Variables aleatorias y esperanza
Un servicio de salud llama a los pacientes para hacer seguimiento y cada día no sabes cuántas llamadas quedarán pendientes: puede ser 0, 1 o 2. Si tuvieras que organizar el turno, ¿con qué cifra contarías? Para responder necesitas dos cosas: una forma de describir todos los resultados posibles con sus probabilidades y un número que resuma «lo que cabe esperar» a largo plazo.
Variable aleatoria y distribución de probabilidad
Lo que distingue el tipo de variable no es el aparato de medida, sino qué valores admite: contar da discretas; medir sin redondeo da continuas. Para una discreta, la distribución se representa con barras cuya altura es la probabilidad.
Clasifica como discreta o continua: número de sesiones asistidas y duración ideal medida sin redondeo de una sesión.
Clasifica como discreta o continua: número de sesiones asistidas y duración ideal medida sin redondeo de una sesión.
Una variable toma valores 1, 2 y 3 con probabilidades $0,20$, $0,50$ y $q$. Halla $q$ y $P(X\ge2)$.
Una variable toma valores 1, 2 y 3 con probabilidades $0,20$, $0,50$ y $q$. Halla $q$ y $P(X\ge2)$.
Una distribución asigna a 0, 1, 2 y 3 las probabilidades $k$, $2k$, $2k$ y $k$. Halla $k$ y $E(X)$.
Una distribución asigna a 0, 1, 2 y 3 las probabilidades $k$, $2k$, $2k$ y $k$. Halla $k$ y $E(X)$.
Función de distribución
Por eso se pueden recuperar las probabilidades puntuales a partir de $F$: la probabilidad de un valor es la altura de su salto, $P(X=x_i)=F(x_i)-F(x_i^-)$.
La función de distribución de X vale 0 antes de 0, $0,40$ entre 0 incluido y 1 excluido, $0,90$ entre 1 incluido y 2 excluido, y 1 desde 2. Recupera las probabilidades…
La función de distribución de X vale 0 antes de 0, $0,40$ entre 0 incluido y 1 excluido, $0,90$ entre 1 incluido y 2 excluido, y 1 desde 2. Recupera las probabilidades puntuales.
Esperanza matemática
Si repites un experimento muchas veces, el promedio de los resultados se acerca a un valor concreto: la esperanza. Cada valor pesa según la frecuencia con que aparece, es decir, según su probabilidad.
El número X de llamadas de seguimiento pendientes tiene probabilidades $P(X=0)=0,50$, $P(X=1)=0,30$ y $P(X=2)=0,20$. Usa la distribución representada para calcular su…
El número X de llamadas de seguimiento pendientes tiene probabilidades $P(X=0)=0,50$, $P(X=1)=0,30$ y $P(X=2)=0,20$. Usa la distribución representada para calcular su esperanza.
El siguiente esquema representa los datos del ejercicio.
Un indicador X vale 1 si una persona responde a una encuesta y 0 si no, con probabilidad de respuesta $0,40$. Calcula $E(X)$.
Un indicador X vale 1 si una persona responde a una encuesta y 0 si no, con probabilidad de respuesta $0,40$. Calcula $E(X)$.
En una distribución, X vale 0 con probabilidad $0,90$ y 10 con probabilidad $0,10$. Halla media y mediana, y explica qué resumen describe mejor un resultado habitual.
En una distribución, X vale 0 con probabilidad $0,90$ y 10 con probabilidad $0,10$. Halla media y mediana, y explica qué resumen describe mejor un resultado habitual.
Varianza y transformaciones lineales
La esperanza dice dónde está el centro, pero no cuánto se dispersan los resultados.
Una puntuación aleatoria X tiene esperanza 12. Se redefine como $Y=2X+5$. Halla $E(Y)$.
Una puntuación aleatoria X tiene esperanza 12. Se redefine como $Y=2X+5$. Halla $E(Y)$.
Una variable X toma 0, 1 y 2 con probabilidades $0,25$, $0,50$ y $0,25$. Calcula esperanza, segundo momento y varianza.
Una variable X toma 0, 1 y 2 con probabilidades $0,25$, $0,50$ y $0,25$. Calcula esperanza, segundo momento y varianza.
Una variable X tiene media 10 y varianza 4. Para $Y=3X-2$, calcula media y desviación típica.
Una variable X tiene media 10 y varianza 4. Para $Y=3X-2$, calcula media y desviación típica.
Sumas de variables
El coste aleatorio de una gestión es $0\ \text{€}$ con probabilidad $0,70$ y $20\ \text{€}$ con probabilidad $0,30$. Calcula el coste esperado de 50 gestiones y explica…
El coste aleatorio de una gestión es $0\ \text{€}$ con probabilidad $0,70$ y $20\ \text{€}$ con probabilidad $0,30$. Calcula el coste esperado de 50 gestiones y explica si exige independencia.
Dos variables independientes tienen varianzas 9 y 16. Halla la desviación típica de su suma.
Dos variables independientes tienen varianzas 9 y 16. Halla la desviación típica de su suma.
Dos mediciones X e Y tienen varianzas 4 y 9 y covarianza 2. Calcula la varianza de $X+Y$ y de $X-Y$.
Dos mediciones X e Y tienen varianzas 4 y 9 y covarianza 2. Calcula la varianza de $X+Y$ y de $X-Y$.
Decidir con la esperanza y acotar con desigualdades
La esperanza sirve para comparar opciones con resultado incierto, pero no lo cuenta todo. Y cuando solo conoces media y desviación, hay desigualdades que acotan probabilidades sin suponer ninguna forma de distribución.
X vale 0 o 2 con igual probabilidad. Compara $E(X^2)$ con $[E(X)]^2$ y explica la diferencia.
X vale 0 o 2 con igual probabilidad. Compara $E(X^2)$ con $[E(X)]^2$ y explica la diferencia.
Un programa cuesta $8\ \text{€}$ por participante y evita un gasto de $50\ \text{€}$ solo si tiene éxito, con probabilidad $0,25$. Define el ahorro neto y calcula su…
Un programa cuesta $8\ \text{€}$ por participante y evita un gasto de $50\ \text{€}$ solo si tiene éxito, con probabilidad $0,25$. Define el ahorro neto y calcula su esperanza; indica una limitación de decidir solo por ella.
Una variable no negativa tiene esperanza 3. Usando la desigualdad de Markov $P(X\ge a)\le E(X)/a$, acota $P(X\ge12)$ y explica si es un valor exacto.
Una variable no negativa tiene esperanza 3. Usando la desigualdad de Markov $P(X\ge a)\le E(X)/a$, acota $P(X\ge12)$ y explica si es un valor exacto.
Vuelve al principio: con las llamadas pendientes, $E(X)=0{,}7$ es la carga media diaria, pero el turno debe prever que algunos días haya 2.
X e Y son independientes, cada una vale 0 o 1 con igual probabilidad. Construye la distribución de $X+Y$ y comprueba su esperanza por dos vías.
X e Y son independientes, cada una vale 0 o 1 con igual probabilidad. Construye la distribución de $X+Y$ y comprueba su esperanza por dos vías.
Una puntuación tiene media 50 y desviación típica 5. Sin asumir normalidad, usa Chebyshev $P(|X-\mu|\ge k\sigma)\le1/k^2$ para acotar la probabilidad de estar a menos de…
Una puntuación tiene media 50 y desviación típica 5. Sin asumir normalidad, usa Chebyshev $P(|X-\mu|\ge k\sigma)\le1/k^2$ para acotar la probabilidad de estar a menos de 10 puntos de la media.