Sistemas de tres ecuaciones y tres incógnitas

Comprueba si la terna $x = 1$, $y = -1$, $z = 2$ es solución del siguiente sistema. Justifica tu respuesta.

$3x + y - z = 0$

$x - 2y + z = 5$

$2x + y + z = 3$

Escribe un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas cuya única solución sea la terna $x = 2$, $y = 0$, $z = -1$.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales, que ya se encuentra escalonado, utilizando el método de sustitución hacia atrás:

$x + 2y - z = 4$

$3y + z = 5$

$2z = 4$

Resuelve el siguiente sistema donde en cada ecuación falta una incógnita:

$x + y = 5$

$y + z = 7$

$x + z = 6$

Aplica el método de Gauss para triangular y resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

$x - y + z = 2$

$2x + y - z = 1$

$x + 2y + z = 7$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales que contiene coeficientes fraccionarios. Simplifica las ecuaciones antes de aplicar el método de Gauss:

$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} - z = 1$

$x - \frac{y}{2} + \frac{z}{4} = 2$

$\frac{x}{3} + y - \frac{z}{2} = 3$

Triangula el siguiente sistema mediante el método de Gauss e indica si es un Sistema Incompatible (SIN):

$x + y + z = 1$

$2x + y - z = 0$

$3x + 2y = 5$

Aplica el método de Gauss al siguiente sistema y comprueba que se trata de un Sistema Compatible Indeterminado (SCI) al obtener una ecuación del tipo $0 = 0$:

$x - y + 2z = 3$

$-2x + 2y - 4z = -6$

$3x - 3y + 6z = 9$

Resuelve el siguiente sistema compatible indeterminado y expresa sus infinitas soluciones en función de un parámetro $\lambda$:

$x + 2y - z = 4$

$2x - y + 3z = 3$

$3x + y + 2z = 7$

Encuentra los valores del parámetro $k$ para los que el siguiente sistema es incompatible:

$x + y - z = 2$

$2x - y + z = 1$

$3x + y - z = k$

Halla los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el siguiente sistema de ecuaciones sea Compatible Indeterminado:

$x - y + 2z = 1$

$2x + ay - z = 3$

$3x + y + bz = 4$

Discute el siguiente sistema de ecuaciones en función de los valores del parámetro $m$. Indica para qué valores de $m$ el sistema es Compatible Determinado, Compatible Indeterminado o Incompatible.

$x + y + z = 1$

$x + my + z = m$

$x + y + m^{2}z = m^{2}$

La suma de tres números es $12$. El primero más el segundo suman $7$. El segundo más el tercero suman $9$. Plantea un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y determina el valor de dichos números.

En una cafetería se venden tres tipos de sándwiches: de jamón, de queso y de tortilla. Un grupo de amigos pide $3$ de jamón, $2$ de queso y $1$ de tortilla, pagando $840$ pesos. Otro grupo pide $2$ de jamón, $1$ de queso y $3$ de tortilla, pagando $780$ pesos. Un tercer grupo pide $1$ de jamón, $3$ de queso y $2$ de tortilla, pagando $900$ pesos. Plantea y resuelve un sistema para calcular el precio de cada tipo de sándwich.

Tres máquinas A, B y C fabrican piezas en una industria. Trabajando juntas, la máquina A y la B fabrican $50$ piezas por hora. La máquina B y la C fabrican juntas $70$ piezas por hora. Finalmente, la máquina A y la C fabrican juntas $60$ piezas por hora. Calcula cuántas piezas por hora fabrica cada máquina individualmente.

La edad de un abuelo, su hijo y su nieto suman $120$ años. El abuelo tiene exactamente el doble de años que el hijo. Además, el hijo es $30$ años mayor que el nieto. Determina la edad de cada uno de ellos planteando un sistema de tres ecuaciones.

En un partido de baloncesto, un jugador anotó un total de $15$ canastas, consiguiendo $31$ puntos. Sabiendo que el número de canastas de dos puntos es el triple que el de canastas de tres puntos, y que también anotó tiros libres (que valen un punto), plantea un sistema de ecuaciones para averiguar cuántas canastas de cada tipo encestó.

En un triángulo, la suma de sus tres ángulos interiores $A$, $B$ y $C$ es $180^{\circ}$. El ángulo $A$ es igual a la suma de los ángulos $B$ y $C$. Además, el ángulo $B$ es el doble del ángulo $C$. Plantea un sistema de tres ecuaciones y determina la medida de los tres ángulos.

La suma de las tres cifras de un número es $15$. Si se invierte el orden de las cifras, el número resultante es $198$ unidades mayor que el número original. Además, la cifra de las decenas es la media aritmética de las cifras de las centenas y de las unidades. Encuentra el número original. (Nota: Un número de tres cifras $c$, $d$, $u$ tiene un valor de $100c + 10d + u$).

Se dispone de tres aleaciones de plata, cobre y zinc. La primera contiene un $10\%$ de plata, un $70\%$ de cobre y un $20\%$ de zinc. La segunda contiene un $30\%$ de plata, un $40\%$ de cobre y un $30\%$ de zinc. La tercera contiene un $20\%$ de plata, un $50\%$ de cobre y un $30\%$ de zinc. Queremos obtener $100$ kg de una nueva aleación que contenga exactamente un $22\%$ de plata y un $52\%$ de cobre. Plantea el sistema de ecuaciones para calcular cuántos kilogramos de cada aleación debemos mezclar y resuélvelo.

Una empresa de transportes adquiere tres tipos de vehículos: furgonetas, camiones ligeros y camiones pesados. Se sabe que el número total de vehículos adquiridos es $30$. El costo de cada furgoneta es de $1\,200\,000$ pesos, el de cada camión ligero $1\,800\,000$ pesos y el de cada camión pesado $3\,000\,000$ pesos. Si la inversión total ha sido de $51\,000\,000$ pesos, plantea el sistema y demuestra que es un Sistema Compatible Indeterminado. Luego, encuentra todas las soluciones enteras posibles sabiendo que la empresa ha comprado al menos un vehículo de cada tipo.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineal realizando un cambio de variable adecuado (por ejemplo, $u = \frac{1}{x}$, $v = \frac{1}{y}$, $w = \frac{1}{z}$):

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5$

$\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 7$

$\frac{1}{x} + \frac{1}{z} = 6$

Demuestra algebraicamente que si un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas admite dos soluciones distintas, por ejemplo $S_{1} = (1, 0, 0)$ y $S_{2} = (0, 1, 0)$, entonces admite infinitas soluciones. Para ello, comprueba que cualquier combinación lineal de la forma $S = \lambda S_{1} + (1-\lambda)S_{2}$ también es solución del sistema.