Ejercicios: Proporcionalidad directa

En matemáticas, decimos que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando, al multiplicar una por un número, la otra se multiplica por ese mismo número. Analice las siguientes situaciones cotidianas e indique cuáles son de proporcionalidad directa:

1. a) El número de seguidores de un streamer y la cantidad de likes que recibe en un video (suponiendo que todos sus seguidores le dan a "me gusta").
2. b) La edad de una persona y su altura en pulgadas.
3. c) El número de cajas de pizza que pide y el precio total que paga (si todas las pizzas cuestan lo mismo).
4. d) La velocidad de un carro y el tiempo que tarda en llegar a su destino.
5. e) Las libras de manzanas que compra y el dinero que cuestan.

En su videojuego favorito, puede comprar "Gemas" para conseguir nuevos aspectos para su personaje. Sabemos que las gemas siempre tienen el mismo precio unitario. Complete la siguiente tabla de proporcionalidad en su cuaderno para saber cuánto cuestan diferentes cantidades de gemas:

Un paquete de estampas de la liga de fútbol contiene $6$ estampas, y $3$ de estos paquetes cuestan $\$3,60$. Si queremos completar el álbum y decidimos comprar $8$ paquetes iguales, ¿cuánto dinero gastaremos en total? Utilice el método de reducción a la unidad (calcule primero cuánto cuesta un solo paquete).

Observe la siguiente imagen que representa dos balanzas en equilibrio. En la primera balanza, $3$ cubos azules pesan exactamente $450$ onzas. En la segunda balanza, queremos saber cuánto pesan $5$ cubos iguales a los anteriores. Calcule el valor de la incógnita $x$.

Para cocinar unos panqueques para $4$ personas, se necesitan exactamente $200$ onzas de harina. Si este fin de semana vienen sus primos a casa y son un total de $6$ personas, ¿qué cantidad de harina necesitará para que los panqueques salgan perfectos? Recuerde que las cantidades de la receta son directamente proporcionales al número de comensales.

Un skater recorre una pista a una velocidad constante. En la primera parte del circuito, ha recorrido $150$ pies en $30$ segundos. Si mantiene el mismo ritmo durante todo el trayecto:

1. a) ¿Qué distancia recorrerá en $1$ minuto ($60$ segundos)?
2. b) ¿Cuál es su constante de proporcionalidad (cuántos pies recorre por cada segundo)?

Halle el valor del término desconocido $x$ en las siguientes proporciones para que se cumpla la igualdad entre las razones:

1. a) $\frac{2}{5} = \frac{10}{x}$

1. b) $\frac{x}{12} = \frac{3}{4}$

1. c) $\frac{7}{x} = \frac{14}{6}$

En las gráficas de proporcionalidad directa, la relación entre las dos magnitudes siempre se representa mediante una línea recta que pasa por el punto $(0,0)$. Observe la siguiente gráfica que relaciona el número de bolígrafos comprados y su costo total. Si $4$ bolígrafos cuestan $\$6$, identifique el punto en la gráfica y calcule cuánto costarían $10$ bolígrafos.

En un mapa de las Montañas Rocosas, la escala indica que $2\text{ cm}$ en el papel representan $5\text{ km}$ en la realidad. Si para realizar una ruta de senderismo entre dos pueblos la distancia medida sobre el mapa es de $8,5\text{ cm}$, ¿cuántas millas recorrerán los excursionistas en la realidad?

Para celebrar el final del trimestre, un grupo de amigos quiere comprar "gemas" para su videojuego favorito. Han visto que un paquete de $1200$ gemas cuesta $\$14,40\text{ \$}$. Si un amigo tiene ahorrados exactamente $\$21\text{ \$}$, ¿cuántas gemas podrá comprar si la relación es directamente proporcional?

Copie y complete la siguiente tabla de valores directamente proporcionales que relaciona la cantidad de libras de pintura con la superficie que se puede cubrir. Calcule también la constante de proporcionalidad $k$ expresada en $m^2/kg$.

Un carro híbrido consume una media de $4,5\text{ litros}$ de combustible por cada $100\text{ km}$ recorridos. Si el tanque tiene una capacidad total de $54\text{ litros}$ y actualmente está lleno, ¿qué distancia máxima podrá recorrer el vehículo antes de quedarse sin combustible?

La siguiente gráfica muestra la relación entre el tiempo que está encendida una fuente de agua y los galones que arroja. Observe el punto marcado y determine cuántos galones arrojará la fuente si se mantiene abierta durante $15\text{ minutos}$.

Para cocinar una paella gigante para $12\text{ personas}$, el chef utiliza $1,5\text{ kg}$ de arroz y $3\text{ litros}$ de caldo. Si de repente se suman más personas y ahora son $18$ en total, calcule mediante el método de reducción a la unidad qué cantidad de arroz y de caldo necesitará ahora el chef.

Una llave que gotea pierde aproximadamente $1,2\text{ centilitros}$ de agua cada $10\text{ segundos}$. Si no la arreglamos, ¿cuántos galones de agua habrá desperdiciado al cabo de una hora completa? (Recuerde pasar primero el resultado a la unidad de medida solicitada).

Tres agricultores han trabajado en la recolección de una finca de naranjas de forma proporcional al tiempo que cada uno ha dedicado. Si han cobrado en total $\$1500\text{ \$}$ y los tiempos de trabajo han sido:

• Agricultor A: $12\text{ horas}$

• Agricultor B: $18\text{ horas}$

• Agricultor C: $20\text{ horas}$

¿Cuánto dinero le corresponde a cada uno de ellos?

En un taller de robótica, los alumnos están programando un dron para inspeccionar un parque natural. El dron consume batería de forma directamente proporcional a la distancia recorrida. Si para recorrer $2,5\ km$ el dron consume un $15\%$ de su batería total:

1. a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad si expresamos la relación como "porcentaje de batería por cada milla"?
2. b) Si el punto de retorno está a $7.200\ metros$ de la base, ¿tendrá suficiente batería para ir y volver si despega con la carga completa? Justifique su respuesta con cálculos.

Una marca de ropa sostenible utiliza fibras recicladas para fabricar sus camisetas. La relación entre el peso de las botellas de plástico recolectadas y el hilo obtenido es directamente proporcional. Se sabe que con $3,6\ kg$ de botellas se pueden fabricar exactamente $8$ camisetas de la talla L.

1. a) Si cada camiseta de la talla L necesita $225\ g$ de hilo, ¿cuántas onzas de hilo se obtienen por cada libra de botellas de plástico?
2. b) La alcaldía de una ciudad ha recolectado $1,2\ toneladas$ de botellas. ¿Cuántas camisetas se podrían fabricar en total?

Para teñir telas con tintes naturales, una artesana mezcla extracto de remolacha y agua. La cantidad de extracto es directamente proporcional al volumen de agua. En su cuaderno tiene anotado que para $1,5\ litros$ de agua necesita $120\ ml$ de extracto. Sin embargo, ella quiere preparar una tina con un volumen total de mezcla (agua + extracto) de $10,8\ litros$. ¿Qué cantidad exacta de agua y de extracto debe mezclar para mantener la proporción?

El siguiente gráfico muestra la relación entre el tiempo de carga de un nuevo modelo de smartphone y el porcentaje de batería recuperado. El fabricante afirma que la carga es directamente proporcional durante los primeros $40$ minutos.

1. a) Observando el punto destacado, calcule cuántos minutos tarda el celular en cargar un $1\%$ de batería.
2. b) Si el celular tiene actualmente un $12\%$ de batería y necesita salir de casa en $18$ minutos, ¿con qué porcentaje de batería saldrá?

En un mapa de alta montaña con escala $1:25.000$, la distancia entre dos refugios es de $14,4\ cm$. Un grupo de excursionistas sabe que su velocidad media de ascenso es constante y que tardan $45$ minutos en recorrer $1.500\ metros$ reales en ese terreno.

1. a) Calcule la distancia real entre los dos refugios en millas.
2. b) ¿A qué hora llegarán al segundo refugio si salen del primero a las $08:30$ de la mañana?

Un servidor de videojuegos distribuye datos a los jugadores de forma directamente proporcional al tiempo de conexión. Un jugador ha descargado $1,8\ GB$ en los últimos $12$ minutos.

1. a) Calcule la tasa de transferencia en $MB$ por minuto (Recuerde que $1\ GB = 1.024\ MB$).
2. b) Si la actualización total del juego pesa $15\ GB$, ¿cuántas horas y minutos tardará en completarse la descarga si la velocidad se mantiene constante?

Tres clases de 6.º grado han decidido organizar una campaña de recolección de alimentos. El número de libras recolectadas es directamente proporcional al número de alumnos de cada clase. La clase A tiene $24$ alumnos y ha recolectado $36\ kg$.

1. a) Complete la siguiente tabla razonando los cálculos:

1. b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que relaciona las libras por cada alumno? Exprésela como una fracción irreducible.

Una empresa de mensajería utiliza camionetas eléctricas. El costo del consumo eléctrico es directamente proporcional a las millas recorridas. El mes pasado, una camioneta recorrió $1.250\ km$ con un costo total de $\$37,50\ \$$ en electricidad.

1. a) Este mes el precio de la electricidad ha subido un $20\%$. ¿Cuál será la nueva constante de proporcionalidad (costo por milla)?
2. b) Con el nuevo precio, ¿cuánto costará recorrer una ruta de $420\ km$?