediata y, en los demás casos, el tiempo es exponencial de media 5 minutos. Calcula $P(X=0)$ y…
Se modela una espera como mezcla: con probabilidad $0,30$ la atención es inmediata y, en los demás casos, el tiempo es exponencial de media 5 minutos. Calcula $P(X=0)$ y $P(X>5)$.
Un tiempo X tiene $\log X\sim N(1;0,36)$, con segundo parámetro varianza. Usa $E(X)=e^{\mu+\sigma^2/2}$ para comparar media y mediana.
Un tiempo X tiene $\log X\sim N(1;0,36)$, con segundo parámetro varianza. Usa $E(X)=e^{\mu+\sigma^2/2}$ para comparar media y mediana.
Elegir una distribución
Elegir un modelo no es adivinar la «verdadera» distribución: es decidir cuál describe razonablemente los datos y responde a tu pregunta. Los criterios son:
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Soporte: ¿los valores pueden ser negativos? Un tiempo no, así que la normal es dudosa si hay mucha masa cerca de $0$.
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Forma: simétrica o con cola larga; si hay cola larga, lognormal, gamma o exponencial.
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Mecanismo: tiempo hasta un suceso con tasa constante sugiere exponencial; suma de efectos multiplicativos, lognormal.
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Colas: la t de Student con pocos grados de libertad tiene colas más pesadas que la normal, así que asigna más probabilidad a valores extremos.
¿Qué modelo elegirías inicialmente para un tiempo positivo muy asimétrico: una normal o una lognormal? Justifica sin afirmar que el modelo ya esté validado.
¿Qué modelo elegirías inicialmente para un tiempo positivo muy asimétrico: una normal o una lognormal? Justifica sin afirmar que el modelo ya esté validado.
Un conjunto de tiempos presenta un límite inferior de 0 y una concentración alrededor de 20 con cola larga. Explica por qué un histograma por sí solo no permite elegir…
Un conjunto de tiempos presenta un límite inferior de 0 y una concentración alrededor de 20 con cola larga. Explica por qué un histograma por sí solo no permite elegir de forma definitiva entre gamma y lognormal.
Un informe usa distribución t de Student con cinco grados de libertad para errores centrados y una normal estándar como alternativa. Sin calcular áreas, indica cuál…
Un informe usa distribución t de Student con cinco grados de libertad para errores centrados y una normal estándar como alternativa. Sin calcular áreas, indica cuál tiene colas más pesadas y por qué importa para valores extremos.
Primer evento entre varias esperas
Para una espera exponencial de media 10 minutos, calcula la mediana usando $F(t)=1-e^{-t/10}$ y logaritmos.
Para una espera exponencial de media 10 minutos, calcula la mediana usando $F(t)=1-e^{-t/10}$ y logaritmos.
Para $X\sim U(0;12)$, calcula $P(X>8\mid X>3)$ y explica por qué no se aplica la propiedad sin memoria.
Para $X\sim U(0;12)$, calcula $P(X>8\mid X>3)$ y explica por qué no se aplica la propiedad sin memoria.
Dos esperas independientes son exponenciales con tasas 2 y 3 por hora. Para el tiempo hasta el primer evento, calcula la supervivencia y la media.
Dos esperas independientes son exponenciales con tasas 2 y 3 por hora. Para el tiempo hasta el primer evento, calcula la supervivencia y la media.
Vuelve al principio: la probabilidad de esperar más de diez minutos es un área (o una supervivencia $e^{-\lambda t}$ si el modelo es exponencial), y que ya lleves diez minutos solo no te favorece si el modelo no tiene memoria; ese supuesto hay que justificarlo.