Límite de una sucesión
Yaritza se toma la mitad de un jugo de chinola. Luego se toma la mitad de lo que queda, y después otra vez la mitad de lo que queda. Lo que sobra en el vaso es $\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{8}, \ldots$ ¿Se acabará el jugo alguna vez? Cada término es menor que el anterior y se acerca a $0$ tanto como quieras, aunque nunca valga exactamente $0$. Esa idea es el límite de una sucesión y es la base de todo el cálculo que viene después: derivadas e integrales.
La idea de límite
Observa $a_n = \dfrac{n+1}{n}$: $2,\ 1.5,\ 1.33\ldots,\ 1.25,\ 1.2,\ \ldots$ Los términos se acercan cada vez más a $1$, aunque ninguno vale exactamente $1$.
Cambia el término general y observa hacia qué valor (si lo hay) se acercan las barras al aumentar $n$:
Hay tres comportamientos posibles cuando $n\to\infty$:
Determina si la sucesión cuyo término general es $a_n = \frac{(-1)^n \times 5}{n}$ es convergente, divergente o oscilante. Si es convergente, indica cuál es su límite.
Determina si la sucesión cuyo término general es $a_n = \frac{(-1)^n \times 5}{n}$ es convergente, divergente o oscilante. Si es convergente, indica cuál es su límite.
Sucesiones racionales y polinómicas
El caso más frecuente es un cociente de polinomios en $n$. Para un polinomio solo, manda el término de mayor grado: por ejemplo, en $-2n^3+7n^2-4n+12$ domina $-2n^3$, que tiende a $-\infty$.
Para un cociente, el resultado depende de comparar el grado del numerador con el del denominador.
Halla el límite de la sucesión racional dada por la expresión: $c_n = \frac{3n^2 - 5n + 1}{8n^3 + 2n^2 - n}$
Halla el límite de la sucesión racional dada por la expresión:
$c_n = \frac{3n^2 - 5n + 1}{8n^3 + 2n^2 - n}$
La población de peces de una piscifactoría sostenible crece de acuerdo con el modelo matemático $P_n = \frac{150000n}{3n + 250}$, donde $n$ representa el número de días…
La población de peces de una piscifactoría sostenible crece de acuerdo con el modelo matemático $P_n = \frac{150000n}{3n + 250}$, donde $n$ representa el número de días desde la introducción de los alevines. Determina la capacidad de carga del entorno, es decir, el límite de la población de peces a largo plazo.
Halla el límite de la siguiente sucesión, desarrollando previamente los productos notables del numerador para identificar los términos de mayor grado:…
Halla el límite de la siguiente sucesión, desarrollando previamente los productos notables del numerador para identificar los términos de mayor grado:
$\lim_{n \to \infty} \frac{(3n+2)^2 - (3n-2)^2}{n+5}$
Sucesiones con $r^n$
Volvamos al jugo: $\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$. Multiplicar muchas veces por un número menor que $1$ lo achica; por uno mayor que $1$ lo agranda.
Un caso muy usado es la temperatura de algo que se enfría. En $T_n = 22 + 85\cdot(0.82)^n$, como $0.82^n \to 0$, resulta $T_n \to 22$: el metal termina a la temperatura de la habitación.
Otra aplicación es sumar infinitos términos de una progresión geométrica. La suma de los primeros $n$ términos es $S_n = a_1\dfrac{1-r^n}{1-r}$. Si $|r|<1$, entonces $r^n\to 0$ y la suma se estabiliza.
Estudia el comportamiento y calcula el límite de la sucesión de tipo exponencial: $f_n = 12 \times \left(\frac{3}{4}\right)^n$
Estudia el comportamiento y calcula el límite de la sucesión de tipo exponencial:
$f_n = 12 \times \left(\frac{3}{4}\right)^n$
La temperatura en grados Celsius de una pieza de metal que se enfría en una habitación sigue la sucesión $T_n = 22 + 85 \times (0,82)^n$, donde $n$ es el tiempo…
La temperatura en grados Celsius de una pieza de metal que se enfría en una habitación sigue la sucesión $T_n = 22 + 85 \times (0,82)^n$, donde $n$ es el tiempo transcurrido en minutos. Calcula el límite de la sucesión $T_n$ cuando $n \to \infty$ e interpreta el resultado en el contexto del problema.
A partir de un cuadrado de área $A_1 = 400 \text{ cm}^2$, se construye una sucesión de cuadrados uniendo los puntos medios de los lados del cuadrado anterior, tal y como…
A partir de un cuadrado de área $A_1 = 400 \text{ cm}^2$, se construye una sucesión de cuadrados uniendo los puntos medios de los lados del cuadrado anterior, tal y como muestra la figura. Sabiendo que el área de cada nuevo cuadrado es la mitad del área del cuadrado anterior, calcula el límite de la suma de las áreas de los infinitos cuadrados así construidos: $S_\infty = \lim_{n \to \infty} (A_1 + A_2 + \dots + A_n)$.
Indeterminaciones con radicales: $\infty - \infty$
Cuando aparece una resta de dos cantidades que tienden a infinito, multiplicar y dividir por el conjugado convierte la resta en una fracción.
Si el radical está solo en una fracción, como en $\dfrac{\sqrt{16n^2+3n}}{2n+5}$, basta ver que $\sqrt{16n^2+3n}$ se comporta como $4n$: el límite es $\dfrac{4}{2} = 2$.
Calcula el límite de la sucesión que involucra una raíz cuadrada simple en el numerador: $h_n = \frac{\sqrt{16n^2 + 3n}}{2n + 5}$
Calcula el límite de la sucesión que involucra una raíz cuadrada simple en el numerador:
$h_n = \frac{\sqrt{16n^2 + 3n}}{2n + 5}$
Calcula el límite de la siguiente sucesión irracional, multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada para resolver la indeterminación:…
Calcula el límite de la siguiente sucesión irracional, multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada para resolver la indeterminación:
$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + 6n} - n \right)$
Calcula el límite de la siguiente sucesión, que presenta una doble raíz cuadrada y requiere aplicar la técnica del conjugado de forma cuidadosa:…
Calcula el límite de la siguiente sucesión, que presenta una doble raíz cuadrada y requiere aplicar la técnica del conjugado de forma cuidadosa:
$\lim_{n \to \infty} n \times \left( \sqrt{n^2 + 4} - n \right)$
Ampliación: sucesiones definidas por recurrencia
A veces cada término se obtiene del anterior. Si sabemos que la sucesión converge a $L$, entonces $a_n$ y $a_{n+1}$ tienden al mismo $L$. Sustituimos ambos por $L$ y resolvemos la ecuación.
Un paciente recibe una dosis diaria de un medicamento. Tras la absorción y eliminación a lo largo del día, la concentración del fármaco en sangre justo antes de la…
Un paciente recibe una dosis diaria de un medicamento. Tras la absorción y eliminación a lo largo del día, la concentración del fármaco en sangre justo antes de la siguiente dosis sigue la relación de recurrencia $C_n = 15 + C_{n-1} \times 0.4$, donde $15 \text{ mg/L}$ es el aporte de la nueva dosis y el factor $0.4$ indica que queda un $40\%$ del fármaco del día anterior. Si la concentración inicial es $C_1 = 15$, calcula la concentración de equilibrio en la sangre a largo plazo, es decir, $\lim_{n \to \infty} C_n$.
Se define una sucesión mediante la siguiente ley de recurrencia: el primer término es $a_1 = \sqrt{6}$, y cada término siguiente se obtiene como…
Se define una sucesión mediante la siguiente ley de recurrencia: el primer término es $a_1 = \sqrt{6}$, y cada término siguiente se obtiene como $a_{n+1} = \sqrt{6 + a_n}$. Asumiendo que la sucesión es creciente y está acotada superiormente (por lo que es convergente y tiene un límite $L$), plantea la ecuación que debe cumplir el límite y hállalo.
Ampliación: parámetros en un límite con radicales
Si $\sqrt{9n^2+an+2}-bn$ tiene límite finito, los términos de mayor grado deben cancelarse. Eso obliga a que $b=3$ (la raíz del coeficiente $9$). Con $b=3$, el conjugado da $\dfrac{an+2}{\sqrt{9n^2+an+2}+3n} \to \dfrac{a}{6}$, y se iguala al valor pedido.
Encuentra los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ (con $b > 0$) para que se cumpla la siguiente igualdad:…
Encuentra los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ (con $b > 0$) para que se cumpla la siguiente igualdad:
$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{9n^2 + an + 2} - bn \right) = 4$
Ampliación: el número $e$ y la indeterminación $1^\infty$
Si la base tiende a $1$ y el exponente a infinito, no se puede decir que el resultado es $1$. Con $\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$ ocurre algo curioso: la base se acerca a $1$ pero el exponente crece, y los dos efectos se equilibran en un número fijo.
Esto permite calcular límites parecidos. Por ejemplo, $\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{7n} = \left[\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\right]^7 \to e^7$.
Una aplicación es la capitalización continua. Si se depositan $\text{RD}\$100{,}000$ al $4\%$ anual durante $5$ años y los intereses se capitalizan $n$ veces al año, el capital es $Cn = 100{,}000\left(1+\dfrac{0.04}{n}\right)^{5n}$. Cuando $n\to\infty$, el exponente da $e^{0.04\times 5}=e^{0.2}$, y el capital límite es $100{,}000\,e^{0.2}\approx$ $\text{RD}\$122{,}140$.
Aplicando la definición del número $e$, calcula el límite de la siguiente sucesión: $g_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{7n}$
Aplicando la definición del número $e$, calcula el límite de la siguiente sucesión:
$g_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{7n}$
Calcula el límite de la sucesión, transformando la expresión para aplicar el límite del número $e$: $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n + 7}{n + 2} \right)^{4n}$
Calcula el límite de la sucesión, transformando la expresión para aplicar el límite del número $e$:
$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n + 7}{n + 2} \right)^{4n}$
Resuelve el siguiente límite que da lugar a una indeterminación del tipo $1^\infty$, prestando especial atención a las operaciones algebraicas en el exponente:…
Resuelve el siguiente límite que da lugar a una indeterminación del tipo $1^\infty$, prestando especial atención a las operaciones algebraicas en el exponente:
$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^2 - n + 3}{n^2 + n + 1} \right)^{n^2 - 1}$
Límite y crecimiento sin parar
Una sucesión puede crecer sin parar si multiplica por un factor mayor que $1$ en cada paso. Es el caso de la curva de Koch: parte de un segmento de $1$ m y en cada paso su longitud se multiplica por $\frac{4}{3}$. La longitud en el paso $n$ es $L_n = \left(\frac{4}{3}\right)^n$. Como $r=\frac{4}{3}>1$, $L_n\to+\infty$: la curva tiene longitud infinita aunque cabe en una zona del plano de tamaño finito.
La figura muestra las tres primeras iteraciones en la construcción de la curva de Koch. Si partimos de un segmento inicial de longitud $L_0 = 1$ metro (panel A), en cada…
La figura muestra las tres primeras iteraciones en la construcción de la curva de Koch. Si partimos de un segmento inicial de longitud $L_0 = 1$ metro (panel A), en cada paso $n$ la longitud total de la curva se multiplica por $\frac{4}{3}$ respecto al paso anterior. Escribe la expresión de la longitud $L_n$ en el paso $n$ y calcula $\lim_{n \to \infty} L_n$. ¿Qué conclusión geométrica se extrae de este resultado?
Ampliación: la definición con $\varepsilon$
«Acercarse tanto como se quiera» se escribe con rigor así: por muy pequeña que sea una distancia $\varepsilon>0$ que elijas, los términos tienen que acabar entrando y quedándose dentro de esa distancia de $L$.
Dada la sucesión $a_n = \frac{4n - 3}{n + 1}$, sabemos que su límite es $L = 4$. Utilizando la definición formal de límite, averigua a partir de qué término $n$ se…
Dada la sucesión $a_n = \frac{4n - 3}{n + 1}$, sabemos que su límite es $L = 4$. Utilizando la definición formal de límite, averigua a partir de qué término $n$ se cumple que la distancia entre los términos de la sucesión y su límite es estrictamente menor que una milésima, es decir, $|a_n - 4| < 0.001$.