El método de Gauss
En un colmado, tres clientes compran refrescos, jugos y botellitas de agua en distintas cantidades y cada uno paga un total distinto. ¿Cuánto cuesta cada producto? Son tres incógnitas y tres ecuaciones, y no se resuelve a ojo. El método de Gauss transforma el sistema, paso a paso, en otro equivalente (con la misma solución) pero mucho más fácil: uno donde cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. Al final solo hay que leer el resultado de abajo hacia arriba.
Un sistema escalonado se resuelve de abajo a arriba
La última ecuación tiene una sola incógnita, así que se despeja directamente. Ese valor se sustituye en la ecuación de arriba, y así sucesivamente. Es la sustitución hacia atrás.
Si a un sistema le faltan incógnitas en algunas ecuaciones, ordena las incógnitas siempre en el mismo orden $x, y, z$ y deja huecos con coeficiente $0$.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales, que ya se encuentra en forma escalonada, utilizando el método de sustitución hacia atrás:…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales, que ya se encuentra en forma escalonada, utilizando el método de sustitución hacia atrás:
$\left\{ \begin{array}{rcl} x + 2y - z & = & 4 \\ 3y + z & = & 5 \\ 2z & = & 4 \end{array} \right.$
Resuelve el siguiente sistema en el que faltan algunas incógnitas en las ecuaciones, ordenándolas adecuadamente si lo consideras necesario:…
Resuelve el siguiente sistema en el que faltan algunas incógnitas en las ecuaciones, ordenándolas adecuadamente si lo consideras necesario:
$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y & = & 3 \\ y + z & = & 5 \\ x + z & = & 4 \end{array} \right.$
Transformaciones que no cambian la solución
Son las mismas operaciones de reducción que ya conoces de los sistemas $2\times 2$, aplicadas con un orden fijo: se usan para ir dejando ceros por debajo de la diagonal, ecuación a ecuación.
Un pequeño chequeo: si una terna es solución de un sistema, al sustituirla debe cumplir todas las ecuaciones. Eso sirve para hallar un coeficiente desconocido.
Halla el valor del coeficiente $a$ sabiendo que la terna $(1, -1, 2)$ es solución del siguiente sistema:…
Halla el valor del coeficiente $a$ sabiendo que la terna $(1, -1, 2)$ es solución del siguiente sistema:
$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 2 \\ 2x - y - z & = & 1 \\ x + ay + 2z & = & 8 \end{array} \right.$
Triangular paso a paso un sistema 3×3
La receta tiene dos fases. Primero, con $E_1$ se elimina la $x$ de $E_2$ y de $E_3$. Después, con $E_2$ se elimina la $y$ de $E_3$. Con eso el sistema queda escalonado.
Aplica el método de Gauss para triangular y resolver el siguiente sistema de ecuaciones:…
Aplica el método de Gauss para triangular y resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 6 \\ x - y + 2z & = & 5 \\ x + y - z & = & 0 \end{array} \right.$
Resuelve el siguiente sistema utilizando el método de Gauss, eliminando primero la variable $x$ de la segunda y tercera ecuación:…
Resuelve el siguiente sistema utilizando el método de Gauss, eliminando primero la variable $x$ de la segunda y tercera ecuación:
$\left\{ \begin{array}{rcl} x + 2y + z & = & 7 \\ 2x - y + 3z & = & 11 \\ -x + y - z & = & -4 \end{array} \right.$
Clasificar el sistema sin acabar de resolver
Al escalonar, en la última ecuación puede pasar algo inesperado: que desaparezcan todas las incógnitas.
Sin necesidad de resolverlo completamente, clasifica el siguiente sistema escalonado (como compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible) y justifica…
Sin necesidad de resolverlo completamente, clasifica el siguiente sistema escalonado (como compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible) y justifica tu respuesta:
$\left\{ \begin{array}{rcl} x - 3y + 2z & = & 1 \\ 2y - z & = & 4 \\ 0z & = & 7 \end{array} \right.$
Escribe la solución del siguiente sistema escalonado en función de un parámetro $\lambda$:…
Escribe la solución del siguiente sistema escalonado en función de un parámetro $\lambda$:
$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 3 \\ y - 2z & = & 2 \\ 0z & = & 0 \end{array} \right.$
Discutir un sistema con un parámetro
Discute la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $k$ y resuélvelo para el caso en el que sea compatible indeterminado:…
Discute la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $k$ y resuélvelo para el caso en el que sea compatible indeterminado:
$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y - z & = & 1 \\ 2x - y + z & = & 2 \\ x - 2y + 2z & = & k \end{array} \right.$
Estudia y discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función de los valores del parámetro $m$. Resuélvelo para $m = 2$.…
Estudia y discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función de los valores del parámetro $m$. Resuélvelo para $m = 2$.
$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 1 \\ 2x + my + z & = & 2 \\ x + y + mz & = & 3 \end{array} \right.$
Discute el siguiente sistema y encuentra el valor o valores de $a$ para los cuales el sistema es compatible indeterminado. Escribe la solución general para ese caso.…
Discute el siguiente sistema y encuentra el valor o valores de $a$ para los cuales el sistema es compatible indeterminado. Escribe la solución general para ese caso.
$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y - z & = & 10 \\ 2x - y + 3z & = & 20 \\ 5x - y + 5z & = & a \end{array} \right.$
Plantear un problema con tres incógnitas
La mayor parte de los problemas con Gauss se reducen a traducir el enunciado a ecuaciones. Los pasos son siempre los mismos.
Plantea un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y resuélvelo por Gauss: "Kenia tiene el triple de dinero que Berta. Berta tiene el doble de dinero que Ionut.…
Plantea un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y resuélvelo por Gauss: "Kenia tiene el triple de dinero que Berta. Berta tiene el doble de dinero que Ionut. Entre los tres juntan $27$ pesos. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?"
En una tienda de material deportivo se venden tres tipos de balones: de fútbol, de baloncesto y de voleibol. Un colegio compra $2$ balones de fútbol, $1$ de baloncesto y…
En una tienda de material deportivo se venden tres tipos de balones: de fútbol, de baloncesto y de voleibol. Un colegio compra $2$ balones de fútbol, $1$ de baloncesto y $1$ de voleibol por $4\,800$ pesos. Otro colegio compra $1$ de fútbol, $2$ de baloncesto y $1$ de voleibol por $5\,100$ pesos. Un tercer colegio compra $1$ de fútbol, $1$ de baloncesto y $2$ de voleibol por $4\,500$ pesos. Plantea un sistema de ecuaciones y resuélvelo por el método de Gauss para calcular el precio de cada tipo de balón.
La suma de las edades de un abuelo, su hijo y su nieto es de $190$ años. El abuelo tiene el triple de la edad del nieto. Además, se sabe que dentro de $10$ años, la edad…
La suma de las edades de un abuelo, su hijo y su nieto es de $190$ años. El abuelo tiene el triple de la edad del nieto. Además, se sabe que dentro de $10$ años, la edad del padre será el doble de la edad que tendrá el nieto en ese momento. Plantea un sistema de ecuaciones y halla las edades actuales de los tres.
Otros modelos: puntos, mezclas, inversiones y canastas
Muchos problemas distintos se traducen igual: cada dato del enunciado es una ecuación lineal.
Polinomio por tres puntos. Si la gráfica de $P(x)=ax^2+bx+c$ pasa por un punto $(x_0, y_0)$, entonces $P(x_0)=y_0$. Cada punto da una ecuación en $a$, $b$ y $c$.
Mezclas e inversiones. Se usan porcentajes: el $5\%$ de una cantidad $y$ es $0.05\,y$. Una ecuación suele ser el total (litros, pesos) y otra el resultado (ácido puro, intereses). Una condición del tipo «el doble de» o «igual a» da la tercera ecuación.
Halla los coeficientes $a$, $b$ y $c$ del polinomio $P(x) = ax^2 + bx + c$ sabiendo que su gráfica pasa por los puntos $A(-1, 4)$, $B(1, 2)$ y $C(2, 7)$.
Halla los coeficientes $a$, $b$ y $c$ del polinomio $P(x) = ax^2 + bx + c$ sabiendo que su gráfica pasa por los puntos $A(-1, 4)$, $B(1, 2)$ y $C(2, 7)$.
En un laboratorio de química se dispone de tres soluciones de un mismo ácido con concentraciones del $10\%$, $20\%$ y $50\%$. Se desea obtener una mezcla de $100$ litros…
En un laboratorio de química se dispone de tres soluciones de un mismo ácido con concentraciones del $10\%$, $20\%$ y $50\%$. Se desea obtener una mezcla de $100$ litros con una concentración del $30\%$. Sabiendo que el volumen utilizado de la solución al $10\%$ debe ser igual al volumen de la solución al $50\%$, plantea y resuelve un sistema mediante el método de Gauss para determinar cuántos litros de cada solución se deben mezclar.
Una empresa invierte un total de $1\,200\,000$ pesos en tres fondos de inversión diferentes, que ofrecen rentabilidades anuales del $4\%$, $5\%$ y $6\%$. Al cabo de un…
Una empresa invierte un total de $1\,200\,000$ pesos en tres fondos de inversión diferentes, que ofrecen rentabilidades anuales del $4\%$, $5\%$ y $6\%$. Al cabo de un año, los intereses totales generados ascienden a $58\,800$ pesos. Si el dinero invertido en el fondo al $5\%$ es el doble del invertido en el fondo al $6\%$, calcula qué cantidad se destinó a cada fondo utilizando el método de Gauss.
Problemas de cifras y de trabajo
Dos tipos de problemas necesitan un truco de planteo.
Cifras. Un número de tres cifras $\overline{abc}$ vale $100a+10b+c$. Al invertir las cifras vale $100c+10b+a$. La diferencia es $99(c-a)$, lo que simplifica mucho.
Trabajo. Si una máquina tarda $t$ horas sola, en una hora hace la fracción $\frac{1}{t}$ del lote. Si dos máquinas juntas tardan $12$ horas, en una hora hacen $\frac{1}{12}$ del lote entre las dos. Se toma como incógnita la rapidez (fracción por hora) de cada una, y al final se invierte.
En un partido de baloncesto, un equipo anotó un total de $80$ puntos mediante $42$ canastas (algunas de $1$ punto, otras de $2$ puntos y otras de $3$ puntos). Sabiendo…
En un partido de baloncesto, un equipo anotó un total de $80$ puntos mediante $42$ canastas (algunas de $1$ punto, otras de $2$ puntos y otras de $3$ puntos). Sabiendo que el número de canastas de $2$ puntos es igual a la suma de las canastas de $1$ y $3$ puntos más $5$, halla el número de canastas de cada tipo.
La suma de las tres cifras de un número es $15$. Si se invierte el orden de las cifras, el número obtenido es $198$ unidades mayor que el número original. Además, se…
La suma de las tres cifras de un número es $15$. Si se invierte el orden de las cifras, el número obtenido es $198$ unidades mayor que el número original. Además, se sabe que la cifra de las decenas es la media aritmética de la cifra de las centenas y la cifra de las unidades. Plantea un sistema de ecuaciones y halla el número original.
Tres máquinas, $A$, $B$ y $C$, trabajan en la producción de una fábrica. Si trabajan juntas $A$ y $B$, terminan un lote en $12$ horas. Si trabajan $B$ y $C$, lo terminan…
Tres máquinas, $A$, $B$ y $C$, trabajan en la producción de una fábrica. Si trabajan juntas $A$ y $B$, terminan un lote en $12$ horas. Si trabajan $B$ y $C$, lo terminan en $20$ horas. Si trabajan $A$ y $C$, lo terminan en $15$ horas. Plantea un sistema de ecuaciones lineales (pista: usa como incógnitas la fracción de trabajo que hace cada máquina en una hora) y calcula cuánto tardaría cada máquina en hacer el lote trabajando sola.
Casos especiales: fracciones, cambio de variable y más ecuaciones
Coeficientes fraccionarios. Multiplica cada ecuación por el mínimo común múltiplo de sus denominadores. Por ejemplo, $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=4$ multiplicada por $6$ es $3x+2y=24$. Obtienes un sistema equivalente con coeficientes enteros.
Cambio de variable. Si las incógnitas aparecen como $\frac{1}{x}$, $\frac{1}{y}$, $\frac{1}{z}$, llama $u=\frac{1}{x}$, $v=\frac{1}{y}$, $w=\frac{1}{z}$. El sistema pasa a ser lineal en $u$, $v$, $w$. Se resuelve y luego se deshace el cambio.
Más ecuaciones que incógnitas. Con cuatro ecuaciones y tres incógnitas se triangula igual. Al eliminar, alguna ecuación puede quedar $0=0$ (era redundante: se deducía de las demás) o $0=k\ne0$ (el sistema es incompatible).
Condición de compatibilidad. Si en un sistema los términos independientes son letras ($a$, $b$, $c$), al triangular la última ecuación puede quedar $0=$ una expresión con esas letras. Entonces el sistema solo tiene solución cuando esa expresión vale $0$: es la condición de compatibilidad. Significa que una ecuación es combinación de las otras y su término independiente debe ser la misma combinación; si no, se contradice con ellas.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales, operando previamente con las fracciones para obtener un sistema equivalente con coeficientes enteros:…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales, operando previamente con las fracciones para obtener un sistema equivalente con coeficientes enteros:
$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{x}{2} + \frac{y}{3} - z & = & 1 \\ x - \frac{y}{2} + \frac{z}{3} & = & 2 \\ \frac{x}{3} + y - \frac{z}{2} & = & 3 \end{array} \right.$
Resuelve el siguiente sistema que contiene cuatro ecuaciones y tres incógnitas. Indica si hay alguna ecuación redundante o si el sistema es incompatible:…
Resuelve el siguiente sistema que contiene cuatro ecuaciones y tres incógnitas. Indica si hay alguna ecuación redundante o si el sistema es incompatible:
$\left\{ \begin{array}{rcl} x - y + z & = & 2 \\ 2x + y - z & = & 1 \\ x + 2y - 2z & = & -1 \\ 3x + y + z & = & 5 \end{array} \right.$
Halla las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones no lineales realizando previamente un cambio de variable adecuado ($u = \frac{1}{x}$, $v = \frac{1}{y}$,…
Halla las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones no lineales realizando previamente un cambio de variable adecuado ($u = \frac{1}{x}$, $v = \frac{1}{y}$, $w = \frac{1}{z}$):
$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{1}{x} + \frac{2}{y} - \frac{1}{z} & = & 2 \\ \frac{2}{x} - \frac{1}{y} + \frac{3}{z} & = & 9 \\ \frac{3}{x} + \frac{3}{y} - \frac{2}{z} & = & 3 \end{array} \right.$
Geométricamente, una ecuación lineal con tres incógnitas representa un plano en el espacio. Resuelve el sistema formado por los planos $\pi_1$, $\pi_2$ y $\pi_3$,…
Geométricamente, una ecuación lineal con tres incógnitas representa un plano en el espacio. Resuelve el sistema formado por los planos $\pi_1$, $\pi_2$ y $\pi_3$, interpreta el resultado obtenido e indica qué figura geométrica forman en su intersección.
$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 3 \\ 2x - y + z & = & 2 \\ 3x + 2z & = & 5 \end{array} \right.$
Demuestra, utilizando el método de Gauss, que el sistema de ecuaciones:…
Demuestra, utilizando el método de Gauss, que el sistema de ecuaciones:
$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & a \\ x - y + z & = & b \\ 2x + 2z & = & c \end{array} \right.$
solo es compatible si se cumple la relación $a + b = c$. Explica el significado algebraico de esta condición.