Distribuciones muestrales y error estándar
Un hospital mide la tensión arterial a 25 pacientes y obtiene una media de 128 mmHg. Otro equipo repite el estudio con otros 25 pacientes y obtiene 131. Ninguno se ha equivocado: cada muestra da un valor distinto. La pregunta del apartado es cuánto cabe esperar que varíe ese valor de una muestra a otra y cómo cambia esa variación al ampliar la muestra. De ahí sale el error estándar, la pieza que sostiene los intervalos de confianza y los contrastes de los apartados siguientes.
La media muestral varía: distribución muestral
Distingue tres cosas que se confunden con facilidad: la distribución de los individuos en la población, la distribución de los datos de tu muestra y la distribución muestral de la media, que describe cómo variaría $\bar X$ si repitieras el estudio muchas veces.
Una población tiene media 80. ¿Cuál es la esperanza de la media de una muestra aleatoria de 16 observaciones?
Una población tiene media 80. ¿Cuál es la esperanza de la media de una muestra aleatoria de 16 observaciones?
Distingue desviación típica de los individuos y error estándar de la media en una encuesta de puntuaciones.
Distingue desviación típica de los individuos y error estándar de la media en una encuesta de puntuaciones.
Error estándar de la media
Cuando $\sigma$ es desconocida, se estima con la desviación típica muestral $s$ y se escribe $\widehat{EE}=s/\sqrt n$. Para una proporción, con $\hat p$ media de ensayos Bernoulli: $EE(\hat p)=\sqrt{p(1-p)/n}$.
Se toman muestras independientes de una población normal de media 50 y desviación típica 10. Compara el error estándar de la media para tamaños 25 y 100. El siguiente…
Se toman muestras independientes de una población normal de media 50 y desviación típica 10. Compara el error estándar de la media para tamaños 25 y 100.
El siguiente esquema representa los datos del ejercicio.
Una muestra de 64 observaciones independientes tiene desviación típica muestral 12. Estima el error estándar de la media.
Una muestra de 64 observaciones independientes tiene desviación típica muestral 12. Estima el error estándar de la media.
En una población normal con media 10 y varianza 36, identifica la distribución de la media de nueve observaciones independientes, indicando el segundo parámetro como…
En una población normal con media 10 y varianza 36, identifica la distribución de la media de nueve observaciones independientes, indicando el segundo parámetro como varianza.
El teorema central del límite
El TLC habla de la media, no de los datos: aunque la variable individual sea muy asimétrica, la distribución de $\bar X$ se acerca a la campana. Los datos individuales siguen siendo asimétricos.
Para observaciones independientes con media 100 y desviación 20, aproxima la probabilidad de que la media de 100 observaciones supere 104. Usa el TLC y $\Phi(2)=0,9772$.
Para observaciones independientes con media 100 y desviación 20, aproxima la probabilidad de que la media de 100 observaciones supere 104. Usa el TLC y $\Phi(2)=0,9772$.
Una variable individual es fuertemente asimétrica pero tiene varianza finita. ¿Qué afirma el TLC sobre la media al crecer n, y qué no afirma sobre los datos individuales?
Una variable individual es fuertemente asimétrica pero tiene varianza finita. ¿Qué afirma el TLC sobre la media al crecer n, y qué no afirma sobre los datos individuales?
Una media de 25 observaciones normales independientes procede de una población de media 50 y desviación 10. Halla el intervalo que contiene el 95 % central de sus…
Una media de 25 observaciones normales independientes procede de una población de media 50 y desviación 10. Halla el intervalo que contiene el 95 % central de sus posibles valores usando $z=1,96$.
Proporciones y combinaciones de estimaciones
Una proporción muestral es una media de variables Bernoulli (1 si ocurre, 0 si no), así que el TLC también se aplica.
Para comparar o combinar estimaciones se usan las reglas de la varianza. Si $A$ y $B$ son independientes, $\operatorname{Var}(A-B)=\operatorname{Var}(A)+\operatorname{Var}(B)$: las varianzas se suman, también al restar. Con dependencia, $\operatorname{Var}(A-B)=\operatorname{Var}(A)+\operatorname{Var}(B)-2\operatorname{Cov}(A,B)$. Para $T=aX+bY$ con $X,Y$ independientes: $E(T)=aE(X)+bE(Y)$ y $\operatorname{Var}(T)=a^2\operatorname{Var}(X)+b^2\operatorname{Var}(Y)$; si ambas son normales, $T$ también.
En una población, la proporción es $0,30$. Para 200 observaciones Bernoulli independientes, halla el error estándar de la proporción muestral.
En una población, la proporción es $0,30$. Para 200 observaciones Bernoulli independientes, halla el error estándar de la proporción muestral.
Dos medias independientes proceden de poblaciones con varianzas 100 y 144, y tamaños 25 y 36. Halla el error estándar de su diferencia.
Dos medias independientes proceden de poblaciones con varianzas 100 y 144, y tamaños 25 y 36. Halla el error estándar de su diferencia.
Dos variables normales independientes tienen medias 10 y 20 y varianzas 4 y 9. Para $T=0,25X+0,75Y$, halla distribución, media y varianza.
Dos variables normales independientes tienen medias 10 y 20 y varianzas 4 y 9. Para $T=0,25X+0,75Y$, halla distribución, media y varianza.
Cuando el modelo simple no vale
La fórmula $\sigma/\sqrt n$ supone observaciones independientes y una población muy grande. Si falla algo, el EE cambia.
Un muestreo aleatorio simple sin reposición toma 100 individuos de una población finita de 400 cuya desviación típica, definida con divisor N, es 20. Usa…
Un muestreo aleatorio simple sin reposición toma 100 individuos de una población finita de 400 cuya desviación típica, definida con divisor N, es 20. Usa $EE=(\sigma/\sqrt n)\sqrt{(N-n)/(N-1)}$ y calcula el error estándar.
En grupos de tamaño 10, la correlación intragrupo es $0,10$. Usa el efecto de diseño $D=1+(m-1)\rho$ para estimar el error estándar si bajo independencia sería 2.
En grupos de tamaño 10, la correlación intragrupo es $0,10$. Usa el efecto de diseño $D=1+(m-1)\rho$ para estimar el error estándar si bajo independencia sería 2.
En un estudio se observa a 20 pacientes cinco veces cada uno. Explica por qué usar $n=100$ en $s/\sqrt n$ puede ser incorrecto y cuál es la unidad que debe guiar el…
En un estudio se observa a 20 pacientes cinco veces cada uno. Explica por qué usar $n=100$ en $s/\sqrt n$ puede ser incorrecto y cuál es la unidad que debe guiar el análisis.
Resumen
Vuelve al principio: las dos medias de 128 y 131 mmHg son compatibles con la misma población, porque con $n=25$ y una $\sigma$ de varios mmHg el error estándar es de ese orden de magnitud.