Nivelación · Estadística aplicada y bioestadística
Comparación, modelos y aplicaciones en salud · Asociación y regresión
Regresión lineal simple
Un grupo de estudiantes registra cuántas horas estudia cada uno y su puntuación en un examen. Quieres resumir esa nube de puntos con una sola recta que permita predecir la nota para unas horas dadas. ¿Qué recta es la "mejor", qué significan sus números y hasta dónde te puedes fiar de sus predicciones? Lo responderemos paso a paso.
La recta y su interpretación
Piensa en la pendiente como una tasa: si $\hat y = 8 - 0{,}5x$, con $x$ en horas y $y$ en puntos de fatiga, cada hora adicional se asocia con una bajada media de $0{,}5$ puntos de fatiga. Siempre con unidades y con la palabra «asociada», no «causa».
Practica★☆☆Sin empezar
Un modelo ficticio pasa por horas/puntuación $(0;20),(2;30),(4;40)$. Obtén la pendiente y la ordenada, y predice la puntuación para 3 horas dentro del rango observado.…
Un modelo ficticio pasa por horas/puntuación $(0;20),(2;30),(4;40)$. Obtén la pendiente y la ordenada, y predice la puntuación para 3 horas dentro del rango observado.
Muchas rectas pasan cerca de una nube de puntos. Para elegir una, se mide el error de cada observación: el residuo $e_i = y_i - \hat y_i$ (dato menos predicción). Un residuo positivo indica que el dato real queda por encima de la recta.
Practica★☆☆Sin empezar
En una observación, $y=17$ y la predicción es $\hat y=15$. Calcula el residuo con la convención $e=y-\hat y$ e interprétalo.
En una observación, $y=17$ y la predicción es $\hat y=15$. Calcula el residuo con la convención $e=y-\hat y$ e interprétalo.
La pendiente muestral $b_1$ cambia de una muestra a otra. Para saber si la relación puede deberse al azar se hace inferencia sobre $\beta_1$.
Media o individuo
Para un valor $x_0$ hay dos preguntas distintas. Estimar la respuesta media de todos los que tienen $x_0$ tiene el error estándar $s\sqrt{\tfrac1n+\tfrac{(x_0-\bar x)^2}{S_{xx}}}$. Predecir un individuo añade la variabilidad individual: $s\sqrt{1+\tfrac1n+\tfrac{(x_0-\bar x)^2}{S_{xx}}}$. Por eso el intervalo de predicción es siempre más ancho, y ambos se ensanchan al alejarse de $\bar x$.
Practica★☆☆Sin empezar
La pendiente estimada es 2 con error estándar $0,5$. Calcula t para pendiente poblacional cero.
La pendiente estimada es 2 con error estándar $0,5$. Calcula t para pendiente poblacional cero.
En una regresión con intercepto se entrega $SC_{total}=100$, $SC_{residual}=25$, $n=12$. Calcula el F global usando $(SC_{total}-SC_{residual})/[SC_{residual}/(n-2)]$ y…
En una regresión con intercepto se entrega $SC_{total}=100$, $SC_{residual}=25$, $n=12$. Calcula el F global usando $(SC_{total}-SC_{residual})/[SC_{residual}/(n-2)]$ y su relación con $|t|$ de la pendiente.
Por ejemplo, $\hat y=30+2x$ con $x$ en horas pasa, con $m=60x$ minutos, a $\hat y=30+\tfrac{2}{60}m$. Y $\hat y=10+3x$ con $u=x-4$ queda $\hat y=22+3u$: $22$ es la previsión para $x=4$.
Otros límites
Ajustar y evaluar con los mismos datos da un error optimista. Para estimar el rendimiento en estudiantes nuevos hay que separar datos de entrenamiento y de prueba (o usar validación cruzada).
Variables omitidas: un coeficiente puede cambiar de signo al incluir otra variable (curso académico, por ejemplo) porque los grupos difieren en ambas variables. Con una sola $x$ la recta mezcla ese efecto.
Practica★☆☆Sin empezar
Se ajustó una recta con edades entre 18 y 25 años y se predice para 70. ¿Cómo se llama esa operación y cuál es su principal limitación?
Se ajustó una recta con edades entre 18 y 25 años y se predice para 70. ¿Cómo se llama esa operación y cuál es su principal limitación?
Un modelo predice probabilidad de respuesta mediante $\hat p=0,2+0,1x$. Para $x=10$ produce un valor imposible. Calcula ese valor y explica qué limitación ilustra, sin…
Un modelo predice probabilidad de respuesta mediante $\hat p=0,2+0,1x$. Para $x=10$ produce un valor imposible. Calcula ese valor y explica qué limitación ilustra, sin ajustar otro modelo.
Vuelve al principio: la mejor recta es la de mínimos cuadrados, la pendiente se interpreta como cambio medio asociado con unidades, y solo es fiable dentro del rango observado y con los supuestos razonables.
¡A practicar! 8 ejercicios de nivel medio en este apartado