Forma polar y trigonométrica de un número complejo
Un dron despega del Monumento de Santiago y se mueve 100 m en una dirección. Si ahora quieres que gire exactamente 90° alrededor del punto de partida, calcular las nuevas coordenadas $(x, y)$ con senos y cosenos es un trabajo pesado. Con los números complejos en forma polar, girar un punto es solo una multiplicación. Para llegar ahí necesitas describir cada número complejo con su distancia al origen y su ángulo.
Módulo y argumento: las coordenadas polares de $z$
Ya sabes ubicar el punto de $z=a+bi$ en el plano complejo con el par $(a, b)$. Otra manera de ubicarlo es decir a qué distancia del origen está y qué ángulo forma con el eje real.
Expresa el número complejo $z = 3 + 3\sqrt{3}i$ en forma polar y en forma trigonométrica.
Expresa el número complejo $z = 3 + 3\sqrt{3}i$ en forma polar y en forma trigonométrica.
Observa la representación en el plano complejo del vector que define a $z$. Determina su módulo y su argumento, y escribe su expresión en forma polar y trigonométrica.
Observa la representación en el plano complejo del vector que define a $z$. Determina su módulo y su argumento, y escribe su expresión en forma polar y trigonométrica.
De polar a binómica: forma trigonométrica
Si ya tienes $r$ y $\alpha$, recuperar $a$ y $b$ es trigonometría del triángulo rectángulo: el cateto contiguo es $a=r\cos\alpha$ y el opuesto es $b=r\,\mathrm{sen}\,\alpha$.
Mueve el punto y observa cómo cambian sus coordenadas.
Dado el número complejo en forma polar $z = 4_{120^\circ}$, determina su expresión en forma binómica.
Dado el número complejo en forma polar $z = 4_{120^\circ}$, determina su expresión en forma binómica.
Un brazo robótico articulado consta de dos segmentos. El primer segmento se representa en el plano complejo por el vector $z_1 = 5_{60^\circ}$. El segundo segmento,…
Un brazo robótico articulado consta de dos segmentos. El primer segmento se representa en el plano complejo por el vector $z_1 = 5_{60^\circ}$. El segundo segmento, $z_2$, tiene una longitud de $3$ unidades y está rotado $45^\circ$ en sentido antihorario respecto a la dirección de $z_1$. Calcula la posición final del extremo del brazo robótico (es decir, $z_1 + z_2$) en forma binómica, redondeando a dos decimales.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Conjugado, opuesto e igualdad en polar
En binómica, el conjugado cambia el signo de $b$ y el opuesto cambia los dos signos. En polar se ve en el ángulo: conjugar refleja el punto respecto al eje real y el opuesto lo gira media vuelta.
Cuándo dos formas polares son el mismo número
El módulo fija la circunferencia y el argumento fija la semirrecta. Sumar o restar vueltas completas de $360^\circ$ no mueve el punto. Por eso el argumento se suele dar entre $0^\circ$ y $360^\circ$: $4_{-240^\circ}=4_{120^\circ}$ y $5_{30^\circ}=5_{390^\circ}$.
Halla el conjugado y el opuesto del número complejo $z = 6_{45^\circ}$. Expresa ambos resultados en forma polar con argumentos positivos comprendidos entre $0^\circ$ y…
Halla el conjugado y el opuesto del número complejo $z = 6_{45^\circ}$. Expresa ambos resultados en forma polar con argumentos positivos comprendidos entre $0^\circ$ y $360^\circ$.
Producto, cociente e inverso en polar
Aquí está la gran ventaja de la forma polar. Multiplica dos números en forma trigonométrica y usa las fórmulas del seno y el coseno de una suma:
$$r(\cos\alpha+i\,\mathrm{sen}\,\alpha)\cdot s(\cos\beta+i\,\mathrm{sen}\,\beta)=rs\big[(\cos\alpha\cos\beta-\mathrm{sen}\,\alpha\,\mathrm{sen}\,\beta)+i(\mathrm{sen}\,\alpha\cos\beta+\cos\alpha\,\mathrm{sen}\,\beta)\big]=rs\big[\cos(\alpha+\beta)+i\,\mathrm{sen}(\alpha+\beta)\big]$$Girar un punto
Multiplicar por $1_\theta$ no cambia el módulo y suma $\theta$ al argumento. Es decir, gira el punto $\theta$ grados en sentido antihorario alrededor del origen. Esa es la respuesta al dron del principio. Para girar $90^\circ$ el punto $2+2i=2\sqrt2_{45^\circ}$, multiplicas por $1_{90^\circ}=i$ y obtienes $2\sqrt2_{135^\circ}=-2+2i$.
Calcula el producto de los números complejos $z_1 = 2_{30^\circ}$ y $z_2 = 5_{45^\circ}$. Expresa el resultado en forma polar.
Calcula el producto de los números complejos $z_1 = 2_{30^\circ}$ y $z_2 = 5_{45^\circ}$. Expresa el resultado en forma polar.
En el desarrollo de un videojuego 2D, la posición de un personaje viene dada por el afijo del número complejo $z = 4 - 4i$. El motor gráfico aplica una rotación de…
En el desarrollo de un videojuego 2D, la posición de un personaje viene dada por el afijo del número complejo $z = 4 - 4i$. El motor gráfico aplica una rotación de $60^\circ$ en sentido antihorario multiplicando su posición por el complejo $w = 1_{60^\circ}$. Determina la nueva posición del personaje en forma binómica.
Halla el inverso del número complejo $z = 4_{210^\circ}$ y exprésalo en forma binómica. Comprueba que el producto de $z$ por su inverso da como resultado la unidad real.
Halla el inverso del número complejo $z = 4_{210^\circ}$ y exprésalo en forma binómica. Comprueba que el producto de $z$ por su inverso da como resultado la unidad real.
Potencias: fórmula de Moivre
Elevar a una potencia es multiplicar varias veces el mismo número. Los módulos se multiplican (se elevan a $n$) y los argumentos se suman $n$ veces (se multiplican por $n$).
Fórmulas trigonométricas con Moivre
Moivre también sirve para descubrir identidades. Para $n=2$:
$(\cos\alpha+i\,\mathrm{sen}\,\alpha)^2=\cos2\alpha+i\,\mathrm{sen}\,2\alpha$.
Si desarrollas el cuadrado, el lado izquierdo es $(\cos^2\alpha-\mathrm{sen}^2\alpha)+i(2\,\mathrm{sen}\,\alpha\cos\alpha)$. Al igualar partes reales y partes imaginarias sale:
$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\mathrm{sen}^2\alpha$ y $\mathrm{sen}\,2\alpha=2\,\mathrm{sen}\,\alpha\cos\alpha$.
Para $n=3$ haces lo mismo con el cubo de un binomio.
Aplica la fórmula de Moivre para calcular la potencia cuarta del número complejo $z = 2_{20^\circ}$. Expresa el resultado en forma polar.
Aplica la fórmula de Moivre para calcular la potencia cuarta del número complejo $z = 2_{20^\circ}$. Expresa el resultado en forma polar.
Calcula el valor de la expresión $\frac{(1 - \sqrt{3}i)^5}{(-2+2i)^3}$. Para ello, convierte previamente el numerador y el denominador a forma polar.
Calcula el valor de la expresión $\frac{(1 - \sqrt{3}i)^5}{(-2+2i)^3}$. Para ello, convierte previamente el numerador y el denominador a forma polar.
Utiliza la fórmula de Moivre para desarrollar la expresión $(\cos \alpha + i \sin \alpha)^3$. A partir de la igualdad entre las partes reales e imaginarias, deduce las…
Utiliza la fórmula de Moivre para desarrollar la expresión $(\cos \alpha + i \sin \alpha)^3$. A partir de la igualdad entre las partes reales e imaginarias, deduce las identidades trigonométricas para $\cos(3\alpha)$ y $\sin(3\alpha)$ en función de $\cos \alpha$ y $\sin \alpha$.
Raíces $n$-ésimas
Buscar $\sqrt[n]{z}$ es buscar los $w$ tales que $w^n=z$. Si $w=\rho_\varphi$ y $z=r_\alpha$, Moivre dice que $\rho^n=r$ y $n\varphi=\alpha+360^\circ k$. Despejando:
Esto permite resolver ecuaciones como $z^4+81=0$: escribes $z^4=-81=81_{180^\circ}$ y buscas las raíces cuartas. Si la ecuación tiene la forma $z^6-7z^3-8=0$, un cambio de variable $u=z^3$ la convierte en una cuadrática en $u$. Luego se buscan las raíces cúbicas de cada valor de $u$.
Calcula las raíces cuadradas del número complejo $z = 9_{80^\circ}$ y expresa los resultados en forma polar.
Calcula las raíces cuadradas del número complejo $z = 9_{80^\circ}$ y expresa los resultados en forma polar.
Resuelve la ecuación $z^4 + 81 = 0$ utilizando la forma polar de los números complejos. Expresa las cuatro soluciones obtenidas en forma binómica.
Resuelve la ecuación $z^4 + 81 = 0$ utilizando la forma polar de los números complejos. Expresa las cuatro soluciones obtenidas en forma binómica.
Los vértices de un hexágono regular centrado en el origen del plano complejo corresponden a las raíces sextas de un número complejo $W$. Si uno de los vértices del…
Los vértices de un hexágono regular centrado en el origen del plano complejo corresponden a las raíces sextas de un número complejo $W$. Si uno de los vértices del hexágono es el afijo del número $z_1 = 2_{30^\circ}$, determina el valor del número complejo $W$ en forma binómica y calcula el área exacta del hexágono.
Resumen
Vuelve al principio: para girar al dron $90^\circ$ alrededor del origen multiplicas su posición por $1_{90^\circ}=i$, porque al multiplicar se suman los argumentos y el módulo no cambia.