Diagnóstico y límites del modelo
Has ajustado una recta que relaciona la dosis de un fármaco con la respuesta clínica, y el coeficiente de determinación es alto. ¿Significa eso que el modelo es fiable? Un ajuste puede ser bueno en promedio y, aun así, fallar siempre en los mismos pacientes, depender de un único sujeto o extrapolar sin sentido. El diagnóstico consiste en mirar lo que el modelo no explica: los residuos.
Residuos: qué son y qué esconde el promedio
Los residuos son lo que queda tras quitar la parte que el modelo explica. Si el modelo es adecuado, no deberían mostrar ningún patrón: al representarlos frente a la predicción $\hat{y}$ (o frente a $x$) deben parecer una nube sin estructura, centrada en cero.
Dos modelos con el mismo error medio pueden ser muy distintos: si uno sobreestima sistemáticamente a los jóvenes y subestima a los mayores, el promedio lo oculta y el gráfico de residuos frente a la edad lo revela.
Los residuos para predicciones $1;2;3;4;5$ son $2;0;-2;0;2$. Describe el patrón y explica qué supuesto de la forma del modelo pondrías en duda. La figura representa los…
Los residuos para predicciones $1;2;3;4;5$ son $2;0;-2;0;2$. Describe el patrón y explica qué supuesto de la forma del modelo pondrías en duda.
La figura representa los datos del ejercicio:
Dos modelos tienen igual error medio, pero uno presenta residuos positivos para jóvenes y negativos para mayores. ¿Qué revela ese patrón que el promedio oculta?
Dos modelos tienen igual error medio, pero uno presenta residuos positivos para jóvenes y negativos para mayores. ¿Qué revela ese patrón que el promedio oculta?
En un modelo lineal, la suma de residuos es cero. Un informe concluye que no existen errores de predicción. Refuta con los residuos $-3;0;3$.
En un modelo lineal, la suma de residuos es cero. Un informe concluye que no existen errores de predicción. Refuta con los residuos $-3;0;3$.
Supuestos del modelo y cómo se ven
| Supuesto | Qué buscas | Señal de fallo |
|---|---|---|
| Linealidad | Residuos vs. predicción | Curva, U, ola |
| Homocedasticidad | Dispersión vertical constante | Abanico (se abre o se cierra) |
| Independencia | Orden temporal o agrupación | Rachas de mismo signo, grupos |
| Normalidad | Gráfico cuantil–cuantil | Colas que se separan de la diagonal |
Una muestra grande no arregla la falta de independencia. Con rachas del mismo signo en días consecutivos (autocorrelación), cada dato aporta menos información nueva de la que el modelo supone, y los errores estándar quedan subestimados por más observaciones que se acumulen.
Un gráfico de residuos se abre en abanico a medida que aumenta la predicción. ¿Qué propiedad indica y qué parte de la inferencia clásica puede verse afectada?
Un gráfico de residuos se abre en abanico a medida que aumenta la predicción. ¿Qué propiedad indica y qué parte de la inferencia clásica puede verse afectada?
Los residuos de días consecutivos muestran largas rachas del mismo signo. ¿Qué supuesto revisarías y por qué no lo resuelve una muestra grande?
Los residuos de días consecutivos muestran largas rachas del mismo signo. ¿Qué supuesto revisarías y por qué no lo resuelve una muestra grande?
Una prueba de normalidad residual da $p=0,30$. ¿Demuestra que los residuos son normales e independientes?
Una prueba de normalidad residual da $p=0,30$. ¿Demuestra que los residuos son normales e independientes?
Palanca, atípicos e influencia
Hay tres ideas que conviene separar. Un atípico vertical es un punto con residuo grande. Un punto de alta palanca es uno con $x$ muy alejada de las demás: tiene potencial para arrastrar la recta. Un punto influyente es aquel cuya retirada cambia de forma apreciable los resultados, como la pendiente.
Un residuo pequeño no descarta una palanca alta: precisamente porque el punto arrastra la recta hacia sí, puede quedar bien ajustado y ser decisivo.
Un dato tiene x muy alejada de las demás, pero residuo pequeño. ¿Puede tener alta palanca aunque no sea un atípico vertical?
Un dato tiene x muy alejada de las demás, pero residuo pequeño. ¿Puede tener alta palanca aunque no sea un atípico vertical?
Al retirar un sujeto, la pendiente cambia de $0,2$ a $1,8$. ¿Qué concepto describe esa sensibilidad y qué debe revisarse antes de excluirlo?
Al retirar un sujeto, la pendiente cambia de $0,2$ a $1,8$. ¿Qué concepto describe esa sensibilidad y qué debe revisarse antes de excluirlo?
Para palanca en regresión simple, usa $h_i=1/n+(x_i-\bar x)^2/S_{xx}$. Con $n=10$, $\bar x=5$, $S_{xx}=50$, calcula h para $x_i=5$ y $x_i=10$.
Para palanca en regresión simple, usa $h_i=1/n+(x_i-\bar x)^2/S_{xx}$. Con $n=10$, $\bar x=5$, $S_{xx}=50$, calcula h para $x_i=5$ y $x_i=10$.
Residuos estandarizados y qué hacer ante un problema
El cociente simple $e_i/s$ ignora la palanca. Con $e_i=6$ y $s=2$ da $3$; el residuo ajustado por palanca será mayor en valor absoluto cuanto mayor sea $h_i$. Con $e_i=2$, $s=2$ y $h_i=0{,}75$: $e_i/s=1$, pero $r_i=\dfrac{2}{2\sqrt{0{,}25}}=2$. El mismo residuo "normal" resulta llamativo al considerar que el punto tenía mucha palanca.
Para un residuo de 6 y desviación residual 2, calcula el cociente simple $e/s$. ¿Es idéntico a un residuo studentizado que además ajusta la palanca?
Para un residuo de 6 y desviación residual 2, calcula el cociente simple $e/s$. ¿Es idéntico a un residuo studentizado que además ajusta la palanca?
Se transforman tiempos positivos mediante logaritmo porque su variabilidad crece con la media. Explica cómo cambia el objetivo interpretativo de una predicción al…
Se transforman tiempos positivos mediante logaritmo porque su variabilidad crece con la media. Explica cómo cambia el objetivo interpretativo de una predicción al invertir el logaritmo sin corrección.
Se da el residuo estandarizado $r_i=e_i/[s\sqrt{1-h_i}]$. Para $e_i=2$, $s=2$ y $h_i=0,75$, calcúlalo y compáralo con $e_i/s$.
Se da el residuo estandarizado $r_i=e_i/[s\sqrt{1-h_i}]$. Para $e_i=2$, $s=2$ y $h_i=0,75$, calcúlalo y compáralo con $e_i/s$.
Límites del modelo: extrapolar, validar e incertidumbre
Un modelo es válido en el rango de datos con el que se ajusta. Si lo ajustas con edades de 20 a 40 años y los residuos son buenos ahí, nada garantiza que a los 80 años la relación siga siendo lineal: eso es extrapolar, y el diagnóstico no puede comprobar lo que no hay en los datos.
Con pocos datos, además, el diagnóstico es frágil. Con $n=15$ y un gráfico cuantil–cuantil de colas más extremas que la normal, los intervalos y contrastes basados en la normalidad pueden ser poco fiables, sobre todo las predicciones individuales. Eso no invalida todo análisis de medias: con muestras mayores el teorema central del límite protege a muchas inferencias sobre coeficientes. Una revisión honesta compara resultados con y sin los puntos extremos, usa un método robusto o remuestreo y comunica la incertidumbre.
Un modelo ajustado a edades de 20 a 40 tiene residuos adecuados en ese rango. ¿Garantiza que la predicción a los 80 sea válida?
Un modelo ajustado a edades de 20 a 40 tiene residuos adecuados en ese rango. ¿Garantiza que la predicción a los 80 sea válida?
Un estudio observa 50 personas en dos centros y sugiere errores estándar robustos a heterocedasticidad. ¿Resuelve eso por sí solo la dependencia dentro de centro?
Un estudio observa 50 personas en dos centros y sugiere errores estándar robustos a heterocedasticidad. ¿Resuelve eso por sí solo la dependencia dentro de centro?
Un gráfico cuantil–cuantil residual tiene colas más extremas que la normal, con $n=15$. Explica qué inferencia puede ser frágil y una revisión honesta, sin afirmar que…
Un gráfico cuantil–cuantil residual tiene colas más extremas que la normal, con $n=15$. Explica qué inferencia puede ser frágil y una revisión honesta, sin afirmar que todo análisis de medias sea inválido.
Vuelve al principio: un $R^2$ alto no basta. El modelo de la dosis es fiable solo si los residuos no tienen patrón, ningún punto aislado domina la recta y las predicciones se mantienen en el rango observado.
Se evalúan veinte modelos y se elige el menor error usando el conjunto que después se llama «test independiente». Explica la fuga de información y una solución de diseño.
Se evalúan veinte modelos y se elige el menor error usando el conjunto que después se llama «test independiente». Explica la fuga de información y una solución de diseño.
En un modelo con intercepto, $n=20$, la suma residual de cuadrados es 72 y hay dos parámetros. Al borrar sin justificación los dos mayores residuos, baja a 20. ¿Por qué…
En un modelo con intercepto, $n=20$, la suma residual de cuadrados es 72 y hay dos parámetros. Al borrar sin justificación los dos mayores residuos, baja a 20. ¿Por qué esa mejora no valida el modelo original ni garantiza mejor generalización?
La pendiente es estable al quitar un extremo, pero los IC clásicos y los robustos difieren mucho con heterocedasticidad. Distingue estabilidad del efecto estimado de…
La pendiente es estable al quitar un extremo, pero los IC clásicos y los robustos difieren mucho con heterocedasticidad. Distingue estabilidad del efecto estimado de estabilidad de su incertidumbre.