Contrastes de una media o proporción
Un laboratorio afirma que el tiempo medio de respuesta de cierta tarea es de 300 ms. Tú mides a 30 personas y obtienes 310 ms. ¿Es una discrepancia real o basta el azar del muestreo para explicarla? Contrastar una media o una proporción consiste en responder a esa pregunta con un criterio fijado antes de mirar los datos, y sabiendo qué puede y qué no puede concluirse.
Plantear el contraste: hipótesis y parámetro
La alternativa se decide antes de recoger los datos, según la pregunta de investigación. Si el laboratorio sospecha que la latencia supera 300 ms, $H_1:\mu>300$; si solo quiere saber si «es distinta», $H_1:\mu\neq300$.
Un estudio ficticio obtiene puntuaciones de atención $46;48;50;52;54$ en cinco personas independientes. Se desea investigar si la media poblacional difiere de 50.…
Un estudio ficticio obtiene puntuaciones de atención $46;48;50;52;54$ en cinco personas independientes. Se desea investigar si la media poblacional difiere de 50. Escribe las hipótesis y explica qué parámetro se contrasta; no calcules el valor p.
La figura representa los datos del ejercicio:
Antes de recoger datos, un laboratorio plantea que la media de latencia supera 300 ms. Escribe la alternativa y señala si un resultado muy inferior a 300 apoya esa…
Antes de recoger datos, un laboratorio plantea que la media de latencia supera 300 ms. Escribe la alternativa y señala si un resultado muy inferior a 300 apoya esa alternativa.
Contraste de una media: t y z
Si $H_0$ fuera cierta, la media muestral debería caer cerca de $\mu_0$. Para medir «cerca» se divide la distancia $\bar x-\mu_0$ entre el error estándar: así se expresa en unidades de ruido muestral.
En una muestra aleatoria de 25 estudiantes, la media de sueño es $6,8$ horas y la desviación típica muestral $1$. No decidas aún si se rechaza la hipótesis. Para la…
En una muestra aleatoria de 25 estudiantes, la media de sueño es $6,8$ horas y la desviación típica muestral $1$. No decidas aún si se rechaza la hipótesis. Para la hipótesis de media 7 horas, calcula solo el estadístico $t=(\bar x-7)/(s/\sqrt n)$.
En 16 mediciones independientes de una población aproximadamente normal, $\bar x=52$, $s=4$. Para $H_0:\mu=50$, usa $t=(\bar x-50)/(s/\sqrt n)$ y crítico bilateral…
En 16 mediciones independientes de una población aproximadamente normal, $\bar x=52$, $s=4$. Para $H_0:\mu=50$, usa $t=(\bar x-50)/(s/\sqrt n)$ y crítico bilateral $2,131$ al 5 %. Resuelve.
En 64 participantes, una escala tiene media 31 frente a referencia 30. La desviación poblacional conocida es 4. Calcula $z$ y compara con los críticos bilaterales…
En 64 participantes, una escala tiene media 31 frente a referencia 30. La desviación poblacional conocida es 4. Calcula $z$ y compara con los críticos bilaterales $\pm1,96$. Explica cuándo sería inadecuado asumir conocida esa desviación.
Contraste de una proporción
De 100 participantes independientes, 60 completan una tarea. Para contrastar $H_0:p=0,5$, calcula el estadístico normal $z=(\hat p-p_0)/\sqrt{p_0(1-p_0)/n}$.
De 100 participantes independientes, 60 completan una tarea. Para contrastar $H_0:p=0,5$, calcula el estadístico normal $z=(\hat p-p_0)/\sqrt{p_0(1-p_0)/n}$.
Un muestreo independiente de 200 alumnos da 130 respuestas correctas. Bajo $H_0:p=0,6$, calcula el número esperado de aciertos y fallos y valora la aproximación normal…
Un muestreo independiente de 200 alumnos da 130 respuestas correctas. Bajo $H_0:p=0,6$, calcula el número esperado de aciertos y fallos y valora la aproximación normal usando como regla ambos esperados al menos 10.
En 10 ensayos independientes hay 9 éxitos. Se contrasta $H_0:p=0,5$ frente a $p>0,5$. Se da $P_{0,5}(X\ge9)=11/1024$. Calcula el valor p y decide al 5 %, sin…
En 10 ensayos independientes hay 9 éxitos. Se contrasta $H_0:p=0,5$ frente a $p>0,5$. Se da $P_{0,5}(X\ge9)=11/1024$. Calcula el valor p y decide al 5 %, sin aproximación normal.
Decidir e interpretar: valor p, nivel y el intervalo
Para una alternativa bilateral, la decisión es la misma con el intervalo de confianza del $(1-\alpha)\cdot100\,\%$ construido con el mismo método: se rechaza $H_0:\mu=\mu_0$ si y solo si $\mu_0$ queda fuera del intervalo.
Una prueba bilateral sobre tiempo de respuesta devuelve $p=0,032$. Con nivel $\alpha=0,05$, indica la decisión y explica por qué no demuestra que la diferencia sea…
Una prueba bilateral sobre tiempo de respuesta devuelve $p=0,032$. Con nivel $\alpha=0,05$, indica la decisión y explica por qué no demuestra que la diferencia sea importante.
Un contraste bilateral de media devuelve $p=0,41$. Un informe dice: «La media poblacional es exactamente 12». Corrige la frase con $\alpha=0,05$.
Un contraste bilateral de media devuelve $p=0,41$. Un informe dice: «La media poblacional es exactamente 12». Corrige la frase con $\alpha=0,05$.
Un estudio sobre estrés comunica diferencia media respecto a la referencia de $-2$ puntos, con IC bilateral del 95 % $[-3,5;-0,5]$. ¿Qué decisión corresponde al…
Un estudio sobre estrés comunica diferencia media respecto a la referencia de $-2$ puntos, con IC bilateral del 95 % $[-3,5;-0,5]$. ¿Qué decisión corresponde al contraste bilateral de diferencia cero al 5 %, usando el mismo método?
Supuestos, trampas y límites
Un contraste solo vale si se cumplen sus supuestos y se usa con honestidad. Las trampas más frecuentes:
-
Unidad de análisis. Si mides a 40 personas dos veces, tienes 40 unidades, no 80. Tratar las 80 filas como independientes infla $n$ y encoge el error estándar. Hay que promediar por persona (o usar un método para datos apareados).
-
Referencia con incertidumbre. Si la «norma» 50 viene de una muestra con error estándar 2 y tu media 53 tiene error estándar 1, contrastar contra 50 como si fuera exacto ignora esa variabilidad. Si son independientes, el error estándar de la diferencia es $\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5\approx2{,}24$.
-
Valores extremos y asimetría. Si el objetivo es la media aritmética y el valor extremo es real, no se borra ni se cambia sin más a una prueba de medianas (que responde a otra pregunta). Se revisa si el dato es plausible y se evalúa la sensibilidad (resultados con y sin él, declarándolo), o se recurre a remuestreo.
-
Unilateral por conveniencia. Cambiar a unilateral después de ver el signo es manipular el resultado. Con $t=1{,}9$ y $p$ bilateral $0{,}07$ la decisión válida al 5 % es no rechazar.
-
Contrastes múltiples. Con 20 contrastes independientes y nulas ciertas, $P(\text{al menos un falso positivo})=1-0{,}95^{20}\approx0{,}64$. Un único resultado «significativo» entre muchos pesa mucho menos.
-
Mismo efecto, distinta significación. Dos estudios con diferencia 1: con error estándar 1, $z=1$; con $0{,}1$, $z=10$. El segundo es más preciso, no tiene mayor efecto.
Se miden 40 personas, dos veces cada una, y se contrasta la media frente a una norma usando las 80 filas como independientes. Explica el problema y ofrece una unidad de…
Se miden 40 personas, dos veces cada una, y se contrasta la media frente a una norma usando las 80 filas como independientes. Explica el problema y ofrece una unidad de análisis adecuada.
Una referencia publicada de memoria es 50, pero procede de una muestra con error estándar 2. La nueva media es 53 y su error estándar 1. ¿Por qué un contraste de una…
Una referencia publicada de memoria es 50, pero procede de una muestra con error estándar 2. La nueva media es 53 y su error estándar 1. ¿Por qué un contraste de una media contra 50 fijo puede ser engañoso? Si ambas estimaciones son independientes, calcula el error estándar de la diferencia.
Para una proporción observada $\hat p=0,48$ en 400 personas, se contrasta $p_0=0,5$ bilateralmente. Calcula $z$ y usa $p=0,424$ proporcionado para decidir al 5 %.…
Para una proporción observada $\hat p=0,48$ en 400 personas, se contrasta $p_0=0,5$ bilateralmente. Calcula $z$ y usa $p=0,424$ proporcionado para decidir al 5 %. ¿Demuestra que la proporción pertenece a $[0,49;0,51]$?
Aplicaciones razonadas
Con las herramientas anteriores se pueden analizar situaciones de lectura crítica. Para cada una, identifica el parámetro, el estadístico, la decisión y su límite.
Una muestra normal independiente tiene $n=9$, media 104 y desviación 6. Se contrasta 100 bilateralmente. Calcula t y el IC del 95 % usando crítico $2,306$; interpreta…
Una muestra normal independiente tiene $n=9$, media 104 y desviación 6. Se contrasta 100 bilateralmente. Calcula t y el IC del 95 % usando crítico $2,306$; interpreta conjuntamente ambas salidas.
Una proporción se contrasta una vez por cada una de 20 variables independientes, todas bajo nulas verdaderas, con probabilidad de rechazo exactamente $\alpha=0,05$ bajo…
Una proporción se contrasta una vez por cada una de 20 variables independientes, todas bajo nulas verdaderas, con probabilidad de rechazo exactamente $\alpha=0,05$ bajo cada nula (supuesto didáctico de pruebas calibradas). Calcula la probabilidad de al menos un falso positivo usando $1-(1-\alpha)^{20}$. ¿Cómo cambia la lectura de un resultado aislado?
Un investigador había fijado un contraste bilateral. Obtiene $t=1,9$ y $p$ bilateral $0,07$, pero comunica $0,035$ como prueba unilateral porque el signo le conviene.…
Un investigador había fijado un contraste bilateral. Obtiene $t=1,9$ y $p$ bilateral $0,07$, pero comunica $0,035$ como prueba unilateral porque el signo le conviene. Identifica el error y da la decisión válida al 5 %.
Vuelve al principio: con $\bar x=310$ frente a 300 ms no basta la diferencia en bruto; hay que dividirla entre su error estándar, compararla con el valor crítico y acompañarla de un intervalo que muestre cuán grande puede ser la diferencia real.
Dos estudios contrastan la misma media normativa. Ambos estiman diferencia 1 punto; el A tiene error estándar 1 y el B $0,1$. Calcula sus estadísticos z y explica la…
Dos estudios contrastan la misma media normativa. Ambos estiman diferencia 1 punto; el A tiene error estándar 1 y el B $0,1$. Calcula sus estadísticos z y explica la diferencia de significación sin atribuir mayor efecto al B.
En 12 sujetos con latencias muy asimétricas aparece un valor extremo verificado como real. El objetivo sigue siendo la media aritmética poblacional. ¿Por qué no es…
En 12 sujetos con latencias muy asimétricas aparece un valor extremo verificado como real. El objetivo sigue siendo la media aritmética poblacional. ¿Por qué no es correcto borrar ese dato o sustituir automáticamente la prueba por otra de medianas? Propón dos pasos de revisión.
Se predefine equivalencia de una media con la referencia dentro de $\pm3$ puntos. El IC del 90 % de la diferencia es $[-1;2]$. Aplica la regla dada: declarar…
Se predefine equivalencia de una media con la referencia dentro de $\pm3$ puntos. El IC del 90 % de la diferencia es $[-1;2]$. Aplica la regla dada: declarar equivalencia al 5 % si ese IC queda estrictamente dentro de $(-3;3)$. ¿Contradice que un contraste de igualdad pueda no rechazar?