Inecuaciones cuadráticas
Un colmado vende jugo de chinola y su beneficio diario depende de cuántas unidades prepara. Con pocas unidades pierde, con una cantidad intermedia gana y con demasiadas vuelve a perder. ¿Entre qué cantidades gana dinero? Esa pregunta es una inecuación de segundo grado: no se "despeja", se estudia el signo de una parábola.
El método: raíces y signos por tramos
El método gráfico dice lo mismo con la parábola: $f(x)>0$ donde la gráfica está por encima del eje x, y $f(x)<0$ donde está por debajo. Las raíces son los cortes con el eje.
Resuelve la siguiente inecuación de segundo grado y expresa la solución en forma de intervalo: $x^2 - 5x + 6 \ge 0$
Resuelve la siguiente inecuación de segundo grado y expresa la solución en forma de intervalo:
$x^2 - 5x + 6 \ge 0$
Resuelve la inecuación incompleta: $2x^2 - 8x \le 0$
Resuelve la inecuación incompleta:
$2x^2 - 8x \le 0$
Encuentra el conjunto de soluciones de la inecuación: $-x^2 + 4x + 5 > 0$
Encuentra el conjunto de soluciones de la inecuación:
$-x^2 + 4x + 5 > 0$
Parábola invertida y forma general
Cuando $a<0$ la parábola abre hacia abajo: es positiva entre las raíces y negativa fuera. Para no equivocarte, puedes multiplicar toda la inecuación por $-1$ invirtiendo el sentido de la desigualdad.
Si la inecuación viene con productos, desarrolla y reduce primero hasta la forma general. Por ejemplo, $(x-1)(x+2) Determina los valores de $x$ que verifican la siguiente desigualdad: $3x^2 - 27 < 0$ Resuelve la siguiente inecuación operando previamente para reducirla a su forma general y expresa el resultado en forma de intervalo: $(2x - 1)^2 - (x + 3)(x - 3) < 5x + 14$Determina los valores de $x$ que verifican la siguiente desigualdad: $3x^2 - 27 < 0$
Resuelve la siguiente inecuación operando previamente para reducirla a su forma general y expresa el resultado en forma de intervalo:…
Casos sin dos raíces: raíz doble y discriminante negativo
No siempre hay dos raíces distintas. Mira el discriminante $\Delta=b^2-4ac$:
-
Si $\Delta<0$, la parábola no corta el eje x: tiene el mismo signo en toda la recta, el de $a$ (las raíces son complejas conjugadas, no reales).
-
Si $\Delta=0$, hay una raíz doble: el polinomio es un cuadrado perfecto, nunca es negativo (si $a>0$) y solo vale $0$ en la raíz.
Halla el conjunto solución de la inecuación: $x^2 + 6x + 9 \le 0$
Halla el conjunto solución de la inecuación:
$x^2 + 6x + 9 \le 0$
Indica el conjunto solución de la inecuación, razonando tu respuesta: $x^2 - 2x + 5 > 0$
Indica el conjunto solución de la inecuación, razonando tu respuesta:
$x^2 - 2x + 5 > 0$
Determina para qué valores de $x$ se cumple la siguiente desigualdad: $4x^2 - 12x + 9 > 0$
Determina para qué valores de $x$ se cumple la siguiente desigualdad:
$4x^2 - 12x + 9 > 0$
Lectura de gráficas y dominios
Si te dan la gráfica de $y=f(x)$, no hace falta calcular: $f(x)\le 0$ se lee donde la curva está sobre o debajo del eje x. Fíjate en los cortes (raíces) y decide si los extremos entran (con $\le$ o $\ge$) o no.
Un uso muy común es el dominio de una raíz cuadrada: $\sqrt{f(x)}$ existe solo cuando $f(x)\ge 0$. Y si hay una raíz en un denominador, hace falta $f(x)>0$ (no puede ser cero).
A partir de la representación gráfica de la parábola $y = f(x)$, determina visualmente el conjunto de soluciones de la inecuación $f(x) \le 0$.
A partir de la representación gráfica de la parábola $y = f(x)$, determina visualmente el conjunto de soluciones de la inecuación $f(x) \le 0$.
Halla el dominio de definición de la siguiente función real de variable real: $f(x) = \sqrt{-2x^2 + 7x - 3}$
Halla el dominio de definición de la siguiente función real de variable real:
$f(x) = \sqrt{-2x^2 + 7x - 3}$
Halla el dominio de definición de la siguiente función, que combina restricciones de radicandos y denominadores: $g(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 4}} + \sqrt{9 - x^2}$
Halla el dominio de definición de la siguiente función, que combina restricciones de radicandos y denominadores:
$g(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 4}} + \sqrt{9 - x^2}$
Sistemas de inecuaciones de una variable
Un sistema exige que se cumplan todas sus inecuaciones a la vez. Se resuelve cada una por separado y se intersecan las soluciones (los puntos comunes).
Dibujar ambas soluciones en rectas paralelas y mirar dónde coinciden evita errores. Una inecuación con valor absoluto como $|x^2-4x|\le 5$ se transforma en un sistema: $-5\le x^2-4x\le 5$, es decir, $x^2-4x\le 5$ y $x^2-4x\ge -5$.
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones de segundo grado con una incógnita: $x^2 - 4 \le 0$ $x^2 - x \ge 0$
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones de segundo grado con una incógnita:
$x^2 - 4 \le 0$
$x^2 - x \ge 0$
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones y da la solución final en forma de intervalo: $x^2 - 3x - 10 < 0$ $2x + 5 \ge 1$
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones y da la solución final en forma de intervalo:
$x^2 - 3x - 10 < 0$
$2x + 5 \ge 1$
Resuelve la inecuación con valor absoluto transformándola previamente en un sistema de inecuaciones de segundo grado: $|x^2 - 4x| \le 5$
Resuelve la inecuación con valor absoluto transformándola previamente en un sistema de inecuaciones de segundo grado:
$|x^2 - 4x| \le 5$
Problemas con inecuaciones cuadráticas
En los problemas, la inecuación sale de una función cuadrática que modela algo real: la altura de una pelota, el beneficio de un negocio, el área de un terreno. Pasos: define la incógnita, plantea la desigualdad, resuélvela y interpreta la solución (descarta valores sin sentido, como longitudes negativas).
La altura $h$ en metros de un proyectil lanzado verticalmente hacia arriba en función del tiempo $t$ en segundos viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$.…
La altura $h$ en metros de un proyectil lanzado verticalmente hacia arriba en función del tiempo $t$ en segundos viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Plantea y resuelve la inecuación correspondiente para determinar durante qué intervalo de tiempo el proyectil se encuentra a una altura estrictamente superior a $17$ metros.
El beneficio diario de una empresa, expresado en cientos de pesos, al fabricar $x$ unidades de un producto se modela mediante la función cuadrática…
El beneficio diario de una empresa, expresado en cientos de pesos, al fabricar $x$ unidades de un producto se modela mediante la función cuadrática $B(x) = -30x^2 + 2\,400x - 21\,000$. ¿Cuántas unidades debe fabricar diariamente para no tener pérdidas? Expresa el resultado en forma de intervalo.
Se dispone de una cuerda de $40$ metros para cercar un huerto rectangular aprovechando un muro ya existente como uno de los lados. Si $x$ es la longitud de los lados…
Se dispone de una cuerda de $40$ metros para cercar un huerto rectangular aprovechando un muro ya existente como uno de los lados. Si $x$ es la longitud de los lados perpendiculares al muro, ¿para qué valores de $x$ el área cercada será de al menos $150 \text{ m}^2$? Ten en cuenta que las dimensiones del huerto deben ser positivas.
El área de la zona central rectangular de una pista deportiva debe ser estrictamente menor que $800 \text{ m}^2$. Si el largo de la pista es el doble de su ancho $x$ más…
El área de la zona central rectangular de una pista deportiva debe ser estrictamente menor que $800 \text{ m}^2$. Si el largo de la pista es el doble de su ancho $x$ más $10$ metros, plantea la inecuación correspondiente y deduce qué valores puede tomar el ancho de la pista.
La población de cierta especie invasora en un lago, medida en miles de individuos, sigue el modelo $P(t) = -0.2t^2 + 3.2t + 4$, donde $t$ es el tiempo en meses desde que…
La población de cierta especie invasora en un lago, medida en miles de individuos, sigue el modelo $P(t) = -0.2t^2 + 3.2t + 4$, donde $t$ es el tiempo en meses desde que se detectó la invasión. Las autoridades deciden intervenir cuando la población supera los $14,000$ individuos. Sin embargo, el tratamiento ecológico solo es efectivo si se puede aplicar durante al menos $3$ meses consecutivos en los que la población se mantenga por encima de ese umbral. Plantea la inecuación y determina si será posible aplicar el tratamiento con éxito según este modelo.
Se quiere construir una bandeja sin tapa a partir de una lámina rectangular de aluminio de $30 \times 20 \text{ cm}$, recortando cuadrados idénticos de lado $x$ en las…
Se quiere construir una bandeja sin tapa a partir de una lámina rectangular de aluminio de $30 \times 20 \text{ cm}$, recortando cuadrados idénticos de lado $x$ en las cuatro esquinas y doblando las pestañas resultantes hacia arriba. Si por requisitos de diseño se necesita que el área de la base de la bandeja sea de al menos $200 \text{ cm}^2$, plantea y resuelve la inecuación correspondiente para hallar el intervalo de posibles valores de $x$.
El cable principal de suspensión de un puente adopta la forma de una parábola. Tomando como origen de coordenadas el punto más bajo del cable, la altura $y$ (en metros)…
El cable principal de suspensión de un puente adopta la forma de una parábola. Tomando como origen de coordenadas el punto más bajo del cable, la altura $y$ (en metros) del cable respecto a la calzada a una distancia horizontal $x$ (en metros) del centro viene dada por la función $y = 0.005x^2 + 2$. Por razones de seguridad aeronáutica, se deben instalar luces de gálibo en los tramos del cable cuya altura respecto a la calzada esté comprendida entre $10 \text{ m}$ y $22 \text{ m}$. Plantea el sistema de inecuaciones y calcula en qué intervalos de distancia horizontal desde el centro se instalarán estas luces.
Comparar dos funciones y cambio de variable
Para saber cuándo $f(x) Una inecuación bicuadrada como $x^4-13x^2+36\le 0$ se resuelve con $u=x^2$: queda $u^2-13u+36\le0$, con raíces $u=4$ y $u=9$, y solución $4\le u\le 9$. Deshaces el cambio: $4\le x^2\le 9$, que da $[-3,-2]\cup[2,3]$. Dadas las funciones cuadráticas $f(x) = x^2 - 2x - 3$ y $g(x) = -x^2 + 4x + 5$, determina analíticamente en qué intervalo de la recta real se cumple que $f(x) < g(x)$. Basándote en la gráfica adjunta que representa ambas funciones y el área comprendida entre ellas, comprueba la coherencia de tu resultado. Resuelve la siguiente inecuación bicuadrada mediante un cambio de variable y expresa la solución final como unión de intervalos: $x^4 - 13x^2 + 36 \le 0$Dadas las funciones cuadráticas $f(x) = x^2 - 2x - 3$ y $g(x) = -x^2 + 4x + 5$, determina analíticamente en qué intervalo de la recta real se cumple que $f(x) < g(x)$.…
Resuelve la siguiente inecuación bicuadrada mediante un cambio de variable y expresa la solución final como unión de intervalos: $x^4 - 13x^2 + 36 \le 0$
Con un parámetro
A veces se pide para qué valores de un parámetro ($m$, $k$…) la inecuación se cumple para todo $x$ real. Eso ocurre cuando la parábola no corta al eje x y tiene el signo adecuado.
Determina para qué valores del parámetro $m$ la inecuación cuadrática $x^2 - mx + (m + 3) > 0$ se verifica para cualquier número real $x$.
Determina para qué valores del parámetro $m$ la inecuación cuadrática $x^2 - mx + (m + 3) > 0$ se verifica para cualquier número real $x$.