Ejercicios: Los números primos

En una convención de coleccionistas de cartas, se han numerado los expositores del $10$ al $25$. Los organizadores quieren destacar los puestos que tienen un número primo con un cartel naranja. Escriba la lista de todos los números de puesto que deberían llevar el cartel naranja.

Observe los siguientes números e identifique cuáles son compuestos razonando su respuesta (indicando al menos tres divisores para cada uno):

$15, 17, 21, 23, 27$

La Criba de Eratóstenes funciona como un filtro que deja pasar solo a los números primos. Si vertemos los números del $1$ al $10$ en el filtro, explique por qué el número $1$ no se considera primo y por qué el número $9$ se queda atrapado en el filtro de los números compuestos.

Complete este "árbol de factores" para realizar la descomposición en factores primos del número $12$. Recuerde que en las ramas finales solo pueden quedar números primos.

Un programador de videojuegos quiere crear un "monstruo final" cuyo nivel de fuerza sea el producto de los tres primeros números primos diferentes. ¿Qué nivel de fuerza tendrá el monstruo?

A los números primos se les llama a veces "los ladrillos de las matemáticas" porque con ellos se construyen todos los demás números.

1. a) Si multiplica $3 \cdot 3 \cdot 5$, ¿qué número compuesto obtiene?
2. b) ¿Es posible obtener el número $20$ multiplicando solo números primos? Demuéstrelo escribiendo su descomposición.

En clase de Educación Física, el profesor quiere organizar a los $13$ alumnos en filas y columnas perfectas para hacer un ejercicio (por ejemplo, $2$ filas de $6$ personas).

1. a) ¿Por qué no puede hacerlo con $13$ alumnos de ninguna forma que no sea una única fila de $13$?
2. b) ¿Qué tipo de número es el $13$ según sus divisores?

Se dice que dos números son primos entre sí (o coprimos) si su único divisor común es el $1$. Compruebe si los números $8$ y $9$ son primos entre sí siguiendo estos pasos:

1. Escriba todos los divisores de $8$.

2. Escriba todos los divisores de $9$.

3. Rodee los que tengan en común. ¿Son primos entre sí?

Clasifique los siguientes números en primos o compuestos razonando su respuesta mediante los criterios de divisibilidad. Para los números compuestos, indique al menos un divisor distinto de $1$ y de sí mismo:

$47, 51, 67, 87, 91, 101$

Realice la descomposición en factores primos (factorización) de los siguientes números utilizando el método de la barra vertical. Exprese el resultado final utilizando potencias cuando sea posible:

1. a) $180$
2. b) $252$
3. c) $450$

Observe la siguiente descomposición factorial de un número "misterioso" $N$:

$N = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5$

Sin necesidad de calcular el valor de $N$, responda de forma razonada:

1. a) ¿Es $N$ divisible por $10$?
2. b) ¿Es $N$ un múltiplo de $18$?
3. c) Escriba tres divisores de $N$ que no sean números primos.

En una clase de matemáticas, el profesor dice que para saber si un número menor que $100$ es primo, basta con comprobar que no es divisible por $2, 3, 5$ y $7$.

Razone por qué no hace falta comprobar si es divisible por $11$ o por otros números primos mayores. Aplique esta idea para comprobar si el número $97$ es primo.

Un almacén de logística quiere organizar $120$ cajas de refrescos y $144$ cajas de jugos en tarimas iguales, de forma que cada tarima tenga el mismo número de cajas de cada tipo y que este número sea el máximo posible.

1. a) ¿Cuántas cajas de cada tipo habrá en cada tarima?
2. b) ¿Cuántas tarimas se necesitarán en total?

Tres líneas de metro coinciden en la estación central a las $06:00$ de la mañana. La línea A pasa cada $12$ minutos, la línea B cada $15$ minutos y la línea C cada $20$ minutos.

¿A qué hora volverán a coincidir las tres líneas por primera vez? ¿Cuántas veces habrán coincidido en total antes de las $10:00$ de la mañana?

Halle todos los divisores de los siguientes números utilizando su descomposición factorial. Muestre el proceso de combinación de factores:

1. a) $28$
2. b) $42$

Isabella tiene una colección de monedas antiguas. Si las agrupa de $6$ en $6$, le sobran $3$. Si las agrupa de $10$ en $10$, también le sobran $3$.

Sabiendo que tiene más de $50$ monedas pero menos de $80$, ¿cuántas monedas tiene exactamente Isabella en su colección? (Pista: relacione el problema con el concepto de mínimo común múltiplo).

Un número natural $N$ tiene la siguiente particularidad: su descomposición en factores primos es de la forma $2^a \cdot 3^b$. Sabemos que si multiplicamos $N$ por $2$, el número de sus divisores aumenta en $3$, y si lo multiplicamos por $3$, el número de sus divisores aumenta en $4$.

Calcule el valor de los exponentes $a$ y $b$, y halle el número $N$.

Pista: Recuerde que si un número es $p^x \cdot q^y$, el número total de sus divisores es $(x + 1) \cdot (y + 1)$.

En una convención de jóvenes programadores, se quiere organizar a los asistentes en equipos idénticos. Hay $154$ niños y $132$ niñas. El objetivo es que cada equipo tenga el mismo número de niños y el mismo número de niñas, y que el número de equipos sea el máximo posible para fomentar la competitividad.

1. a) ¿Cuántos equipos se formarán y cuántas personas habrá en cada uno?
2. b) Si por motivos de seguridad, los equipos no pueden tener más de $20$ personas, ¿cuál es el siguiente número máximo de equipos que se podrían formar cumpliendo las condiciones de igualdad?

Para comprobar si el número $601$ es primo, un estudiante afirma que solo necesita dividirlo por los números primos menores que $25$.

1. a) Justifique por qué el estudiante ha elegido el número $25$ como límite.
2. b) Realice las divisiones necesarias siguiendo su razonamiento y determine si $601$ es primo o compuesto.
3. c) ¿Cuál es el número primo más grande que tendría que probar para saber si $1009$ es primo?

En el laboratorio de robótica, tres drones se han programado para emitir una señal luminosa en intervalos diferentes. El dron Alfa parpadea cada $45$ segundos, el dron Beta cada $60$ segundos y el dron Gamma cada $72$ segundos. Si los tres drones se encienden simultáneamente a las $10:00$ de la mañana:

1. a) ¿A qué hora exacta volverán a coincidir los tres parpadeos por primera vez?
2. b) ¿Cuántas veces habrán coincidido los tres drones antes de las $11:00$ de la mañana (sin contar el parpadeo inicial)?

Un número "perfecto" es aquel que es igual a la suma de todos sus divisores propios (todos sus divisores excepto él mismo). Por ejemplo, el $6$ es perfecto porque sus divisores son $1, 2, 3$ y $1 + 2 + 3 = 6$.

1. a) Compruebe si el número $28$ es un número perfecto.
2. b) El siguiente número perfecto es mayor que $400$ y menor que $500$. Sabiendo que es múltiplo de $16$ y de $31$, utilice la descomposición factorial para encontrarlo.

En ciberseguridad, se utilizan números primos muy grandes para crear claves. Supongamos que una clave de seguridad se genera multiplicando dos números primos distintos, $p$ y $q$. El resultado es $N = p \cdot q$.

Si sabemos que $N = 1591$ y que uno de los números primos es cercano a la raíz cuadrada de $N$:

1. a) Encuentre los valores de $p$ y $q$.
2. b) ¿Cuántos divisores totales tiene el número $N$? Justifique su respuesta sin enumerarlos.

Se dice que dos números son "primos gemelos" si ambos son primos y su diferencia es exactamente $2$ (como $3$ y $5$, o $11$ y $13$).

1. a) Encuentre todas las parejas de primos gemelos que hay entre $50$ y $100$.
2. b) ¿Es posible que existan tres números impares consecutivos que sean todos primos (trillizos primos)? Si la respuesta es sí, dé un ejemplo. Si es no, explique por qué razonando sobre la divisibilidad por $3$.

Disponemos de una cuerda de $210$ pulgadas y otra de $330$ pulgadas. Queremos cortarlas en pedazos de la misma longitud, de manera que sean lo más largos posible y no sobre nada.

1. a) ¿Qué longitud tendrá cada pedazo?
2. b) Una vez cortados, queremos guardar todos los pedazos en cajas. En cada caja solo puede haber pedazos de una sola cuerda (no se pueden mezclar). Si cada caja debe tener el mismo número de pedazos, ¿cuál es el número máximo de pedazos que podemos poner en cada caja para que no sobre ningún pedazo y usemos el menor número de cajas posible?