Operaciones con complejos en forma polar y trigonométrica
Un dron de inspección de cultivos de arroz sale del origen y llega a un punto. Si el piloto quiere que gire 90° alrededor del origen sin acercarse ni alejarse, ¿cuántas cuentas necesita? En forma binómica multiplicar dos complejos obliga a desarrollar cuatro productos. En forma polar basta multiplicar dos números y sumar dos ángulos. Por eso la forma polar es la que se usa para potencias altas y raíces.
Recuerda la notación: $z=r_\theta$ es lo mismo que $z=r(\cos\theta+i\,\mathrm{sen}\,\theta)$, con módulo $r$ y argumento $\theta$.
Producto y cociente: módulos y argumentos por separado
Conjugado y opuesto
El conjugado de $r_\alpha$ es $r_{-\alpha}$ (simétrico respecto al eje real). El opuesto es $r_{\alpha+180^\circ}$ (mismo módulo, medio giro). Por ejemplo, para $z=7_{100^\circ}$: $\bar z=7_{-100^\circ}=7_{260^\circ}$ y $-z=7_{280^\circ}$.
Dados los números complejos $z_1 = 4_{30^\circ}$ y $z_2 = 3_{60^\circ}$, calcula su producto $z_1 \times z_2$ expresando el resultado en forma polar.
Dados los números complejos $z_1 = 4_{30^\circ}$ y $z_2 = 3_{60^\circ}$, calcula su producto $z_1 \times z_2$ expresando el resultado en forma polar.
Calcula el cociente $\frac{12_{150^\circ}}{3_{45^\circ}}$ y expresa el resultado en forma polar.
Calcula el cociente $\frac{12_{150^\circ}}{3_{45^\circ}}$ y expresa el resultado en forma polar.
Dado el número complejo $z = 3_{50^\circ}$, expresa su conjugado $\bar{z}$ y su opuesto $-z$ en forma polar.
Dado el número complejo $z = 3_{50^\circ}$, expresa su conjugado $\bar{z}$ y su opuesto $-z$ en forma polar.
Fórmula de Moivre: potencias
Elevar a una potencia es multiplicar varias veces. Al aplicar la regla del producto $n$ veces, el módulo queda $r^n$ y el argumento $n\alpha$.
Utilizando la fórmula de Moivre, calcula la potencia $(2_{40^\circ})^3$ y expresa el resultado en forma polar.
Utilizando la fórmula de Moivre, calcula la potencia $(2_{40^\circ})^3$ y expresa el resultado en forma polar.
Calcula el valor de $(1 - \sqrt{3}i)^5$. Para ello, transforma primero la base a forma polar, aplica la fórmula de Moivre y devuelve el resultado final en forma binómica.
Calcula el valor de $(1 - \sqrt{3}i)^5$. Para ello, transforma primero la base a forma polar, aplica la fórmula de Moivre y devuelve el resultado final en forma binómica.
Determina el menor número entero positivo $n$ para que el resultado de $(\sqrt{3} + i)^n$ sea un número real negativo.
Determina el menor número entero positivo $n$ para que el resultado de $(\sqrt{3} + i)^n$ sea un número real negativo.
El inverso: módulo inverso, argumento opuesto
Halla el inverso del número complejo $z = 5_{120^\circ}$ expresando el resultado final en forma polar.
Halla el inverso del número complejo $z = 5_{120^\circ}$ expresando el resultado final en forma polar.
Un barco navega en la dirección y distancia indicadas por el vector asociado al número complejo $z = 10_{30^\circ}$. Por motivos climáticos, el capitán decide realizar…
Un barco navega en la dirección y distancia indicadas por el vector asociado al número complejo $z = 10_{30^\circ}$. Por motivos climáticos, el capitán decide realizar un giro de $90^\circ$ en sentido antihorario manteniendo la misma distancia. ¿Por qué número complejo en forma polar debe multiplicar $z$ para obtener su nueva trayectoria, y cuál es la posición final?
Realiza la siguiente operación combinada y expresa el resultado en forma polar: $$ \frac{2_{20^\circ} \times 6_{70^\circ}}{4_{40^\circ}} $$
Realiza la siguiente operación combinada y expresa el resultado en forma polar:
$$ \frac{2_{20^\circ} \times 6_{70^\circ}}{4_{40^\circ}} $$Un dron de exploración submarina parte del origen y se desplaza en línea recta hasta el punto correspondiente al afijo del número complejo $z_1 = 2_{45^\circ}$ (en…
Un dron de exploración submarina parte del origen y se desplaza en línea recta hasta el punto correspondiente al afijo del número complejo $z_1 = 2_{45^\circ}$ (en kilómetros). A continuación, el centro de control le envía una instrucción que equivale a multiplicar su posición actual por el complejo $z_2 = 3_{90^\circ}$. Calcula las coordenadas polares de su posición final y explica qué transformación geométrica ha sufrido respecto a su vector de posición inicial.
Efectúa la siguiente operación con números complejos expresando el resultado final en forma polar: $$ \frac{(2_{30^\circ})^4 \times \sqrt{3}{150^\circ}}{4_{60^\circ}} $$
Efectúa la siguiente operación con números complejos expresando el resultado final en forma polar:
$$ \frac{(2_{30^\circ})^4 \times \sqrt{3}_{150^\circ}}{4_{60^\circ}} $$Raíces n-ésimas: $n$ soluciones en un polígono regular
La ecuación $x^2=4$ tiene dos soluciones reales, $\pm2$. En los complejos, $z^n=w$ (con $w\neq0$) tiene exactamente $n$ soluciones, y sus puntos del plano forman los vértices de un polígono regular de $n$ lados centrado en el origen.
Calcula las dos raíces cuadradas del número complejo $16_{120^\circ}$ y expresa los resultados en forma polar.
Calcula las dos raíces cuadradas del número complejo $16_{120^\circ}$ y expresa los resultados en forma polar.
Resuelve la ecuación $z^3 = -8i$. Pasa primero el número $-8i$ a forma polar antes de calcular las raíces y expresa los resultados finales tanto en forma polar como en…
Resuelve la ecuación $z^3 = -8i$. Pasa primero el número $-8i$ a forma polar antes de calcular las raíces y expresa los resultados finales tanto en forma polar como en forma binómica.
Resuelve la ecuación $z^4 + 81 = 0$ en el conjunto de los números complejos. Expresa las soluciones en forma polar y represéntalas gráficamente en el plano complejo (eje…
Resuelve la ecuación $z^4 + 81 = 0$ en el conjunto de los números complejos. Expresa las soluciones en forma polar y represéntalas gráficamente en el plano complejo (eje real horizontal y eje imaginario vertical).
Lados, perímetro y área del polígono de las raíces
Los puntos del plano complejo que representan las raíces son los vértices de un polígono regular inscrito en una circunferencia de radio $R=\sqrt[n]{s}$. Para medirlo necesitas la distancia entre dos puntos.
Para el área de un triángulo con vértices $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$, $(x_3,y_3)$ puedes usar $A=\dfrac12\left|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)\right|$. Si es equilátero de lado $\ell$, basta $A=\dfrac{\sqrt3}{4}\ell^2$.
Halla el área del triángulo cuyos vértices son los afijos de las raíces cúbicas del número complejo $z = 64_{90^\circ}$.
Halla el área del triángulo cuyos vértices son los afijos de las raíces cúbicas del número complejo $z = 64_{90^\circ}$.
Un radar de tráfico aéreo detecta tres aviones cuyas posiciones forman un triángulo equilátero centrado en la torre de control (situada en el origen de coordenadas). Si…
Un radar de tráfico aéreo detecta tres aviones cuyas posiciones forman un triángulo equilátero centrado en la torre de control (situada en el origen de coordenadas). Si uno de los aviones se encuentra en la posición descrita por el número complejo $z_1 = 4 + 4\sqrt{3}i$ (en kilómetros), determina la posición de los otros dos aviones en forma polar y calcula la distancia en línea recta que separa a dos aviones cualesquiera.
Un sistema de encriptación genera claves basadas en las coordenadas de los afijos de las soluciones de la ecuación $z^5 + 32 = 0$. Calcula todas las soluciones en forma…
Un sistema de encriptación genera claves basadas en las coordenadas de los afijos de las soluciones de la ecuación $z^5 + 32 = 0$. Calcula todas las soluciones en forma polar y determina el perímetro del polígono regular que forman.
Problemas combinados
Los problemas más difíciles mezclan las reglas anteriores. Estrategia: (1) pasa todo a polar, (2) traduce las condiciones en ecuaciones para módulos y argumentos, (3) resuelve y (4) comprueba.
En un circuito de corriente alterna, la impedancia total $Z_T$ de dos componentes conectados en paralelo se calcula mediante la fórmula…
En un circuito de corriente alterna, la impedancia total $Z_T$ de dos componentes conectados en paralelo se calcula mediante la fórmula $\frac{1}{Z_T} = \frac{1}{Z_1} + \frac{1}{Z_2}$. Si las impedancias de los componentes son $Z_1 = 10_{30^\circ} \ \Omega$ y $Z_2 = 10_{-30^\circ} \ \Omega$, halla la impedancia total $Z_T$ en forma polar. Pista: pasa a forma binómica para realizar la suma.
Utiliza la fórmula de Moivre para desarrollar la potencia $(\cos \alpha + i \sin \alpha)^3$. A partir del resultado, igualando las partes reales e imaginarias, demuestra…
Utiliza la fórmula de Moivre para desarrollar la potencia $(\cos \alpha + i \sin \alpha)^3$. A partir del resultado, igualando las partes reales e imaginarias, demuestra las identidades trigonométricas del ángulo triple:
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$\cos(3\alpha) = 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha$
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$\sin(3\alpha) = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha$
Resuelve la ecuación $(z - 2i)^4 = 16_{180^\circ}$. Expresa las cuatro soluciones de $z$ en forma binómica.
Resuelve la ecuación $(z - 2i)^4 = 16_{180^\circ}$. Expresa las cuatro soluciones de $z$ en forma binómica.
En el diseño del software de un brazo robótico, la posición final del efector se calcula aplicando una rotación y un escalado a su posición inicial $z_0 = 5_{20^\circ}$.…
En el diseño del software de un brazo robótico, la posición final del efector se calcula aplicando una rotación y un escalado a su posición inicial $z_0 = 5_{20^\circ}$. Esta transformación equivale a multiplicar $z_0$ por la raíz cúbica del número complejo $W = 27_{150^\circ}$ que tiene su argumento en el primer cuadrante. Determina la posición final del efector en forma polar y el ángulo total de rotación aplicado respecto a la posición inicial.
Halla dos números complejos $z_1$ y $z_2$ en forma polar sabiendo que cumplen simultáneamente las siguientes condiciones: Su cociente $\frac{z_1}{z_2}$ es igual a…
Halla dos números complejos $z_1$ y $z_2$ en forma polar sabiendo que cumplen simultáneamente las siguientes condiciones:
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Su cociente $\frac{z_1}{z_2}$ es igual a $2_{150^\circ}$
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Su producto $z_1 \times z_2$ es igual a $18_{90^\circ}$
Calcula la suma de las seis raíces sextas de la unidad ($z^6 = 1$). Justifica tu respuesta de dos formas distintas: algebraicamente (utilizando la suma de una progresión…
Calcula la suma de las seis raíces sextas de la unidad ($z^6 = 1$). Justifica tu respuesta de dos formas distintas: algebraicamente (utilizando la suma de una progresión geométrica o las propiedades de las raíces) y geométricamente (interpretando los afijos como vectores).
Determina todos los números complejos $z$ expresados en forma polar que cumplen la ecuación $z^3 = (\bar{z})^2$, donde $\bar{z}$ es el conjugado de $z$.
Determina todos los números complejos $z$ expresados en forma polar que cumplen la ecuación $z^3 = (\bar{z})^2$, donde $\bar{z}$ es el conjugado de $z$.