Tasa de variación y derivada de una función en un punto

Calcula la tasa de variación media (TVM) de la función $f(x) = x^2 - 4x + 5$ en el intervalo $[1, 4]$. Explica gráficamente qué representa el valor obtenido en relación con la recta secante que pasa por los puntos $A$ y $B$ de la curva correspondientes a los extremos de dicho intervalo (los tienes marcados en la figura).

El crecimiento de seguidores de una nueva cuenta de una conocida red social sigue la función $S(t) = t^2 + 4t + 100$, donde $t$ es el tiempo en días desde su creación y $S(t)$ es el número de seguidores. La figura muestra la gráfica de $S$ y las rectas que unen los puntos de la curva correspondientes a $t=0$, $t=5$ y $t=10$.

1. a) Calcula la tasa de variación media (TVM) del número de seguidores en los intervalos $[0, 5]$ y $[5, 10]$.
2. b) Explica el significado de los resultados obtenidos en el contexto del crecimiento de la cuenta. ¿En qué intervalo ha sido más rápido el crecimiento?

Observa la siguiente gráfica de una función $f(x)$. Sin realizar cálculos, ordena de menor a mayor los siguientes valores justificando tu respuesta basándote en la inclinación de las rectas:

• La tasa de variación media en el intervalo $[1, 3]$.

• La derivada de la función en el punto $x = 1$.

• La derivada de la función en el punto $x = 3$.

Dada la función $f(x) = 3x^2 - 1$, utiliza la definición de derivada en un punto mediante el límite:

para hallar el valor de la derivada en el punto de abscisa $x = 2$.

Considera la función racional $f(x) = \frac{2}{x}$.

Demuestra, aplicando la definición de derivada como un límite, que el valor de la tasa de variación instantánea en $x = 1$ es $f'(1) = -2$. Interpreta el signo del resultado obtenido.

Calcula la derivada de la función $f(x) = \dfrac{3}{x + 1}$ en el punto de abscisa $x = 2$ utilizando estrictamente la definición de derivada mediante el límite:

Un atleta de 2º de Bachillerato entrena para los 100 metros lisos. La distancia recorrida (en metros) en función del tiempo (en segundos) viene dada por la expresión $s(t) = 0.5t^2 + 2t$.

Calcula la velocidad media del atleta entre los instantes $t = 2$ s y $t = 6$ s. ¿Con qué concepto matemático coincide este valor?

El número de seguidores de un nuevo canal de YouTube evoluciona según la función $S(t) = t^2 + 10t + 100$, donde $t$ es el tiempo en días desde su creación.

1. a) Calcula la tasa de variación media de seguidores entre el día $t = 0$ y el día $t = 10$.
2. b) ¿Cuál es el crecimiento instantáneo de seguidores exactamente en el día $t = 5$? (Calcula $S'(5)$ usando la definición).

La temperatura de una placa metálica (en grados Celsius) varía con el tiempo $t$ (en minutos) siguiendo el modelo $T(t) = 20 + 4t - 0.1t^2$.

Calcula la tasa de variación instantánea de la temperatura en el instante $t = 10$ minutos. Indica las unidades de medida del resultado y explica si en ese momento la placa se está calentando o enfriando.

Un patinador se desplaza por una pista cuya posición (en metros) respecto al inicio viene dada por la expresión $e(t) = \sqrt{4t + 9}$, donde $t$ es el tiempo en segundos.

1. a) Calcula la velocidad media del patinador entre los instantes $t = 0$ y $t = 4$ segundos.
2. b) Halla la velocidad instantánea en el momento $t = 4$ segundos utilizando la definición de derivada.

Dada la función $f(x) = \dfrac{x^2}{x - 1}$, se pide:

1. a) Calcular la tasa de variación media en el intervalo $[2, 4]$.
2. b) Determinar si existe algún punto $c$ dentro del intervalo $(2, 4)$ tal que la derivada instantánea $f'(c)$ coincida con la TVM calculada en el apartado anterior.

La temperatura de un componente electrónico durante las primeras horas de funcionamiento sigue la función $T(t) = 20 + t \times e^{-t}$, donde $T$ es la temperatura en grados Celsius y $t$ es el tiempo en horas.

Calcula la tasa de variación instantánea de la temperatura cuando ha transcurrido exactamente 1 hora ($t = 1$). ¿La temperatura está aumentando, disminuyendo o ninguna de las dos cosas en ese instante? Justifica tu respuesta basándote en el signo de la derivada.

Un dron de vigilancia forestal sigue una trayectoria de aproximación cuya altura $h$ (en metros) respecto al tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la función:

Se pide:

1. Calcula la Tasa de Variación Media (TVM) de la altura en el intervalo $[0, 5]$. Explica su significado físico.

2. Utilizando la definición de derivada en un punto, obtén la velocidad instantánea de ascenso en el instante $t = 5$ segundos.

3. Comprueba si existe algún instante $t > 0$ en el que la velocidad instantánea coincida exactamente con la TVM calculada en el primer apartado.

En un laboratorio de biotecnología, la población de una colonia de bacterias (en millones) viene modelada por la función:

donde $t$ es el tiempo en horas. Se pide:

1. Hallar la Tasa de Variación Instantánea (TVI) de la población en $t = 1$ hora y en $t = 4$ horas.

2. Determinar en cuál de esos dos instantes la población está creciendo con mayor rapidez.

3. ¿Existe algún instante en el que la velocidad de crecimiento sea nula? En caso afirmativo, calcula dicho valor de $t$ e interpreta qué le ocurre a la población en ese momento.

Determina la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x) = \sqrt{x+1}$ en el punto donde $x = 3$, aplicando el límite de la tasa de variación instantánea:

Se considera la función $f(x) = x^2 - 6x + 5$. Determina el punto de la gráfica en el que la recta tangente tiene una pendiente de $m = 2$. Una vez hallado el punto, escribe la ecuación completa de dicha recta tangente en forma punto-pendiente.

Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la curva $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ en el punto donde la gráfica corta al eje de ordenadas ($OY$).

Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva $y = x^2 - 4x + 5$ que pasan por el punto exterior $A(0, 0)$ (la figura muestra solo una de ellas).

Nota: Ten en cuenta que el punto A no pertenece a la curva. Deberás plantear la pendiente de la tangente en un punto genérico $(a, f(a))$ igualándola a la pendiente de la recta que une dicho punto con el origen.

Sea la función $f(x) = \frac{1}{x+1}$. Demuestra, aplicando la definición de derivada, que su función derivada es $f'(x) = \frac{-1}{(x+1)^2}$ para cualquier valor de $x$ perteneciente a su dominio.

A partir de este resultado, determina las coordenadas de los puntos de la gráfica donde la recta tangente es paralela a la bisectriz del segundo cuadrante ($y = -x$).

Dada la función definida a trozos:

Calcula los valores de $a$ y $b$ para que la función sea derivable en el punto $x = 1$. Recuerda que para que una función sea derivable, primero debe ser continua.

Dada la función $f(x) = x \times |x - 3|$, estudia su derivabilidad en el punto $x = 3$.

Para ello:

1. Expresa la función como una función definida a trozos.

2. Calcula las derivadas laterales $f'(3^-)$ y $f'(3^+)$ mediante el límite del cociente incremental.

3. Interpreta geométricamente el resultado obtenido: ¿presenta la gráfica un punto anguloso o una tangente suave en $x=3$? Justifica tu respuesta.

Considera la función $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$.

1. Estudia la continuidad de la función en el origen ($x=0$).

2. Analiza la derivabilidad en $x=0$ calculando el límite del cociente incremental.

3. Si el límite tiende a infinito, ¿qué tipo de recta tangente presenta la función en ese punto? Describe el comportamiento visual de la gráfica en las proximidades del origen.

Se considera la función definida a trozos:

Determina los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que la función sea derivable en el punto $x = 2$. Para ello, deberás asegurar primero la continuidad y, posteriormente, la existencia de las derivadas laterales finitas e iguales en dicho punto utilizando la definición de derivada.

Calcula, haciendo uso exclusivo de la definición de derivada como límite del cociente incremental, el valor del siguiente límite:

Indicación: Identifica este límite con la derivada de una función conocida en un punto determinado y resuelve mediante las reglas de derivación habituales para comprobar tu resultado.