Nivelación · Estadística aplicada y bioestadística
Probabilidad e introducción a la inferencia · Estimación y contraste
Intervalos de confianza para medias
Un estudio mide el tiempo de reacción de 25 voluntarios y obtiene una media de 312 ms. Ese número cambiaría con otra muestra, así que ¿qué puedes decir de la media de toda la población? Un intervalo de confianza responde con un rango de valores plausibles y con una medida honesta de la incertidumbre. Al final del apartado sabrás construirlo, interpretarlo sin errores y reconocer cuándo no te puedes fiar de él.
Estimación central y margen de error
El esquema es siempre el mismo: estimación puntual, más y menos un margen. El margen es un cuantil (cuántos errores estándar te alejas) por el error estándar (cuánto varía la media de una muestra a otra).
Si te dan los extremos, recuperas ambas piezas: $\bar{x} = \dfrac{L+U}{2}$ y $E = \dfrac{U-L}{2}$.
Practica★☆☆Sin empezar
Un intervalo de confianza simétrico para una media es $[46;54]$. Identifica la estimación central y el margen de error. El siguiente esquema representa los datos del…
Un intervalo de confianza simétrico para una media es $[46;54]$. Identifica la estimación central y el margen de error.
El siguiente esquema representa los datos del ejercicio.
En la práctica $\sigma$ casi nunca se conoce, pero esta versión es la base de todo lo demás. Si te dan directamente el error estándar, el margen es simplemente $z \cdot EE$.
Un intervalo de una sola cola (por ejemplo, «al menos») usa el cuantil de una cola: un límite inferior del 95 % es $\bar{x} - z_{0,95}\,EE$, con $z_{0,95}=1{,}645$, y el límite superior queda abierto.
Practica★☆☆Sin empezar
Una muestra aleatoria independiente tiene media 30 y error estándar conocido 2. Supón que la media tiene distribución normal. Calcula el intervalo normal del 95 % usando…
Una muestra aleatoria independiente tiene media 30 y error estándar conocido 2. Supón que la media tiene distribución normal. Calcula el intervalo normal del 95 % usando $z=1,96$.
Una muestra de 25 observaciones independientes de una población normal tiene media 50 y desviación poblacional conocida 10. Calcula el IC del 95 % usando $z=1,96$.
Una muestra de 25 observaciones independientes de una población normal tiene media 50 y desviación poblacional conocida 10. Calcula el IC del 95 % usando $z=1,96$.
Intervalo con t de Student: desviación desconocida
Cuando estimas $\sigma$ con la desviación muestral $s$, añades incertidumbre: $s$ también cambia de muestra a muestra. La t de Student compensa esto con colas más pesadas que la normal, sobre todo con $n$ pequeño.
Practica★☆☆Sin empezar
En una muestra normal de tamaño 10 con varianza poblacional desconocida, ¿se usa z o t de Student para un intervalo exacto de la media? Indica grados de libertad.
En una muestra normal de tamaño 10 con varianza poblacional desconocida, ¿se usa z o t de Student para un intervalo exacto de la media? Indica grados de libertad.
Qué significa la confianza y qué ensancha el intervalo
El nivel de confianza describe el procedimiento, no un intervalo ya calculado. La media $\mu$ es fija; lo aleatorio es el intervalo. Una vez calculado, o contiene a $\mu$ o no.
Practica★☆☆Sin empezar
Explica qué significa que un procedimiento construya intervalos de confianza del 95 % en muestreos repetidos.
Explica qué significa que un procedimiento construya intervalos de confianza del 95 % en muestreos repetidos.
De 2000 intervalos simulados al 95 %, 1880 contienen la media verdadera. Calcula la cobertura observada y su error estándar Montecarlo con $\sqrt{\hat c(1-\hat c)/B}$.
De 2000 intervalos simulados al 95 %, 1880 contienen la media verdadera. Calcula la cobertura observada y su error estándar Montecarlo con $\sqrt{\hat c(1-\hat c)/B}$.
Extensiones: transformaciones, predicción y varios intervalos
Por ejemplo, si el IC para $A$ es $[20;30]$ y $B=2A+10$, el IC de $B$ es $[2\cdot 20+10;\;2\cdot 30+10]=[50;70]$. Y si el IC de $\mu_Y$ con $Y=\log X$ es $[1;2]$, el IC de la mediana de $X$ es $[e;\,e^2]\approx[2{,}72;\,7{,}39]$.
Practica★★☆Sin empezar
Un IC para la media de una escala en unidades A es $[20;30]$. Si las unidades B se definen como $B=2A+10$, transforma el intervalo.
Un IC para la media de una escala en unidades A es $[20;30]$. Si las unidades B se definen como $B=2A+10$, transforma el intervalo.
Dos intervalos marginales del 95 % se construyen de manera independiente. Calcula la probabilidad de que ambos cubran sus respectivos parámetros y explica por qué no es…
Dos intervalos marginales del 95 % se construyen de manera independiente. Calcula la probabilidad de que ambos cubran sus respectivos parámetros y explica por qué no es 95 %.
Una muestra normal independiente de tamaño 25 tiene media 40 y desviación 10. Compara el margen de un IC de la media con el de predicción de una futura observación,…
Una muestra normal independiente de tamaño 25 tiene media 40 y desviación 10. Compara el margen de un IC de la media con el de predicción de una futura observación, usando $t_{24;0,975}=2,064$ y las fórmulas $ts/\sqrt n$ y $ts\sqrt{1+1/n}$.
Vuelve al principio: con 25 voluntarios y media de 312 ms, el IC no es «la media más o menos algo» al azar, sino $\bar{x}\pm t_{24;0{,}975}\,s/\sqrt{25}$, un rango cuyo procedimiento captura la media poblacional el $95\,\%$ de las veces, siempre que la muestra no esté sesgada.
¡A practicar! 8 ejercicios de nivel medio en este apartado