Otras ecuaciones
Yaritza deposita $\text{RD}\$50{,}000$ en una cooperativa que le paga 8 % de interés compuesto anual. ¿Cuántos años tienen que pasar para que su dinero se duplique? La incógnita está en el exponente, y ahí no sirven ni la factorización ni la fórmula cuadrática de entrada. En este apartado verás que, con el truco adecuado (igualar bases, un cambio de variable, un logaritmo o una división sintética), muchas ecuaciones «raras» se reducen a algo que ya dominas. La pregunta de Yaritza la respondemos en la sección de aplicaciones.
Ecuaciones exponenciales
El proceso de resolución depende de cómo se vea la ecuación:
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Misma base en los dos miembros: escribes ambos lados como potencias de esa base e igualas los exponentes (si $a^m=a^n$, entonces $m=n$).
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Una potencia repetida con exponentes relacionados ($9^x$ y $3^x$, por ejemplo): cambio de variable $u=a^x$ y resuelves la ecuación en $u$.
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Sumas de potencias con la misma base: sacas factor común la potencia de menor exponente.
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Bases que no se pueden igualar: aplicas logaritmo a ambos miembros y bajas el exponente: $\log a^x=x\log a$.
¿Por qué funciona? La función $a^x$ (con $a>0$, $a\neq1$) nunca repite valores, así que dos potencias iguales de la misma base obligan a que los exponentes sean iguales.
La gráfica muestra por qué $3^x=20$ tiene una sola solución: la curva $y=3^x$ corta a la recta $y=20$ una vez, entre $x=2$ y $x=3$.
Determina el valor de $x$ que satisface la siguiente ecuación exponencial: $3^{2x+1} - 27 = 0$
Determina el valor de $x$ que satisface la siguiente ecuación exponencial:
$3^{2x+1} - 27 = 0$
Un cultivo de bacterias crece según una ley exponencial. Para determinar el instante crítico de un experimento, un biólogo debe resolver la ecuación…
Un cultivo de bacterias crece según una ley exponencial. Para determinar el instante crítico de un experimento, un biólogo debe resolver la ecuación $4^x - 5 \times 2^x + 4 = 0$. Halla los valores de $x$ aplicando un cambio de variable.
Resuelve la siguiente ecuación exponencial que involucra bases distintas, extrayendo factor común en cada miembro: $2^{x+1} + 2^{x-1} = 3^{x} + 3^{x-2}$
Resuelve la siguiente ecuación exponencial que involucra bases distintas, extrayendo factor común en cada miembro:
$2^{x+1} + 2^{x-1} = 3^{x} + 3^{x-2}$
Ecuaciones logarítmicas
El proceso:
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Determina el dominio: cada argumento debe ser $>0$.
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Con las propiedades, deja un solo logaritmo en cada miembro:
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Si queda $\log_a N=\log_a M$, igualas los argumentos: $N=M$. Si queda $\log_a N=p$, usas la definición: $N=a^p$.
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Resuelves la ecuación que resulta.
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Comprueba cada solución en el dominio.
¿Por qué? El logaritmo no repite valores, así que igualar logaritmos de la misma base permite igualar los argumentos. Y $\log_aN=p$ significa justamente $a^p=N$.
Aplica las propiedades de los logaritmos para resolver la ecuación: $\log_2(x+3) + \log_2(x-3) = 4$
Aplica las propiedades de los logaritmos para resolver la ecuación:
$\log_2(x+3) + \log_2(x-3) = 4$
Aplica las propiedades de los logaritmos para agrupar los términos y resuelve la ecuación: $\log(x+1) - \log(x-1) = \log(x+4) - \log(x+1)$
Aplica las propiedades de los logaritmos para agrupar los términos y resuelve la ecuación:
$\log(x+1) - \log(x-1) = \log(x+4) - \log(x+1)$
Aplicaciones: crecimiento, interés y escalas
Las exponenciales y los logaritmos modelan el crecimiento de bacterias, el interés compuesto, la desintegración de un material o la energía de un sismo. Para despejar una incógnita del exponente se usa el logaritmo, y con $e$ se usa el logaritmo natural: $\ln e^x=x$. Para obtener el valor numérico final usa la calculadora o una herramienta tecnológica, y deja primero el resultado exacto (por ejemplo, $t=\dfrac{\ln 5}{0.2}$).
Vuelve al principio: el dinero de Yaritza se duplica en unos 9 años.
Una muestra de material radiactivo se desintegra de modo que la cantidad restante $M(t)$ en gramos tras $t$ años obedece a la expresión $M(t) = 200 \times e^{-0.05t}$.…
Una muestra de material radiactivo se desintegra de modo que la cantidad restante $M(t)$ en gramos tras $t$ años obedece a la expresión $M(t) = 200 \times e^{-0.05t}$. ¿Cuántos años deben transcurrir para que queden exactamente $50$ gramos de material? Expresa el resultado exacto usando logaritmos neperianos.
La energía $E$ (en ergios) liberada por un terremoto se relaciona con su magnitud $M$ en la escala de Richter mediante la ecuación $\log E = 11.8 + 1.5M$. Si un…
La energía $E$ (en ergios) liberada por un terremoto se relaciona con su magnitud $M$ en la escala de Richter mediante la ecuación $\log E = 11.8 + 1.5M$. Si un terremoto libera $1000$ veces más energía que otro cuya magnitud es de $4.2$, ¿cuál es la magnitud del primer terremoto en la escala de Richter?
Ecuaciones polinómicas de grado mayor que 2
Para resolver una ecuación como $x^3-7x+6=0$ se factoriza el polinomio con la división sintética (regla de Ruffini) y se aplica que un producto es cero cuando algún factor es cero. Es la aplicación directa de lo que ya sabes del teorema del factor.
La gráfica de $x^3-4x^2-x+4$ corta el eje $x$ en $-1$, $1$ y $4$: sus tres raíces.
Factoriza el polinomio y resuelve la ecuación de tercer grado: $x^3 - 4x^2 - x + 4 = 0$
Factoriza el polinomio y resuelve la ecuación de tercer grado:
$x^3 - 4x^2 - x + 4 = 0$
Se quiere construir una caja sin tapa a partir de una cartulina rectangular de $20 \times 15$ cm, recortando cuadrados iguales de lado $x$ en las esquinas y doblando los…
Se quiere construir una caja sin tapa a partir de una cartulina rectangular de $20 \times 15$ cm, recortando cuadrados iguales de lado $x$ en las esquinas y doblando los bordes. Si el volumen de la caja debe ser de $378\text{ cm}^3$, plantea la ecuación polinómica de tercer grado correspondiente y halla el valor de $x$, sabiendo que es un número entero.
Un número PIN de una tarjeta está formado por cuatro cifras enteras positivas, consecutivas y en orden creciente. Si formamos un polinomio mónico $P(x)$ de grado $4$…
Un número PIN de una tarjeta está formado por cuatro cifras enteras positivas, consecutivas y en orden creciente. Si formamos un polinomio mónico $P(x)$ de grado $4$ cuyas raíces sean exactamente esas cuatro cifras, resulta que su término independiente es igual a $24$. Determina el polinomio $P(x)$ desarrollado y el número PIN de cuatro cifras.
Ecuaciones racionales
El proceso: (1) halla los valores que anulan algún denominador (no pueden ser solución); (2) multiplica toda la ecuación por el común denominador; (3) resuelve la ecuación polinómica; (4) descarta las soluciones prohibidas.
Halla el valor de $x$ que verifica la siguiente ecuación con la incógnita en el denominador: $\frac{x}{x-2} + \frac{3}{x+2} = \frac{8}{x^2-4}$
Halla el valor de $x$ que verifica la siguiente ecuación con la incógnita en el denominador:
$\frac{x}{x-2} + \frac{3}{x+2} = \frac{8}{x^2-4}$
Resuelve la siguiente ecuación racional reduciéndola a una ecuación polinómica: $\frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} = 3$
Resuelve la siguiente ecuación racional reduciéndola a una ecuación polinómica:
$\frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} = 3$
Dos mangueras llenan un depósito en $6$ horas trabajando juntas. Si la primera manguera tarda $5$ horas menos que la segunda en llenar el depósito por sí sola, ¿cuánto…
Dos mangueras llenan un depósito en $6$ horas trabajando juntas. Si la primera manguera tarda $5$ horas menos que la segunda en llenar el depósito por sí sola, ¿cuánto tarda cada una? Plantea y resuelve la ecuación racional correspondiente.
Un ciclista viaja de un pueblo A a un pueblo B, separados por $60$ km, a una velocidad constante. En el viaje de vuelta, debido al viento en contra, su velocidad…
Un ciclista viaja de un pueblo A a un pueblo B, separados por $60$ km, a una velocidad constante. En el viaje de vuelta, debido al viento en contra, su velocidad disminuye en $5$ km/h, por lo que tarda $1$ hora más en realizar el mismo recorrido. Plantea la ecuación racional que modeliza la situación y determina la velocidad de ida.
Ecuaciones bicuadradas
Resuelve la siguiente ecuación bicuadrada encontrando todas sus soluciones reales: $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$
Resuelve la siguiente ecuación bicuadrada encontrando todas sus soluciones reales:
$x^4 - 13x^2 + 36 = 0$
La diagonal de un rectángulo mide $10$ cm y su área es de $48\text{ cm}^2$. Plantea una ecuación bicuadrada para hallar la longitud de sus lados y resuélvela.
La diagonal de un rectángulo mide $10$ cm y su área es de $48\text{ cm}^2$. Plantea una ecuación bicuadrada para hallar la longitud de sus lados y resuélvela.
Ecuaciones irracionales
El proceso: (1) deja un radical solo en un miembro; (2) eleva al cuadrado ambos miembros; (3) si queda otro radical, repite; (4) resuelve; (5) comprueba siempre en la ecuación original.
¿Por qué hay que comprobar? Al elevar al cuadrado, $a=b$ pasa a $a^2=b^2$, que también se cumple si $a=-b$. Entonces aparecen soluciones falsas.
Encuentra las soluciones reales de la ecuación irracional, comprobando la validez de las mismas: $\sqrt{2x+5} - x = 1$
Encuentra las soluciones reales de la ecuación irracional, comprobando la validez de las mismas:
$\sqrt{2x+5} - x = 1$
Resuelve la siguiente ecuación irracional con dos radicales y comprueba la solución obtenida: $\sqrt{x+4} + \sqrt{x-1} = 5$
Resuelve la siguiente ecuación irracional con dos radicales y comprueba la solución obtenida:
$\sqrt{x+4} + \sqrt{x-1} = 5$
Una torre de telecomunicaciones está situada en la orilla recta de un río. Se quiere tender un cable en línea recta desde un punto $P$ de la orilla hasta la torre, y…
Una torre de telecomunicaciones está situada en la orilla recta de un río. Se quiere tender un cable en línea recta desde un punto $P$ de la orilla hasta la torre, y otro cable desde $P$ hasta una cabaña situada a $5$ km río abajo de la torre y a $1$ km tierra adentro. Si la longitud total del cable utilizado es de $6$ km, plantea una ecuación irracional y determina a qué distancia de la torre se encuentra el punto $P$.
Ecuaciones con valor absoluto
El valor absoluto $|a|$ es la distancia de $a$ a 0, y $|x-2|=4$ significa «$x$ está a 4 unidades de 2».
Halla los valores de $x$ que cumplen la ecuación con valor absoluto: $|2x - 5| = 7$
Halla los valores de $x$ que cumplen la ecuación con valor absoluto:
$|2x - 5| = 7$
Encuentra todos los valores reales de $x$ que verifican la siguiente ecuación con valor absoluto cuadrático: $|x^2 - 5x + 4| = 2$
Encuentra todos los valores reales de $x$ que verifican la siguiente ecuación con valor absoluto cuadrático:
$|x^2 - 5x + 4| = 2$
Encuentra todas las soluciones reales de la ecuación con valor absoluto anidado: $||x - 2| - 3| = 1$
Encuentra todas las soluciones reales de la ecuación con valor absoluto anidado:
$||x - 2| - 3| = 1$
Ecuaciones mixtas y con parámetro
Algunas ecuaciones mezclan técnicas. Por ejemplo, una raíz igual a un valor absoluto: se eleva al cuadrado, se resuelve y se comprueba (como en las irracionales).
Con un parámetro hay que discutir: ver para qué valores hay soluciones y cuántas.
Determina para qué valores del parámetro $k$ la ecuación bicuadrada $x^4 - kx^2 + 9 = 0$ tiene exactamente dos soluciones reales distintas. Justifica razonadamente tu…
Determina para qué valores del parámetro $k$ la ecuación bicuadrada $x^4 - kx^2 + 9 = 0$ tiene exactamente dos soluciones reales distintas. Justifica razonadamente tu respuesta.
Resuelve el siguiente sistema no lineal que modeliza el cruce de dos trayectorias en el plano cartesiano: $y = \sqrt{x+2}$ e $y = |x|$. Determina los puntos de corte…
Resuelve el siguiente sistema no lineal que modeliza el cruce de dos trayectorias en el plano cartesiano: $y = \sqrt{x+2}$ e $y = |x|$. Determina los puntos de corte algebraicamente.