Ejercicios: Descomposición factorial

Clasifique los siguientes números en la tabla según sean primos (solo tienen dos divisores: el $1$ y ellos mismos) o compuestos (tienen más de dos divisores):

$11, 14, 19, 21, 23, 27, 31, 33$

Observe la siguiente "torre de división" (descomposición factorial) e identifique los números que faltan en los huecos vacíos para que sea correcta:

Descomponga en factores primos el número $40$ utilizando el método de la barra vertical y exprese el resultado como un producto de potencias.

Una cada número con su descomposición factorial correspondiente:

• $24$ • $\quad$ • $2 \cdot 3^2$

• $18$ • $\quad$ • $3^2 \cdot 5$

• $45$ • $\quad$ • $2^3 \cdot 3$

• $50$ • $\quad$ • $2 \cdot 5^2$

Averigüe de qué número se trata en cada caso resolviendo las potencias y multiplicando los factores:

1. a) $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = $
2. b) $2 \cdot 3^3 = $
3. c) $3^2 \cdot 11 = $

El número $12$ puede representarse de forma rectangular de varias maneras (por ejemplo, $2 \times 6$ o $3 \times 4$). Sin embargo, un número primo solo puede formar una fila.

Observe el dibujo y descomponga factorialmente el número de puntos totales que forman el rectángulo:

Sin realizar la multiplicación, observe la siguiente descomposición de un número secreto $n$:

$n = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$

Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas razonando su respuesta:

1. a) El número $n$ es múltiplo de $5$.
2. b) El número $n$ es divisible por $7$.
3. c) El número $3$ es un divisor de $n$.
4. d) El número $n$ es par.

Lucía quiere organizar sus $28$ videojuegos en cajas iguales. Para que la organización sea "matemáticamente perfecta", ha decidido que el número de videojuegos en cada caja debe ser un factor primo de $28$.

¿De cuántas formas puede organizar sus cajas y cuántos juegos irían en cada una? (Ayuda: empiece haciendo la descomposición factorial de $28$).

Para organizar un torneo de videojuegos, necesitamos descomponer el número de participantes en sus "bloques básicos" (factores primos). Realice la descomposición factorial utilizando el método de la raya vertical de los siguientes números:

1. a) $126$
2. b) $180$
3. c) $420$

Complete los huecos vacíos en este árbol de factores del número $120$. Recuerde que cada rama debe terminar en un número primo para que la descomposición sea completa. Escriba después el resultado final usando potencias.

Observe la descomposición de un número "misterioso" $N$:

$N = 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2$

Sin necesidad de calcular el valor de $N$, razone si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

1. a) $N$ es un número par.
2. b) $N$ es divisible por $9$.
3. c) $10$ es un divisor de $N$.
4. d) $N$ es múltiplo de $25$.

Un repostero ha fabricado $150$ bombones artesanales. Quiere guardarlos en cajas de forma que en cada caja haya el mismo número de bombones y que no sobre ninguno.

1. a) Haga la descomposición factorial de $150$.
2. b) Utilizando los factores del apartado anterior, escriba todas las formas posibles de empaquetar los bombones si cada caja debe tener entre $10$ y $30$ unidades.

Halle un número que cumpla las siguientes tres condiciones de forma simultánea:

1. Su descomposición factorial solo contiene los números primos $2$ y $3$.

2. Es mayor que $30$ pero menor que $50$.

3. Es múltiplo de $8$.

A veces, para descomponer números terminados en cero, podemos usar "atajos" mentales. Por ejemplo, sabemos que $10 = 2 \cdot 5$.

Factorice los siguientes números utilizando este truco para ahorrar tiempo en la raya vertical:

1. a) $1.200$
2. b) $4.500$
3. c) $18.000$

Se sabe que el número $A$ y el número $B$ tienen las siguientes descomposiciones factoriales:

$A = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$

$B = 2 \cdot 3^2 \cdot 11$

1. a) ¿Cuál es el valor decimal de cada número?
2. b) ¿Qué factores primos tienen en común?
3. c) ¿Sería el número $A \cdot B$ divisible por $77$? Razone la respuesta observando sus factores.

Encuentre todos los divisores del número $N$ sabiendo que su descomposición factorial es $N = 2^2 \cdot 13$. ¿Es $N$ un número compuesto o primo? Justifique su respuesta basándose en la definición de estos tipos de números.

Un número misterioso $n$ tiene la siguiente descomposición en factores primos: $n = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c$.

Sabemos que:

• Si dividimos $n$ entre $10$, el resultado sigue siendo divisible por $5$.

• Si dividimos $n$ entre $18$, el resultado ya no es divisible por $3$.

• El número $n$ es un múltiplo de $8$, pero si lo dividimos entre $2$, deja de ser múltiplo de $8$.

Calcule los valores de los exponentes $a$, $b$ y $c$ y halle el valor del número $n$.

En el laboratorio de matemáticas han dejado una descomposición factorial incompleta en la pizarra. Ayude a reconstruirla sabiendo que el número original es menor que $500$.

Calcule el valor del número original $X$, el cociente intermedio $Y$ y el factor primo $P$ sabiendo que $P$ es el número primo más pequeño posible que hace que $X$ sea múltiplo de $3$.

Una empresa de logística quiere fabricar cajas cúbicas lo más grandes posibles para transportar tres tipos de productos que vienen en contenedores rectangulares. Las dimensiones de los productos son:

• Producto A: $360$ pulgadas

• Producto B: $480$ pulgadas

• Producto C: $540$ pulgadas

Utilice la descomposición factorial para encontrar la medida del lado de la caja cúbica (que debe ser el Máximo Común Divisor) y exprese dicha medida como producto de sus factores primos. ¿Cuántas cajas de ese tamaño cabrán en total si sumamos las de los tres productos?

Tres "gamers" están jugando a un videojuego en línea. Sus personajes tienen habilidades especiales que se recargan en tiempos diferentes:

• El primer personaje lanza un ataque cada $2^3 \cdot 3$ segundos.

• El segundo personaje usa un escudo cada $2^2 \cdot 3^2$ segundos.

• El tercer personaje se cura cada $2 \cdot 3 \cdot 5$ segundos.

Si al empezar la partida a las 18:00:00 los tres han usado su habilidad a la vez, ¿cuántos segundos deben pasar para que vuelvan a coincidir? Exprese el tiempo de espera primero como descomposición factorial y luego en minutos y segundos.

Halle el número más pequeño que tiene exactamente $6$ divisores, sabiendo que en su descomposición factorial solo aparecen los dos primeros números primos. Explique su razonamiento analizando los exponentes de su descomposición.

El área de un jardín rectangular es de $252$ $m^2$. Si sabemos que las medidas de sus lados (en pies) son números naturales y que el lado más largo es múltiplo de $3$ y de $7$, pero no de $2$, utilice la descomposición factorial del número $252$ para encontrar todas las posibles dimensiones del jardín.

Dados los números $A = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 11$ y $B = 2^3 \cdot 3^4 \cdot 7$.

Sin calcular el valor numérico de $A$ ni de $B$, responda razonadamente:

1. a) ¿Es el producto $A \cdot B$ divisible por $55$?
2. b) ¿Es el producto $A \cdot B$ un múltiplo de $54$?
3. c) ¿Cuál es la descomposición factorial del número que resulta de hacer $M.C.D.(A, B)$?

Un número de cuatro cifras tiene la forma $3A2B$. Sabiendo que:

• Es divisible por $9$.

• Es divisible por $10$.

Calcule el valor de las cifras $A$ y $B$. Una vez hallado el número, realice su descomposición factorial completa y determine cuál es su divisor primo más grande.