Discusión de un sistema de dos ecuaciones
Dos drones filman el Carnaval de La Vega siguiendo trayectorias rectas que dependen de un parámetro $v$, relacionado con el viento. Según el valor de $v$, las trayectorias se cruzan en un solo punto o van paralelas (en otros sistemas, incluso podrían coincidir por completo). Discutir el sistema es responder eso para todos los valores de $v$ a la vez, sin resolverlo valor por valor.
Qué significa discutir un sistema
Cada ecuación lineal con dos incógnitas es una recta, así que el tipo de sistema es la posición de dos rectas:
Discute la posición relativa de las rectas $r: px + 3y = 1$ y $s: 2x + py = 0$ en función del parámetro $p$.
Discute la posición relativa de las rectas $r: px + 3y = 1$ y $s: 2x + py = 0$ en función del parámetro $p$.
El determinante del sistema
En vez de comparar fracciones (que fallan si algún denominador es cero), usamos el determinante de los coeficientes.
Si $\Delta=0$ y la proporción también alcanza a los términos independientes, el sistema es SCI. Si no, es SI. Una ecuación nunca da los dos resultados a la vez para un mismo valor del parámetro.
Juega con el parámetro $m$ de $\begin{cases} x-2y=3 \\ mx+4y=-6 \end{cases}$ y observa cuándo las rectas coinciden:
Discute, en función del parámetro $m$, el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $x - 2y = 3$ $mx + 4y = -6$
Discute, en función del parámetro $m$, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
$x - 2y = 3$
$mx + 4y = -6$
Determina el valor del parámetro $k$ para que el siguiente sistema sea incompatible: $3x + ky = 5$ $6x - 4y = 2$
Determina el valor del parámetro $k$ para que el siguiente sistema sea incompatible:
$3x + ky = 5$
$6x - 4y = 2$
Discute el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $t$: $tx + y = t$ $x + ty = 1$
Discute el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $t$:
$tx + y = t$
$x + ty = 1$
Valores especiales y casos
Cuando $\Delta$ es una expresión de segundo grado en el parámetro, se anula en dos valores (o en uno, o en ninguno). Cada valor se estudia por separado.
Encuentra los valores del parámetro $b$ para los cuales el siguiente sistema es compatible determinado: $x + by = 2$ $bx + y = 2$
Encuentra los valores del parámetro $b$ para los cuales el siguiente sistema es compatible determinado:
$x + by = 2$
$bx + y = 2$
Discute el sistema dependiente del parámetro $c$: $cx - 2y = 1$ $x - cy = 2$
Discute el sistema dependiente del parámetro $c$:
$cx - 2y = 1$
$x - cy = 2$
Discute el sistema en función del parámetro $m$: $x + y = m$ $m^2 x + y = m^2$
Discute el sistema en función del parámetro $m$:
$x + y = m$
$m^2 x + y = m^2$
Soluciones en los casos indeterminado e incompatible
Cuando el sistema es compatible indeterminado, las dos ecuaciones son la misma recta. Se despeja una incógnita en función de un parámetro libre $\lambda$.
Para saber si existe un valor que haga incompatible un sistema, estudia si en algún caso de $\Delta=0$ las ecuaciones se contradicen. Si $\Delta$ nunca se anula, el sistema es SCD siempre y la respuesta es «no». Un caso típico es un determinante del tipo $4+t^2$: es siempre positivo.
Halla el valor de $a$ para que el siguiente sistema tenga infinitas soluciones. Escribe la solución general en ese caso. $2x - y = a$ $-4x + 2y = 8$
Halla el valor de $a$ para que el siguiente sistema tenga infinitas soluciones. Escribe la solución general en ese caso.
$2x - y = a$
$-4x + 2y = 8$
Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $3x - 2y = 4$ $x + y = m$ ¿Existe algún valor del parámetro $m$ para el cual el sistema sea incompatible? Justifica tu…
Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
$3x - 2y = 4$
$x + y = m$
¿Existe algún valor del parámetro $m$ para el cual el sistema sea incompatible? Justifica tu respuesta matemáticamente.
Discute el siguiente sistema y, en los casos en que sea compatible indeterminado, expresa las infinitas soluciones en función de un parámetro $\lambda$:…
Discute el siguiente sistema y, en los casos en que sea compatible indeterminado, expresa las infinitas soluciones en función de un parámetro $\lambda$:
$mx + (m+1)y = m$
$mx + 2my = 2$
Coeficientes con expresiones
Los coeficientes pueden ser expresiones como $k+1$, $k-1$ o hasta fracciones y funciones trigonométricas. El método es el mismo: calcula $\Delta$ y simplifícalo antes de igualar a cero.
Discute, en función del parámetro $k$, el siguiente sistema de ecuaciones: $(k+1)x + y = 2$ $kx + (k-1)y = 1$
Discute, en función del parámetro $k$, el siguiente sistema de ecuaciones:
$(k+1)x + y = 2$
$kx + (k-1)y = 1$
Discute el siguiente sistema lineal en función del parámetro $k$ (considera que $k \neq 0$ y $k \neq 1$): $\frac{x}{k} + \frac{y}{k-1} = 1$ $kx + (k-1)y = 2$
Discute el siguiente sistema lineal en función del parámetro $k$ (considera que $k \neq 0$ y $k \neq 1$):
$\frac{x}{k} + \frac{y}{k-1} = 1$
$kx + (k-1)y = 2$
Discute el siguiente sistema lineal con parámetro $\alpha \in [0, 2\pi]$: $(\sin \alpha) x + (\cos \alpha) y = 1$ $(\cos \alpha) x - (\sin \alpha) y = 0$ ¿Existe algún…
Discute el siguiente sistema lineal con parámetro $\alpha \in [0, 2\pi]$:
$(\sin \alpha) x + (\cos \alpha) y = 1$
$(\cos \alpha) x - (\sin \alpha) y = 0$
¿Existe algún valor de $\alpha$ para el cual el sistema no sea compatible determinado? Justifica tu respuesta matemáticamente.
Discusión en problemas de contexto
El parámetro puede ser un impuesto, el viento o una concentración. La discusión es idéntica, pero la conclusión se escribe en el lenguaje de la situación.
Para los drones: $\Delta=v\cdot v-2\cdot2=v^2-4$, que se anula en $v=2$ y $v=-2$. Para $v\ne\pm2$ se cruzan en un punto. En $v=2$ queda $2x+2y=4$ y $2x+2y=2$ (paralelas); en $v=-2$ queda $-2x+2y=4$ y $2x-2y=-2$, que sumadas dan $0=2$ (también paralelas). En ningún caso coinciden. Vuelve al principio: los drones se cruzan en un punto si $v\ne\pm2$ y van paralelos si $v=\pm2$.
Dos drones de vigilancia siguen trayectorias rectilíneas descritas por el siguiente sistema, donde $v$ es un parámetro relacionado con la velocidad del viento:…
Dos drones de vigilancia siguen trayectorias rectilíneas descritas por el siguiente sistema, donde $v$ es un parámetro relacionado con la velocidad del viento:
$vx + 2y = 4$
$2x + vy = v$
Discute para qué valores de $v$ las trayectorias de los drones se cruzan en un único punto, son paralelas o coinciden exactamente.
En un estudio de mercado, las curvas de oferta y demanda de un producto tecnológico vienen dadas por un sistema lineal dependiente de un impuesto $t$: $2x - ty = 3$…
En un estudio de mercado, las curvas de oferta y demanda de un producto tecnológico vienen dadas por un sistema lineal dependiente de un impuesto $t$:
$2x - ty = 3$
$tx + 2y = 4$
Discute la compatibilidad del sistema según los valores de $t$. ¿Puede darse el caso de que no exista un punto de equilibrio (es decir, que el sistema sea incompatible) si $t$ es un número real?
En una planta química, se mezclan dos soluciones líquidas. Las ecuaciones que modelan el balance de masa del proceso dependen de la concentración $c$ de un reactivo…
En una planta química, se mezclan dos soluciones líquidas. Las ecuaciones que modelan el balance de masa del proceso dependen de la concentración $c$ de un reactivo específico:
$cx + 4y = c^2$
$x + cy = 2$
Discute la compatibilidad del sistema en función de la concentración $c$.
Dos parámetros
Si el sistema tiene dos parámetros, por ejemplo $a$ y $b$, se hace en dos fases: primero $\Delta$ (que a veces depende de uno solo) y después, en cada valor que lo anula, se estudia el segundo parámetro.
Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función de los parámetros $a$ y $b$: $ax + y = b$ $x + ay = 2$
Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función de los parámetros $a$ y $b$:
$ax + y = b$
$x + ay = 2$
En un circuito eléctrico, las intensidades $I_1$ e $I_2$ cumplen el siguiente sistema dependiente de una resistencia variable $R$: $R I_1 + (R+1) I_2 = 2R$…
En un circuito eléctrico, las intensidades $I_1$ e $I_2$ cumplen el siguiente sistema dependiente de una resistencia variable $R$:
$R I_1 + (R+1) I_2 = 2R$
$(R-1) I_1 + R I_2 = R^2$
Discute la existencia y unicidad de las intensidades en función del valor de la resistencia $R$.
Discute el sistema en función de los parámetros $m$ y $n$: $mx + ny = 1$ $nx + my = 1$ Determina las condiciones exactas sobre $m$ y $n$ para que el sistema sea…
Discute el sistema en función de los parámetros $m$ y $n$:
$mx + ny = 1$
$nx + my = 1$
Determina las condiciones exactas sobre $m$ y $n$ para que el sistema sea incompatible.
Condiciones sobre la solución y rectas
A veces te piden más que clasificar: por ejemplo, que el punto de corte esté sobre un eje. Si el punto está en el eje de ordenadas, sustituye $x=0$ en ambas ecuaciones y exige que den el mismo $y$.
Para la posición relativa de dos rectas usa lo mismo que ya sabes: $\Delta\ne0$ secantes, $\Delta=0$ y ecuaciones proporcionales coincidentes, $\Delta=0$ y no proporcionales paralelas.
Determina para qué valores del parámetro $a$ el siguiente sistema tiene una solución única $(x, y)$ tal que el punto de intersección de ambas rectas se encuentre…
Determina para qué valores del parámetro $a$ el siguiente sistema tiene una solución única $(x, y)$ tal que el punto de intersección de ambas rectas se encuentre exactamente sobre el eje de ordenadas ($x=0$):
$ax + 3y = 6$
$2x - ay = a$
Dos cables de alta tensión se modelan en un plano mediante las rectas $r: 2x + (k-2)y = k$ y $s: (k-2)x + 2y = 2$. Discute la posición relativa de los cables en función…
Dos cables de alta tensión se modelan en un plano mediante las rectas $r: 2x + (k-2)y = k$ y $s: (k-2)x + 2y = 2$. Discute la posición relativa de los cables en función del parámetro $k$ para evitar posibles cortocircuitos.
Recta y curva con parámetro
Cuando una ecuación es de segundo grado, el número de soluciones lo da el discriminante de la ecuación que sale al sustituir. Con $\Delta_c=b^2-4ac$: positivo, dos puntos; cero, uno (recta tangente); negativo, ninguno.
La trayectoria de un proyectil sigue una parábola descrita por la ecuación $y = -x^2 + 4x$, mientras que un haz láser de defensa sigue la recta $y = mx$. Discute el…
La trayectoria de un proyectil sigue una parábola descrita por la ecuación $y = -x^2 + 4x$, mientras que un haz láser de defensa sigue la recta $y = mx$. Discute el número de puntos de intersección entre el proyectil y el láser en función del parámetro $m$ (que representa la pendiente del láser).
Discute la compatibilidad del siguiente sistema no lineal en función del parámetro $k$: $x^2 - y^2 = k$ $x + y = 2$
Discute la compatibilidad del siguiente sistema no lineal en función del parámetro $k$:
$x^2 - y^2 = k$
$x + y = 2$
Un satélite orbita siguiendo una trayectoria circular modelada en el plano por la ecuación $x^2 + y^2 = 4$. Un cometa se desplaza en línea recta según la ecuación…
Un satélite orbita siguiendo una trayectoria circular modelada en el plano por la ecuación $x^2 + y^2 = 4$. Un cometa se desplaza en línea recta según la ecuación $x + y = c$, donde $c$ es un parámetro que depende de su posición inicial. Discute el número de puntos de colisión entre el satélite y el cometa en función de $c$.