Nivelación · Estadística aplicada y bioestadística
Probabilidad e introducción a la inferencia · Estimación y contraste
Intervalos para proporciones
En un estudio piloto, 8 de 20 participantes responden positivamente al tratamiento. La proporción muestral es $0{,}40$, pero con otros 20 participantes habría salido otro número. ¿Qué valores de la proporción en toda la población son compatibles con lo observado, y qué pasa cuando hay cero éxitos o casi todos son éxitos? Eso es lo que resuelve un intervalo de confianza para una proporción.
De la proporción muestral al error estándar
La variabilidad de $\hat p$ es mayor cuando $p$ está cerca de $0{,}5$ y disminuye al aumentar $n$ (como $1/\sqrt n$). Con $n=100$ y $\hat p=0{,}40$: $\mathrm{EE}=\sqrt{0{,}4\cdot0{,}6/100}\approx0{,}049$.
Practica★☆☆Sin empezar
En un esquema de 20 participantes, ocho dan respuesta positiva. Calcula la proporción muestral y explica por qué no permite afirmar una proporción poblacional exacta. El…
En un esquema de 20 participantes, ocho dan respuesta positiva. Calcula la proporción muestral y explica por qué no permite afirmar una proporción poblacional exacta.
El siguiente esquema representa los datos del ejercicio.
Wald usa $\hat p$ para estimar el error, y eso falla si $\hat p$ es $0$, $1$ o está cerca. Con $\hat p=0$ el error estimado es $0$ y el intervalo se reduce a $[0;0]$, lo que no es creíble. Con $n=25$ y $24$ éxitos, $\hat p=0{,}96$ y Wald da un límite superior mayor que $1$: imposible para una proporción. Truncar a $[0,1]$ no arregla el problema de fondo.
Con $n=20$: la regla da $0{,}15$ y el exacto $1-0{,}05^{1/20}\approx0{,}139$. Son parecidos; la regla mejora al crecer $n$.
Practica★☆☆Sin empezar
Se observan cero éxitos en diez ensayos independientes. ¿Puede concluirse que la probabilidad poblacional es cero? Razona.
Se observan cero éxitos en diez ensayos independientes. ¿Puede concluirse que la probabilidad poblacional es cero? Razona.
En 20 ensayos independientes hay 10 éxitos. Calcula Wilson al 95 % con $z=1,96$ y las fórmulas $c=(\hat p+z^2/(2n))/(1+z^2/n)$,…
En 20 ensayos independientes hay 10 éxitos. Calcula Wilson al 95 % con $z=1,96$ y las fórmulas $c=(\hat p+z^2/(2n))/(1+z^2/n)$, $h=z\sqrt{\hat p(1-\hat p)/n+z^2/(4n^2)}/(1+z^2/n)$.
Con cero eventos en 20 ensayos independientes, calcula el límite superior unilateral exacto del 95 % resolviendo $(1-p_U)^{20}=0,05$. Compáralo con la regla de tres.
Con cero eventos en 20 ensayos independientes, calcula el límite superior unilateral exacto del 95 % resolviendo $(1-p_U)^{20}=0,05$. Compáralo con la regla de tres.
Variantes: unilateral, complementario y diferencia
Practica★★☆Sin empezar
Una encuesta independiente registra 60 respuestas favorables de 100. Calcula el límite inferior unilateral normal de Wald al 95 % con $z_{0,95}=1,645$.
Una encuesta independiente registra 60 respuestas favorables de 100. Calcula el límite inferior unilateral normal de Wald al 95 % con $z_{0,95}=1,645$.
Un IC de Wilson para la proporción de respuestas positivas es $[0,20;0,45]$. Obtén el intervalo correspondiente para respuestas negativas, si son las únicas dos…
Un IC de Wilson para la proporción de respuestas positivas es $[0,20;0,45]$. Obtén el intervalo correspondiente para respuestas negativas, si son las únicas dos categorías.
Dos grupos independientes de 100 personas presentan proporciones $0,50$ y $0,40$. Calcula un IC normal aproximado del 95 % para la diferencia usando error…
Dos grupos independientes de 100 personas presentan proporciones $0,50$ y $0,40$. Calcula un IC normal aproximado del 95 % para la diferencia usando error $\sqrt{\hat p_1(1-\hat p_1)/n_1+\hat p_2(1-\hat p_2)/n_2}$ y $z=1,96$.
El intervalo cuantifica solo el error aleatorio de muestreo bajo el modelo supuesto. No corrige sesgos de selección, no respuesta ni errores de medida. Una encuesta de $10\,000$ personas que excluye a quien no tiene acceso digital puede dar un IC muy estrecho… alrededor de un valor sesgado.
Si el muestreo no es aleatorio simple, el modelo cambia. En un muestreo por conglomerados, las personas del mismo conglomerado se parecen y la varianza real es mayor: se multiplica por el efecto de diseño $D$, de modo que $\mathrm{EE}=\sqrt{D\hat p(1-\hat p)/n}$.
Practica★☆☆Sin empezar
Un método devuelve un intervalo para una proporción con límite inferior negativo. ¿Puede interpretarse literalmente? Identifica una limitación del método normal de Wald.
Un método devuelve un intervalo para una proporción con límite inferior negativo. ¿Puede interpretarse literalmente? Identifica una limitación del método normal de Wald.
Una encuesta por conglomerados da $\hat p=0,50$, $n=400$ y efecto de diseño 2. Construye un IC normal aproximado del 95 % usando varianza $D\hat p(1-\hat p)/n$ y…
Una encuesta por conglomerados da $\hat p=0,50$, $n=400$ y efecto de diseño 2. Construye un IC normal aproximado del 95 % usando varianza $D\hat p(1-\hat p)/n$ y $z=1,96$.
Una encuesta comunica 30 % favorable con IC del 95 % de 27 % a 33 %, pero excluye a personas sin acceso digital. Explica qué incertidumbre recoge el intervalo y cuál…
Una encuesta comunica 30 % favorable con IC del 95 % de 27 % a 33 %, pero excluye a personas sin acceso digital. Explica qué incertidumbre recoge el intervalo y cuál puede faltar.
Vuelve al principio: con $8$ de $20$, Wilson da aproximadamente $[0{,}22;\ 0{,}61]$. Un rango amplio: con $n=20$ no se puede afirmar una proporción exacta, solo valores compatibles con los datos.
¡A practicar! 8 ejercicios de nivel medio en este apartado