Progresiones aritméticas
Yaritza se inscribe en un plan de entrenamiento para correr el Maratón de Santo Domingo: el primer día corre 12 km y cada día aumenta la misma cantidad. ¿Qué día llegará a 42 km? ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido en total? Cuando a cada término se le suma siempre una cantidad fija, tienes una progresión aritmética. En este apartado aprenderás a demostrar sus fórmulas y a usarlas en problemas con ecuaciones y sistemas.
Término general y diferencia
¿Por qué? Para llegar de $a_1$ a $a_n$ das $n-1$ saltos, y cada salto suma $d$. Eso es toda la demostración: $a_n = a_1 + \underbrace{d + d + \dots + d}_{n-1}$.
Para comprobar si una sucesión de término general conocido es aritmética, calcula $a_{n+1}-a_n$: si el resultado no depende de $n$, es la diferencia. Por ejemplo, con $b_n = 5-3n$: $b_{n+1}-b_n = (5-3n-3)-(5-3n) = -3$. Es constante, así que es aritmética con $d=-3$.
Para saber si un número pertenece a la progresión, iguala $a_n$ a ese número y resuelve: si $n$ sale natural, está en esa posición; si no, no pertenece.
Escribe el término general y calcula el término vigésimo de la siguiente progresión aritmética: $7, 11, 15, 19, \dots$
Escribe el término general y calcula el término vigésimo de la siguiente progresión aritmética: $7, 11, 15, 19, \dots$
Dada la sucesión definida por el término general $b_n = 5 - 3n$, demuestra que se trata de una progresión aritmética y determina el valor de su diferencia.
Dada la sucesión definida por el término general $b_n = 5 - 3n$, demuestra que se trata de una progresión aritmética y determina el valor de su diferencia.
Averigua si el número $102$ pertenece a la progresión aritmética cuyo término general es $c_n = 4n - 6$. En caso afirmativo, indica qué posición ocupa en la sucesión.
Averigua si el número $102$ pertenece a la progresión aritmética cuyo término general es $c_n = 4n - 6$. En caso afirmativo, indica qué posición ocupa en la sucesión.
Los tres primeros términos de una progresión aritmética son $x$, $x+4$ y $2x-1$. Calcula el valor numérico de $x$ y escribe cuáles son esos tres primeros términos.
Los tres primeros términos de una progresión aritmética son $x$, $x+4$ y $2x-1$. Calcula el valor numérico de $x$ y escribe cuáles son esos tres primeros términos.
Hallar datos con ecuaciones y sistemas
Si conoces dos términos no consecutivos, puedes plantear un sistema con $a_1$ y $d$ como incógnitas, o contar los «saltos» entre ellos.
El octavo término de una progresión aritmética es $32$ y su diferencia es $d = 4$. Halla el primer término $a_1$ y la expresión de su término general $a_n$.
El octavo término de una progresión aritmética es $32$ y su diferencia es $d = 4$. Halla el primer término $a_1$ y la expresión de su término general $a_n$.
En una progresión aritmética se sabe que el cuarto término es $15$ y el décimo término es $39$. Plantea un sistema de ecuaciones para calcular la diferencia $d$ y el…
En una progresión aritmética se sabe que el cuarto término es $15$ y el décimo término es $39$. Plantea un sistema de ecuaciones para calcular la diferencia $d$ y el primer término $a_1$. Posteriormente, halla la suma de los $20$ primeros términos de dicha progresión.
Interpola cinco medios aritméticos entre los números $-8$ y $22$. Escribe la progresión aritmética completa resultante indicando su diferencia.
Interpola cinco medios aritméticos entre los números $-8$ y $22$. Escribe la progresión aritmética completa resultante indicando su diferencia.
Determina los valores del parámetro $k$ para que las expresiones algebraicas $k^2 - 2$, $3k + 1$ y $k^2 + 4k$ sean tres términos consecutivos de una progresión…
Determina los valores del parámetro $k$ para que las expresiones algebraicas $k^2 - 2$, $3k + 1$ y $k^2 + 4k$ sean tres términos consecutivos de una progresión aritmética. Para cada valor de $k$ hallado, escribe los tres términos correspondientes.
La suma de los términos
La leyenda cuenta que el pequeño Gauss sumó de 1 a 100 en segundos: emparejó $1+100$, $2+99$, $3+98$… y cada pareja suma $101$. Hay $50$ parejas, así que el total es $5{,}050$.
Demostración. Escribe la suma dos veces, una al revés:
$S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$
$S_n = a_n + a_{n-1} + \dots + a_1$
Al sumar columna a columna, cada pareja vale $a_1+a_n$ (porque al avanzar un término en una fila y retroceder en la otra, lo que se suma y se resta es $d$). Hay $n$ parejas: $2S_n = n(a_1+a_n)$.
También sirve $S_n = \dfrac{n\,[2a_1+(n-1)d]}{2}$, que se obtiene sustituyendo $a_n$.
Para sumar los términos desde la posición $p$ hasta la $q$ (inclusive) puedes restar: $S_q - S_{p-1}$. O bien tratarlos como una progresión de $q-p+1$ términos, con primer término $a_p$ y último $a_q$.
Calcula la suma de los primeros $30$ términos de una progresión aritmética sabiendo que el primer término es $a_1 = 4$ y el trigésimo término es $a_{30} = 91$.
Calcula la suma de los primeros $30$ términos de una progresión aritmética sabiendo que el primer término es $a_1 = 4$ y el trigésimo término es $a_{30} = 91$.
Calcula la suma de los primeros $50$ múltiplos positivos de $6$ (es decir, la suma de la sucesión $6, 12, 18, \dots$).
Calcula la suma de los primeros $50$ múltiplos positivos de $6$ (es decir, la suma de la sucesión $6, 12, 18, \dots$).
En una progresión aritmética, el primer término es $a_1 = 3$ y la diferencia es $d = 2$. Si la suma de los $n$ primeros términos es $S_n = 360$, plantea la ecuación de…
En una progresión aritmética, el primer término es $a_1 = 3$ y la diferencia es $d = 2$. Si la suma de los $n$ primeros términos es $S_n = 360$, plantea la ecuación de segundo grado correspondiente y determina el número de términos $n$ que se han sumado.
En una progresión aritmética de diferencia $d = 3$, el primer término es $a_1 = -10$. Calcula la suma de los términos comprendidos entre la posición $20$ y la posición…
En una progresión aritmética de diferencia $d = 3$, el primer término es $a_1 = -10$. Calcula la suma de los términos comprendidos entre la posición $20$ y la posición $40$, ambas inclusive.
Problemas y préstamos
Pregúntate siempre: ¿se suma lo mismo cada vez? ¿Me piden un término o una suma? ¿Cuántos términos hay?
Interés simple
Si depositas un capital $C$ en una cooperativa al interés simple anual $i$, cada año se paga el mismo interés $Ci$ sobre el capital original. El capital acumulado es una progresión aritmética: $a_t = C + t\cdot Ci$, con diferencia $d = Ci$.
Préstamos con cuotas crecientes
Una empresa constructora establece un plan de bonificaciones mensuales para motivar a sus empleados. El primer mes un empleado recibe $3\,000$ pesos, el segundo mes…
Una empresa constructora establece un plan de bonificaciones mensuales para motivar a sus empleados. El primer mes un empleado recibe $3\,000$ pesos, el segundo mes $3\,900$ pesos, el tercer mes $4\,800$ pesos, y así sucesivamente. ¿Cuánto dinero en total habrá recibido el empleado en concepto de bonificaciones al cabo de $2$ años completos de trabajo?
Una ciclista comienza su plan de entrenamiento recorriendo $12$ km el primer día. Para mejorar su resistencia, cada día aumenta la distancia de su recorrido en $1.5$ km…
Una ciclista comienza su plan de entrenamiento recorriendo $12$ km el primer día. Para mejorar su resistencia, cada día aumenta la distancia de su recorrido en $1.5$ km respecto al día anterior. ¿En qué día de su entrenamiento recorrerá exactamente $42$ km? ¿Cuántos kilómetros totales habrá recorrido sumando todos los días hasta ese día inclusive?
Un teatro tiene sus butacas distribuidas en forma de abanico. La primera fila tiene $20$ butacas, la segunda $24$, la tercera $28$, y así sucesivamente en progresión…
Un teatro tiene sus butacas distribuidas en forma de abanico. La primera fila tiene $20$ butacas, la segunda $24$, la tercera $28$, y así sucesivamente en progresión aritmética. Si el teatro tiene un total de $15$ filas, ¿cuántas butacas hay en la última fila? ¿Cuál es el aforo total (número total de butacas) del teatro?
Un objeto en caída libre en un planeta ficticio recorre $4.9$ m en el primer segundo. En cada segundo posterior, la distancia recorrida durante ese segundo aumenta en…
Un objeto en caída libre en un planeta ficticio recorre $4.9$ m en el primer segundo. En cada segundo posterior, la distancia recorrida durante ese segundo aumenta en $9.8$ m respecto a la distancia recorrida en el segundo anterior. ¿Qué distancia recorre el objeto exclusivamente durante el décimo segundo de su caída?
Para repoblar un bosque tras un incendio, una brigada forestal planta árboles de manera progresiva. La primera semana logran plantar $120$ árboles, pero debido a la…
Para repoblar un bosque tras un incendio, una brigada forestal planta árboles de manera progresiva. La primera semana logran plantar $120$ árboles, pero debido a la fatiga acumulada y a la menor disponibilidad de terreno accesible, cada semana plantan $5$ árboles menos que la semana anterior. ¿Cuántas semanas transcurrirán hasta que la brigada haya plantado un total exacto de $1470$ árboles? (Nota: Analiza matemáticamente las posibles soluciones y justifica cuál tiene sentido en el contexto del problema).
Los ángulos interiores de un hexágono convexo están en progresión aritmética. Si se sabe que el ángulo mayor mide $140^\circ$, calcula la medida de los otros cinco…
Los ángulos interiores de un hexágono convexo están en progresión aritmética. Si se sabe que el ángulo mayor mide $140^\circ$, calcula la medida de los otros cinco ángulos interiores del hexágono. (Recuerda que la suma de los ángulos interiores de un polígono de $n$ lados es $180^\circ \times (n-2)$).
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En un almacén industrial se apilan tubos de acero cilíndricos de forma que cada fila tiene exactamente un tubo menos que la fila inmediatamente inferior sobre la que se apoya. Si la fila más alta (la cúspide) tiene $1$ solo tubo y en total hay $210$ tubos apilados, ¿cuántas filas de tubos componen el apilamiento? ¿Cuántos tubos hay en la fila base apoyada en el suelo?
Una empresa adquiere una máquina industrial por $1\,920\,000$ pesos y llega a un acuerdo para pagarla en cuotas mensuales que forman una progresión aritmética. Si se…
Una empresa adquiere una máquina industrial por $1\,920\,000$ pesos y llega a un acuerdo para pagarla en cuotas mensuales que forman una progresión aritmética. Si se sabe que la primera cuota a pagar es de $30\,000$ pesos y la última cuota será de $162\,000$ pesos, ¿en cuántos meses saldará la empresa su deuda? ¿Cuál es el incremento mensual exacto de la cuota respecto al mes anterior?
Demostraciones con progresiones
Algunos ejercicios piden demostrar. Dos ideas bastan:
Para tres números en progresión aritmética conviene escribirlos como $x-d,\ x,\ x+d$: así la suma es $3x$ y se simplifica mucho. Además, $a,b,c$ están en progresión aritmética exactamente cuando $2b=a+c$.
La suma de los $n$ primeros términos de una sucesión viene dada por la expresión $S_n = 2n^2 + 5n$. Encuentra la expresión matemática del término general $a_n$ y…
La suma de los $n$ primeros términos de una sucesión viene dada por la expresión $S_n = 2n^2 + 5n$. Encuentra la expresión matemática del término general $a_n$ y demuestra rigurosamente que dicha sucesión es una progresión aritmética.
Encuentra tres números que estén en progresión aritmética sabiendo que su suma es $24$ y que la suma de sus cuadrados es $242$.
Encuentra tres números que estén en progresión aritmética sabiendo que su suma es $24$ y que la suma de sus cuadrados es $242$.
Demuestra algebraicamente que si los números $a^2$, $b^2$ y $c^2$ están en progresión aritmética, entonces los números $\frac{1}{b+c}$, $\frac{1}{a+c}$ y $\frac{1}{a+b}$…
Demuestra algebraicamente que si los números $a^2$, $b^2$ y $c^2$ están en progresión aritmética, entonces los números $\frac{1}{b+c}$, $\frac{1}{a+c}$ y $\frac{1}{a+b}$ también forman una progresión aritmética.
Vuelve al principio: Yaritza corre $a_n = 12+(n-1)d$ km; con el $d$ que indique su plan, resuelves $a_n=42$ para el día y usas $S_n$ para el total.