Distribución normal y cuantiles
Dos personas hacen pruebas distintas: Ana saca 80 en una escala de media 60 y Bruno saca 115 en otra de media 100. Los números no son comparables a simple vista, y sin embargo la psicometría, la clínica y la biología comparan cada día mediciones de escalas diferentes. La herramienta es la distribución normal: una sola curva de referencia a la que se traduce cualquier medición. Al final del apartado sabrás decir quién tiene la posición más alta.
La curva normal y sus parámetros
La curva tiene forma de campana, es simétrica respecto a $\mu$ y el área total bajo ella vale 1. La media marca el centro; la desviación típica marca cuánto se ensancha. Prueba a moverlas.
Una puntuación sigue $N(100;225)$, donde el segundo parámetro es la varianza. Calcula la probabilidad de estar por debajo de 100 usando simetría. El siguiente esquema…
Una puntuación sigue $N(100;225)$, donde el segundo parámetro es la varianza. Calcula la probabilidad de estar por debajo de 100 usando simetría.
El siguiente esquema representa los datos del ejercicio.
En un modelo normal continuo de duración, ¿qué probabilidad tiene una duración exactamente igual a 20 minutos? Distingue valor exacto y registro redondeado.
En un modelo normal continuo de duración, ¿qué probabilidad tiene una duración exactamente igual a 20 minutos? Distingue valor exacto y registro redondeado.
Tipificación y tabla de la normal estándar
No existe una fórmula cerrada para el área bajo la curva, así que se tabula una sola normal, la estándar $Z\sim N(0;1)$, y todas las demás se reducen a ella.
¿Por qué funciona? Restar $\mu$ centra la variable en 0 y dividir entre $\sigma$ cambia la unidad de medida a «desviaciones típicas». La forma de la campana no cambia, solo su escala.
Una variable sigue $N(50;16)$, con segundo parámetro varianza. Calcula la puntuación tipificada de un valor 58.
Una variable sigue $N(50;16)$, con segundo parámetro varianza. Calcula la puntuación tipificada de un valor 58.
Para una normal estándar Z se da $\Phi(1)=0,8413$. Calcula $P(Z>1)$.
Para una normal estándar Z se da $\Phi(1)=0,8413$. Calcula $P(Z>1)$.
Una puntuación sigue $N(70;100)$, con varianza como segundo parámetro. Calcula $P(60<X<90)$ usando $\Phi(-1)=0,1587$ y $\Phi(2)=0,9772$.
Una puntuación sigue $N(70;100)$, con varianza como segundo parámetro. Calcula $P(60
Cuantiles y percentiles
Hasta ahora se partía del valor y se buscaba el área. Un cuantil hace el camino inverso: se fija el área y se busca el valor.
Un área central se convierte en cuantiles: el $80\,\%$ central deja $10\,\%$ en cada cola, así que sus límites son $z_{0,10}=-1{,}282$ y $z_{0,90}=1{,}282$. En general, un área central $1-\alpha$ usa $\pm z_{1-\alpha/2}$.
Una normal tiene media 30 y desviación típica 5. ¿Qué valor corresponde a $z=-2$?
Una normal tiene media 30 y desviación típica 5. ¿Qué valor corresponde a $z=-2$?
Se da $\Phi(1,96)=0,9750$. Calcula el área central entre $-1,96$ y $1,96$ en la normal estándar.
Se da $\Phi(1,96)=0,9750$. Calcula el área central entre $-1,96$ y $1,96$ en la normal estándar.
La duración de una tarea sigue $N(20;9)$, con segundo parámetro varianza. Halla su percentil 95 usando $z_{0,95}=1,645$.
La duración de una tarea sigue $N(20;9)$, con segundo parámetro varianza. Halla su percentil 95 usando $z_{0,95}=1,645$.
Comparar posiciones y transformar variables
Volvamos a Ana y Bruno. Para comparar escalas distintas se comparan sus puntuaciones típicas: la posición relativa es lo que importa, no el valor bruto.
Otras operaciones con normales también dan normales.
Una medición X sigue $N(10;4)$, con segundo parámetro varianza. Identifica la distribución de $Y=3X+2$ bajo la misma convención.
Una medición X sigue $N(10;4)$, con segundo parámetro varianza. Identifica la distribución de $Y=3X+2$ bajo la misma convención.
En dos escalas normales, Ana obtiene 80 en una de media 60 y desviación 10, y Bruno 115 en otra de media 100 y desviación 15. Compara sus posiciones relativas.
En dos escalas normales, Ana obtiene 80 en una de media 60 y desviación 10, y Bruno 115 en otra de media 100 y desviación 15. Compara sus posiciones relativas.
Dos mediciones normales conjuntas tienen medias 100 y 95, varianzas 16 y 9 y covarianza 6. Halla la distribución de su diferencia y $P(X>Y)$ usando $\Phi(1,387)=0,9173$.
Dos mediciones normales conjuntas tienen medias 100 y 95, varianzas 16 y 9 y covarianza 6. Halla la distribución de su diferencia y $P(X>Y)$ usando $\Phi(1,387)=0,9173$.
Usar el modelo con criterio
Un modelo normal es una aproximación, no una verdad. Antes de fiarse de él hay que ver si encaja con los datos y qué se calcula realmente.
Vuelve al principio: con puntuaciones típicas, Ana ($z=2$) supera a Bruno ($z=1$) en posición relativa, aunque sus notas brutas no sean comparables directamente.
Un tiempo no negativo se modela con $N(2;9)$, segundo parámetro varianza. Usa $\Phi(-0,667)=0,2524$ para valorar críticamente el modelo.
Un tiempo no negativo se modela con $N(2;9)$, segundo parámetro varianza. Usa $\Phi(-0,667)=0,2524$ para valorar críticamente el modelo.
Una medición normal de media 100 y desviación 10 se redondea al entero más próximo. Calcula la probabilidad de registrar 100 usando $\Phi(0,05)=0,51994$ y…
Una medición normal de media 100 y desviación 10 se redondea al entero más próximo. Calcula la probabilidad de registrar 100 usando $\Phi(0,05)=0,51994$ y $\Phi(-0,05)=0,48006$.
Se mezclan en proporciones iguales dos poblaciones normales de medias 40 y 60, ambas con varianza 9. Calcula la media conjunta y explica por qué no basta para considerar…
Se mezclan en proporciones iguales dos poblaciones normales de medias 40 y 60, ambas con varianza 9. Calcula la media conjunta y explica por qué no basta para considerar normal la mezcla.