Ecuaciones · Inecuaciones y sistemas de inecuaciones
Inecuaciones racionales
Un colmado quiere saber cuántas unidades de un producto debe preparar para que el costo promedio por unidad baje de cierto valor. El costo promedio es una fracción donde la incógnita está en el denominador. La tentación es «quitar» el denominador multiplicando en cruz, pero eso es peligroso: no sabes si lo que multiplicas es positivo o negativo. El método correcto es estudiar el signo del numerador y del denominador por separado, con una tabla de signos.
Por qué no se multiplica en cruz
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Resuelve la siguiente inecuación racional expresando su solución en forma de intervalo: $\frac{x-4}{x+3} > 0$
Resuelve la siguiente inecuación racional expresando su solución en forma de intervalo:
Cuando el numerador o el denominador son de grado mayor, primero se factorizan (diferencia de cuadrados, trinomios, división sintética) y se buscan todas las raíces. Cada factor aporta un punto crítico.
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Encuentra el conjunto de soluciones de la inecuación: $\frac{2x+6}{x-1} \le 0$
Encuentra el conjunto de soluciones de la inecuación:
Si la inecuación es $\frac{P(x)}{Q(x)}\gtrless k$ (con $k\neq0$) o tiene fracciones en los dos lados, el primer paso es pasarlo todo a un solo miembro y reducir a una sola fracción. Nunca se multiplica en cruz.
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Encuentra el conjunto solución de la inecuación: $\frac{x+3}{x-2} \ge 2$
Una raíz cuadrada solo existe si lo de adentro es $\geq 0$. Si lo de adentro es una fracción, el dominio sale de una inecuación racional.
Para un sistema de inecuaciones racionales se resuelve cada una por separado y se intersecan las soluciones: solo valen los $x$ que cumplen todas a la vez.
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Determina el dominio de definición de la función de variable real $f(x) = \sqrt{\frac{x^2-x-2}{x^2+4x+3}}$.
Determina el dominio de definición de la función de variable real $f(x) = \sqrt{\frac{x^2-x-2}{x^2+4x+3}}$.
A veces la pregunta es otra: ¿para qué valores de un parámetro $k$ la inecuación se cumple para todo número real $x$? Aquí no se resuelve para $x$: se analiza el signo de cada polinomio.
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Determina para qué valores del parámetro real $k$ la siguiente inecuación se cumple para todo $x \in \mathbb{R}$: $\frac{x^2-kx+9}{x^2+1} > 0$
Determina para qué valores del parámetro real $k$ la siguiente inecuación se cumple para todo $x \in \mathbb{R}$:
Las funciones racionales modelan costo promedio por unidad, tiempo en función de la velocidad o concentración de un medicamento. Se traduce el enunciado a una inecuación racional y se resuelve con el método del signo, recordando que la variable del contexto suele ser positiva.
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El costo medio diario (en pesos) de producir $x$ componentes electrónicos en una fábrica viene dado por la expresión $C(x) = \frac{48\,000+900x}{x}$. Determina para qué…
El costo medio diario (en pesos) de producir $x$ componentes electrónicos en una fábrica viene dado por la expresión $C(x) = \frac{48\,000+900x}{x}$. Determina para qué niveles de producción el costo medio será estrictamente inferior a $1\,500$ pesos por componente.
El tiempo $T$ (en horas) que tarda una embarcación en recorrer una distancia de $120$ km a favor de la corriente se modeliza mediante $T(v) = \frac{120}{v+4}$, donde $v$…
El tiempo $T$ (en horas) que tarda una embarcación en recorrer una distancia de $120$ km a favor de la corriente se modeliza mediante $T(v) = \frac{120}{v+4}$, donde $v$ es la velocidad propia del barco en km/h. ¿Para qué velocidades $v > 0$ el trayecto se realizará en menos de $5$ horas?
La concentración de un fármaco en el torrente sanguíneo, medida en mg/L, $t$ horas después de su administración viene dada por la función $C(t) = \frac{4t}{t^2+4}$.…
La concentración de un fármaco en el torrente sanguíneo, medida en mg/L, $t$ horas después de su administración viene dada por la función $C(t) = \frac{4t}{t^2+4}$. ¿Durante qué intervalo de tiempo $t \ge 0$ la concentración del fármaco es mayor o igual a $1$ mg/L?