Ecuaciones racionales
Un grupo de estudiantes de un liceo de La Vega alquila una guagua para ir a Samaná y reparte el costo entre todos. Si se suman más compañeros, la cuota de cada uno baja. El número de estudiantes queda en el denominador de la cuota, y por eso para calcular cuántos eran al inicio hay que resolver una ecuación racional. Al final de la página resolverás ese problema.
Dominio y método básico
Los pasos son siempre los mismos: dominio, m.c.m., multiplicar, resolver y comprobar.
Si la ecuación es una igualdad entre dos fracciones, también puedes multiplicar en cruz. Esto equivale a multiplicar por el producto de los dos denominadores: $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Rightarrow ad=bc$. Sigue valiendo la regla del dominio.
Mira dónde se cortan las dos curvas $y=\dfrac3x-\dfrac1{x+2}$ y $y=\dfrac{5}{x(x+2)}$. La abscisa del corte es la solución de $\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{5}{x(x+2)}$.
Resuelve la siguiente ecuación racional, indicando claramente sus soluciones válidas: $\frac{3}{x} - \frac{1}{x+2} = \frac{5}{x(x+2)}$
Resuelve la siguiente ecuación racional, indicando claramente sus soluciones válidas:
$\frac{3}{x} - \frac{1}{x+2} = \frac{5}{x(x+2)}$
Halla los valores de $x$ que verifican la siguiente igualdad: $\frac{x+3}{x-1} = \frac{x-2}{x+1}$
Halla los valores de $x$ que verifican la siguiente igualdad:
$\frac{x+3}{x-1} = \frac{x-2}{x+1}$
Resuelve la ecuación racional reduciendo previamente a común denominador: $\frac{1}{x} + \frac{1}{2x} + \frac{1}{3x} = \frac{11}{6}$
Resuelve la ecuación racional reduciendo previamente a común denominador:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{2x} + \frac{1}{3x} = \frac{11}{6}$
Factorizar los denominadores antes del m.c.m.
Encuentra las soluciones de la siguiente ecuación: $\frac{4}{x-2} - \frac{3}{x+2} = \frac{1}{x^2-4}$
Encuentra las soluciones de la siguiente ecuación:
$\frac{4}{x-2} - \frac{3}{x+2} = \frac{1}{x^2-4}$
Resuelve la ecuación racional factorizando previamente los denominadores para hallar el mínimo común múltiplo: $\frac{x}{x^2-4} + \frac{1}{x+2} = \frac{3}{x-2}$
Resuelve la ecuación racional factorizando previamente los denominadores para hallar el mínimo común múltiplo:
$\frac{x}{x^2-4} + \frac{1}{x+2} = \frac{3}{x-2}$
Resuelve la siguiente ecuación racional, factorizando previamente los denominadores para operar con el mínimo común múltiplo:…
Resuelve la siguiente ecuación racional, factorizando previamente los denominadores para operar con el mínimo común múltiplo:
$\frac{1}{x^2-5x+6} + \frac{1}{x^2-7x+12} = \frac{2}{x^2-6x+8}$
Simplificar con productos notables
A veces una fracción se puede simplificar antes de operar. Para eso reconoce los productos notables y la factorización:
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$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
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$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
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$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
Al simplificar, el dominio original se conserva: aunque el factor $(x-3)$ desaparezca, $x=3$ sigue prohibido.
Calcula los valores reales de $x$ para los cuales se cumple la siguiente expresión: $\frac{x^2-9}{x-3} = 6$
Calcula los valores reales de $x$ para los cuales se cumple la siguiente expresión:
$\frac{x^2-9}{x-3} = 6$
Resuelve la ecuación simplificando las fracciones algebraicas: $\frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} = \frac{4}{x^2-1}$
Resuelve la ecuación simplificando las fracciones algebraicas:
$\frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} = \frac{4}{x^2-1}$
Determina todas las soluciones reales de la ecuación, simplificando las fracciones algebraicas usando productos notables antes de operar:…
Determina todas las soluciones reales de la ecuación, simplificando las fracciones algebraicas usando productos notables antes de operar:
$\frac{x^3-8}{x-2} = \frac{x^3+1}{x+1} + 3$
Cuidado con las soluciones extrañas
Determina la solución de la ecuación, prestando atención a los valores que anulan los denominadores: $\frac{2x}{x+1} + \frac{1}{x-1} = 2$
Determina la solución de la ecuación, prestando atención a los valores que anulan los denominadores:
$\frac{2x}{x+1} + \frac{1}{x-1} = 2$
Encuentra las soluciones de la siguiente ecuación, descartando aquellas que resulten ser falsas (soluciones extrañas):…
Encuentra las soluciones de la siguiente ecuación, descartando aquellas que resulten ser falsas (soluciones extrañas):
$\frac{2x+1}{x^2-x-6} - \frac{x}{x-3} = \frac{1}{x+2}$
Halla los valores de $x$ que verifican la siguiente ecuación: $\frac{x^2-x}{x^2-4x+3} = \frac{2x}{x-3} - 1$
Halla los valores de $x$ que verifican la siguiente ecuación:
$\frac{x^2-x}{x^2-4x+3} = \frac{2x}{x-3} - 1$
Problemas: trabajo y velocidad
Pasos para plantear un problema: define la incógnita con unidades, escribe las demás cantidades en función de ella, plantea la ecuación, resuélvela, descarta lo que no tiene sentido (tiempos o velocidades negativos) y responde con unidades.
Dos impresoras 3D trabajando juntas tardan $6$ horas en fabricar un lote completo de piezas para un proyecto de ingeniería. Si trabajaran por separado, la impresora A…
Dos impresoras 3D trabajando juntas tardan $6$ horas en fabricar un lote completo de piezas para un proyecto de ingeniería. Si trabajaran por separado, la impresora A tardaría $5$ horas menos que la impresora B en completar el mismo lote. Plantea una ecuación racional y determina cuánto tiempo tardaría la impresora A trabajando sola.
Un tren de mercancías debe recorrer una distancia de $300\text{ km}$. Si aumentara su velocidad media en $10\text{ km/h}$, tardaría $1$ hora menos en realizar el…
Un tren de mercancías debe recorrer una distancia de $300\text{ km}$. Si aumentara su velocidad media en $10\text{ km/h}$, tardaría $1$ hora menos en realizar el trayecto completo. Plantea una ecuación racional y calcula la velocidad media a la que circula el tren inicialmente.
Un barco a motor realiza un trayecto por un río, recorriendo $24\text{ km}$ a favor de la corriente y luego regresando al punto de partida a contracorriente. El tiempo…
Un barco a motor realiza un trayecto por un río, recorriendo $24\text{ km}$ a favor de la corriente y luego regresando al punto de partida a contracorriente. El tiempo total de navegación ha sido de $5\text{ horas}$. Si la velocidad de la corriente del río es de $2\text{ km/h}$, plantea una ecuación racional para calcular la velocidad del barco en aguas tranquilas.
Problemas de reparto, áreas y fórmulas
Otros problemas llevan a ecuaciones racionales cuando una cantidad se reparte entre una cantidad incógnita, o cuando una fórmula ya trae inversos.
Otras fórmulas conocidas que traen inversos:
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Resistencias en paralelo: $\dfrac1{R}=\dfrac1{R_1}+\dfrac1{R_2}$.
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Concentración $=\dfrac{\text{cantidad de soluto}}{\text{volumen total}}$. Si solo se evapora agua, la cantidad de sal no cambia: con $50$ L a $0.04$ kg/L hay $50\cdot0.04=2$ kg de sal, y la concentración al evaporar $x$ L es $\dfrac{2}{50-x}$.
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Dos postes de alturas $h_1$ y $h_2$ con cables cruzados: la altura $h$ del cruce cumple $\dfrac1h=\dfrac1{h_1}+\dfrac1{h_2}$.
Un grupo de estudiantes alquila un autobús para una excursión por un precio total de $24\,000\text{ \text{RD\$}\ }$. A última hora se suman $5…
Un grupo de estudiantes alquila un autobús para una excursión por un precio total de $24\,000\text{ \text{RD\$}\ }$. A última hora se suman $5$ estudiantes más al viaje, lo que hace que cada uno de los que iban a ir inicialmente pague $240\text{ \text{RD\$}\ }$ menos. Plantea una ecuación racional para calcular cuántos estudiantes formaban el grupo original.
Un diseñador gráfico está creando un cartel rectangular cuya área debe ser exactamente de $600\text{ cm}^2$. Si aumentara la base del cartel en $10\text{ cm}$ y redujera…
Un diseñador gráfico está creando un cartel rectangular cuya área debe ser exactamente de $600\text{ cm}^2$. Si aumentara la base del cartel en $10\text{ cm}$ y redujera la altura en $5\text{ cm}$, el área total seguiría siendo la misma. Plantea una ecuación racional y determina las dimensiones originales del cartel.
En un circuito electrónico se conectan dos resistencias en paralelo. La resistencia equivalente del conjunto, $R_{eq}$, se calcula mediante la fórmula…
En un circuito electrónico se conectan dos resistencias en paralelo. La resistencia equivalente del conjunto, $R_{eq}$, se calcula mediante la fórmula $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$. Se sabe que el valor de la resistencia $R_2$ es $5\ \Omega$ mayor que el de $R_1$, y que la resistencia equivalente del circuito es de $6\ \Omega$. Plantea y resuelve una ecuación racional para hallar el valor de ambas resistencias.
Cambio de variable y una ampliación
Cambio de variable
Si una misma expresión se repite (o aparece su inversa), llámala $t$ y la ecuación se vuelve más sencilla. Al final, deshaz el cambio.
Ampliación: un parámetro
Resuelve la siguiente ecuación racional realizando el cambio de variable $t = \frac{x^2+1}{x}$: $\frac{x^2+1}{x} + \frac{6x}{x^2+1} = 5$
Resuelve la siguiente ecuación racional realizando el cambio de variable $t = \frac{x^2+1}{x}$:
$\frac{x^2+1}{x} + \frac{6x}{x^2+1} = 5$
En un laboratorio se tienen $50\text{ L}$ de una disolución salina con una concentración inicial de $0.04\text{ kg/L}$. Se desea evaporar agua de la mezcla a un ritmo…
En un laboratorio se tienen $50\text{ L}$ de una disolución salina con una concentración inicial de $0.04\text{ kg/L}$. Se desea evaporar agua de la mezcla a un ritmo constante para aumentar su concentración (la cantidad de sal permanece invariable). Si se evaporan $x\text{ L}$ de agua, la nueva concentración debe ser de $0.1\text{ kg/L}$. Plantea la ecuación racional correspondiente y calcula la cantidad de agua que debe evaporarse.
Dada la ecuación racional con parámetro $a$: $\frac{x+a}{x-1} + \frac{x-a}{x+1} = \frac{2x^2+2}{x^2-1}$ Determina para qué valores del parámetro $a$ la ecuación tiene…
Dada la ecuación racional con parámetro $a$:
$\frac{x+a}{x-1} + \frac{x-a}{x+1} = \frac{2x^2+2}{x^2-1}$
Determina para qué valores del parámetro $a$ la ecuación tiene infinitas soluciones, y para qué valores no tiene ninguna solución.