Volúmenes de revolución

La región bajo la curva $y = \sqrt{x}$ entre $x = 0$ y $x = 4$ gira alrededor del eje $OX$, como se muestra en la figura.

Plantea la integral $V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx$ correspondiente y calcula el volumen del sólido de revolución generado, expresando el resultado en función de $\pi$.

La función constante $f(x) = 2$ entre $x = 0$ y $x = 5$ gira alrededor del eje $OX$.

1. a) Calcula el volumen del sólido generado mediante la integral $V = \pi \int_{0}^{5} [f(x)]^2 \, dx$.
2. b) ¿Qué cuerpo geométrico se ha generado? Comprueba el resultado con la fórmula del volumen de ese cuerpo.

La semicircunferencia $y = \sqrt{9 - x^2}$ gira alrededor del eje $OX$.

1. a) ¿Qué cuerpo geométrico se genera y entre qué límites hay que integrar?
2. b) Calcula su volumen con la integral correspondiente.
3. c) Comprueba el resultado con la fórmula $V = \frac{4}{3} \pi r^3$.

El segmento de la recta $y = x$ comprendido entre $x = 0$ y $x = 3$ gira alrededor del eje $OX$ generando un cono.

1. a) Calcula su volumen mediante la integral $V = \pi \int_{0}^{3} x^2 \, dx$.
2. b) Identifica el radio y la altura del cono y comprueba el resultado con la fórmula $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$.

Marcos ha calculado así el volumen del sólido que genera la región bajo la curva $y = x^2 + 1$ entre $x = -1$ y $x = 1$ al girar en torno al eje $OX$:

«$V = \pi \int_{-1}^{1} (x^2 + 1) \, dx = \pi \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_{-1}^{1} = \pi \left( \frac{1}{3} + 1 + \frac{1}{3} + 1 \right) = \frac{8\pi}{3}\ \text{u}^3$»

1. a) Localiza el error en su planteamiento y explica en qué consiste.
2. b) Calcula el volumen correctamente.

La región encerrada entre la parábola $y = x^2$ y la recta $y = x$, sombreada en la figura, gira alrededor del eje $OX$ generando un sólido hueco.

1. a) Halla los puntos de corte de ambas curvas.
2. b) Plantea el volumen como una diferencia de dos integrales (método de la arandela) y calcúlalo.

El perfil de una copa de cerámica se modela con la curva $y = \sqrt{x}$, con $x$ e $y$ medidos en centímetros, que gira en torno al eje $OX$ entre $x = 0$ y $x = 9$.

1. a) Calcula el volumen interior de la copa en $\text{cm}^3$, redondeando a las unidades.
2. b) Sabiendo que $1\ \text{cm}^3 = 1\ \text{ml}$, ¿cuál es la capacidad de la copa en mililitros? ¿Te parece una capacidad razonable para una copa? Comenta el resultado.

Un embudo cónico de laboratorio se obtiene al hacer girar la recta $y = 2x$, con $0 \le x \le 2$, en torno al eje $OY$, como se muestra en la figura (medidas en decímetros).

1. a) Expresa $x$ en función de $y$ y plantea la integral $V = \pi \int_{c}^{d} [g(y)]^2 \, dy$ que da el volumen, indicando los límites de integración.
2. b) Calcula el volumen del embudo.
3. c) Comprueba el resultado aplicando la fórmula del volumen del cono, $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$, identificando el radio y la altura del embudo.

La tobera de un motor de aeromodelismo es una pieza cuya pared exterior sigue el perfil de la hipérbola $y = \frac{2}{x}$ entre $x = 1$ y $x = 4$ (medidas en centímetros), al girar en torno al eje $OX$.

1. a) Calcula el volumen de material necesario para fabricar la pieza, suponiendo que es maciza entre el eje y el perfil.
2. b) Si el material tiene una densidad de $2.5\ \text{g/cm}^3$, ¿cuál es la masa de la pieza? Redondea a las décimas de gramo.

Considera la región del plano limitada por la parábola $y = x^2$, el eje $OX$ y la recta $x = 2$.

1. a) Calcula el volumen del sólido que genera al girar en torno al eje $OX$.
2. b) Calcula el volumen del sólido que genera al girar en torno al eje $OY$. (Sugerencia: resta al cilindro de radio $2$ y altura $4$ el sólido que genera la región comprendida entre la curva y el eje $OY$.)
3. c) Aunque la región que gira es la misma, los dos volúmenes no coinciden. Explica razonadamente por qué.

Un balón de rugby tiene forma de elipsoide de revolución: su sección transversal es la elipse $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, que gira en torno al eje $OX$, como se muestra en la figura.

1. a) Despeja $y^2$ de la ecuación de la elipse y plantea la integral que da el volumen del elipsoide.
2. b) Demuestra que el volumen de un elipsoide de revolución es $V = \frac{4}{3} \pi a b^2$.
3. c) Un balón reglamentario tiene una longitud de $30\ \text{cm}$ ($a = 15\ \text{cm}$) y un diámetro máximo de $18\ \text{cm}$ ($b = 9\ \text{cm}$). Calcula su volumen y exprésalo en litros, redondeando a las décimas.

La región infinita limitada por la hipérbola $y = \frac{1}{x}$, el eje $OX$ y la recta $x = 1$ gira alrededor del eje $OX$, generando un sólido infinito conocido como trompeta de Torricelli, como se muestra en la figura.

1. a) Calcula el volumen $V(b)$ del tramo de trompeta comprendido entre $x = 1$ y $x = b$.
2. b) Halla $\lim_{b \to +\infty} V(b)$ e interpreta el resultado: ¿es finito el volumen de la trompeta completa?
3. c) Calcula el área de la región que ha girado, es decir, $\lim_{b \to +\infty} \int_{1}^{b} \frac{1}{x} dx$. Compara con el apartado anterior y comenta la paradoja del pintor: se puede llenar la trompeta de pintura, pero no se puede pintar su superficie.