Simulación y remuestreo introductorio
Quieres saber con qué frecuencia una consulta de urgencias recibirá más de cuatro pacientes graves en una hora, pero la fórmula exacta se complica. Puedes dejar el cálculo de lado: generas miles de horas ficticias con el ordenador y cuentas cuántas cumplen la condición. Y si solo tienes una muestra de 20 pacientes y quieres saber cuánto varía su media, también puedes «fabricar» muestras nuevas a partir de ella. ¿Cómo se hace esto y hasta dónde te puedes fiar del resultado?
Simular un modelo: números aleatorios y Montecarlo
Un ordenador no lanza dados: genera números seudoaleatorios, una secuencia determinista que se comporta como una muestra de la uniforme $U \sim U[0;1)$. La semilla es el valor inicial del generador. Fijarla hace que la simulación sea reproducible (otra persona obtiene exactamente los mismos números), pero no garantiza que el modelo sea correcto: solo repite el mismo experimento.
El método de Montecarlo repite la simulación $B$ veces de forma independiente y estima la probabilidad con la frecuencia relativa $\hat p = b/B$, donde $b$ es el número de veces que ocurre el suceso. Es una estimación, no el valor exacto: otra semilla daría un número algo distinto.
Para simular un suceso de probabilidad $0,30$ se genera U uniforme en $[0;1]$. Propón una regla de éxito.
Para simular un suceso de probabilidad $0,30$ se genera U uniforme en $[0;1]$. Propón una regla de éxito.
En 1000 simulaciones se observa un suceso 240 veces. Estima su probabilidad y explica si tiene que ser exacta.
En 1000 simulaciones se observa un suceso 240 veces. Estima su probabilidad y explica si tiene que ser exacta.
Simula cinco respuestas con $p=0,40$ a partir de uniformes $0,12$; $0,85$; $0,33$; $0,40$; $0,07$, usando la regla éxito si $U<p$. Indica el total.
Simula cinco respuestas con $p=0,40$ a partir de uniformes $0,12$; $0,85$; $0,33$; $0,40$; $0,07$, usando la regla éxito si $U
Precisión de una simulación: error Montecarlo
Como $\hat p$ procede de $B$ réplicas independientes, es la proporción de $B$ ensayos de Bernoulli, y su variabilidad se mide como en el apartado de proporciones.
Una simulación estima $p=0,20$ con 10000 réplicas independientes. Estima su error estándar Montecarlo mediante $\sqrt{\hat p(1-\hat p)/B}$.
Una simulación estima $p=0,20$ con 10000 réplicas independientes. Estima su error estándar Montecarlo mediante $\sqrt{\hat p(1-\hat p)/B}$.
Una simulación con 2500 réplicas tiene error estándar Montecarlo estimado $0,008$. ¿Cuántas réplicas se necesitan aproximadamente para reducirlo a $0,004$, manteniendo…
Una simulación con 2500 réplicas tiene error estándar Montecarlo estimado $0,008$. ¿Cuántas réplicas se necesitan aproximadamente para reducirlo a $0,004$, manteniendo todo lo demás?
En una simulación bajo $H_0$ se realizan 10000 contrastes de nivel nominal $0,05$ y se rechaza 700 veces. Estima el error de tipo I empírico y su error Montecarlo;…
En una simulación bajo $H_0$ se realizan 10000 contrastes de nivel nominal $0,05$ y se rechaza 700 veces. Estima el error de tipo I empírico y su error Montecarlo; valora la discrepancia.
Simular otras variables: binomial y exponencial
Con uniformes puedes construir casi cualquier variable. La binomial se obtiene sumando Bernoullis; las variables continuas se generan con el método de la transformada inversa.
Quieres simular una binomial de tamaño 4 con probabilidad $0,25$. Describe un algoritmo usando uniformes independientes, sin ejecutarlo.
Quieres simular una binomial de tamaño 4 con probabilidad $0,25$. Describe un algoritmo usando uniformes independientes, sin ejecutarlo.
Para simular una espera exponencial de tasa $\lambda$, se usa $X=-\log(1-U)/\lambda$ con U uniforme en $[0;1)$. Con $U=0,80$ y $\lambda=0,20$ por minuto, calcula X y…
Para simular una espera exponencial de tasa $\lambda$, se usa $X=-\log(1-U)/\lambda$ con U uniforme en $[0;1)$. Con $U=0,80$ y $\lambda=0,20$ por minuto, calcula X y explica por qué no se admite $U=1$.
Bootstrap: remuestrear la muestra
Tienes una sola muestra y quieres saber cuánto variaría tu estimación con otras muestras. El bootstrap trata la muestra como si fuera la población: de ella extrae muchas muestras nuevas y observa cómo varía el estadístico.
Se calcula el estadístico (media, mediana…) en cada una de $B$ remuestras. La desviación típica de esos $B$ valores estima el error estándar del estadístico.
Una muestra contiene 2, 4 y 6. Tres remuestras bootstrap son (2, 2, 6), (4, 6, 6) y (2, 4, 6). Calcula sus medias y explica por qué se repiten valores. El siguiente…
Una muestra contiene 2, 4 y 6. Tres remuestras bootstrap son (2, 2, 6), (4, 6, 6) y (2, 4, 6). Calcula sus medias y explica por qué se repiten valores.
El siguiente esquema representa los datos del ejercicio.
Para el bootstrap ordinario de una muestra de tamaño 20, indica el tamaño de cada remuestra y si se permite seleccionar un mismo registro varias veces.
Para el bootstrap ordinario de una muestra de tamaño 20, indica el tamaño de cada remuestra y si se permite seleccionar un mismo registro varias veces.
Cuatro medias bootstrap son 8, 9, 11 y 12. Calcula su desviación típica muestral, con divisor $B-1$, como estimación pedagógica del error estándar.
Cuatro medias bootstrap son 8, 9, 11 y 12. Calcula su desviación típica muestral, con divisor $B-1$, como estimación pedagógica del error estándar.
Enumerar remuestras y elegir la unidad
Con una muestra pequeña se pueden listar todas. Si la muestra es $(1,3)$, hay $2^2=4$ remuestras ordenadas: $(1,1),(1,3),(3,1),(3,3)$, con medias $1,\,2,\,2,\,3$. En general hay $n^n$ remuestras ordenadas.
El bootstrap supone que los datos son independientes. Si 30 pacientes se miden en 3 visitas, las 90 filas no son independientes (las del mismo paciente se parecen). Remuestrear filas sueltas subestimaría la variabilidad: la unidad de remuestreo debe ser el paciente, llevándose consigo sus tres visitas.
Para un intervalo bootstrap percentil del 90 %, los cuantiles 5 % y 95 % de las estimaciones remuestreadas son $3,2$ y $5,8$. Indica el intervalo y su método.
Para un intervalo bootstrap percentil del 90 %, los cuantiles 5 % y 95 % de las estimaciones remuestreadas son $3,2$ y $5,8$. Indica el intervalo y su método.
Una muestra original es (1, 3). Enumera todas las remuestras bootstrap ordenadas de tamaño dos y sus medias.
Una muestra original es (1, 3). Enumera todas las remuestras bootstrap ordenadas de tamaño dos y sus medias.
Se siguen 30 pacientes en tres visitas. Explica por qué remuestrear libremente las 90 filas puede invalidar un bootstrap y propone una unidad de remuestreo.
Se siguen 30 pacientes en tres visitas. Explica por qué remuestrear libremente las 90 filas puede invalidar un bootstrap y propone una unidad de remuestreo.
Permutaciones: contrastar sin fórmulas
Para contrastar $H_0$: «no hay efecto» se pueden permutar las etiquetas de grupo. Si $H_0$ es cierta, la etiqueta es intercambiable y cualquier reparto es igual de plausible.
En un ensayo con asignación aleatoria, se permutan las etiquetas de tratamiento (reasignando quién estaría en cada grupo), y se conservan los tamaños de grupo y los resultados de cada participante: la aleatorización real justifica este reparto.
Vuelve al principio: simulas horas ficticias con uniformes y cuentas la frecuencia (Montecarlo), y remuestreas tu muestra de 20 pacientes para medir cuánto varía la media. Ambas dan estimaciones con error, que se reduce con más réplicas, pero ninguna corrige un modelo o una muestra mal planteados.
En 999 permutaciones, 24 estadísticas son al menos tan extremas como la observada. Usando la corrección $p=(b+1)/(B+1)$, calcula el valor p Montecarlo.
En 999 permutaciones, 24 estadísticas son al menos tan extremas como la observada. Usando la corrección $p=(b+1)/(B+1)$, calcula el valor p Montecarlo.
En un ensayo con asignación aleatoria a dos grupos, explica qué se permuta para contrastar ausencia de efecto mediante una prueba de aleatorización y qué debe…
En un ensayo con asignación aleatoria a dos grupos, explica qué se permuta para contrastar ausencia de efecto mediante una prueba de aleatorización y qué debe conservarse.
Un bootstrap de 10000 réplicas reproduce fielmente una muestra de conveniencia sesgada. ¿Puede corregir por sí solo la falta de representatividad? Razona.
Un bootstrap de 10000 réplicas reproduce fielmente una muestra de conveniencia sesgada. ¿Puede corregir por sí solo la falta de representatividad? Razona.
Una visión de conjunto: fortalezas y límites
Las técnicas de simulación son flexibles, pero conviene saber qué responden.
| Técnica | Qué hace | Qué no hace |
|---|---|---|
| Montecarlo | Aproxima probabilidades de un modelo supuesto | Valida el modelo |
| Semilla | Hace reproducible el resultado | Mejora la calidad |
| Bootstrap | Estima error e intervalos desde la muestra | Corrige sesgo de selección |
| Permutación | Contrasta $H_0$ con poca suposición | Demuestra causalidad sin aleatorización |
Dos reglas prácticas: indica siempre $B$ y la semilla, y acompaña la estimación con su error Montecarlo. Una simulación bajo $H_0$ puede servir para verificar un método: si un contraste de nivel $0{,}05$ rechaza 700 de 10000 veces, el error de tipo I empírico es $\hat\alpha=0{,}07$ con $EE_{MC}=\sqrt{0{,}07\cdot0{,}93/10000}\approx0{,}0026$. Está a unos $(0{,}07-0{,}05)/0{,}0026\approx7{,}7$ errores estándar del nominal: no es ruido de simulación, el método no se comporta como se anuncia.
¿Qué función cumple fijar una semilla en una simulación seudoaleatoria? ¿Garantiza que el modelo sea correcto?
¿Qué función cumple fijar una semilla en una simulación seudoaleatoria? ¿Garantiza que el modelo sea correcto?