Ecuación de segundo grado
Cuatro amigos de un liceo de Santiago quieren alquilar un velero en Samaná para el fin de semana. Si dos se echan para atrás, a los demás les toca pagar más. ¿Cuántos eran al principio? Esa situación se resuelve con una ecuación de segundo grado, y al final de la página vas a poder plantearla y resolverla. Desde 2° sabes aplicar la fórmula general; en 6° la usas como herramienta: analizas las raíces sin resolver, las relacionas con los números complejos y reduces ecuaciones más complicadas a ella.
Forma general y fórmula
Mueve los deslizadores y observa dónde la parábola corta el eje $x$: esos cortes son las soluciones.
Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado completa aplicando la fórmula general: $x^2 - 7x + 10 = 0$
Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado completa aplicando la fórmula general:
$x^2 - 7x + 10 = 0$
Incompletas: resolver sin la fórmula general
Encuentra las soluciones de la siguiente ecuación de segundo grado incompleta, extrayendo factor común: $3x^2 - 12x = 0$
Encuentra las soluciones de la siguiente ecuación de segundo grado incompleta, extrayendo factor común:
$3x^2 - 12x = 0$
Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado incompleta despejando directamente la incógnita: $2x^2 - 18 = 0$
Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado incompleta despejando directamente la incógnita:
$2x^2 - 18 = 0$
El discriminante y las raíces complejas
Cuando $\Delta<0$, escribe $\sqrt{\Delta}=\sqrt{-\Delta}\,i$ y las raíces son $x=\dfrac{-b}{2a}\pm\dfrac{\sqrt{-\Delta}}{2a}\,i$. Son números complejos conjugados: tienen la misma parte real y partes imaginarias opuestas.
Sin llegar a resolver la ecuación, determina el número de soluciones reales que tiene calculando el valor de su discriminante: $5x^2 - 3x + 2 = 0$
Sin llegar a resolver la ecuación, determina el número de soluciones reales que tiene calculando el valor de su discriminante:
$5x^2 - 3x + 2 = 0$
Determina el valor (o valores) del parámetro $k$ para que la ecuación $x^2 - kx + 9 = 0$ tenga una única solución real doble.
Determina el valor (o valores) del parámetro $k$ para que la ecuación $x^2 - kx + 9 = 0$ tenga una única solución real doble.
Cardano-Vieta: suma y producto sin resolver
Dada la ecuación $4x^2 - 5x - 9 = 0$, calcula la suma y el producto de sus raíces utilizando las relaciones de Cardano-Vieta, sin necesidad de resolver la ecuación.
Dada la ecuación $4x^2 - 5x - 9 = 0$, calcula la suma y el producto de sus raíces utilizando las relaciones de Cardano-Vieta, sin necesidad de resolver la ecuación.
Ecuaciones con parámetro y cambio de variable
Dos situaciones aparecen mucho: una ecuación con una letra extra (un parámetro, como $m$ o $k$) de la que se pide discutir las soluciones, y una ecuación de aspecto complicado que un cambio de variable reduce a una de segundo grado.
En la ecuación paramétrica $2x^2 + mx + 15 = 0$, se sabe que una de las soluciones es $x = 3$. Sin necesidad de usar la fórmula general, calcula el valor del parámetro…
En la ecuación paramétrica $2x^2 + mx + 15 = 0$, se sabe que una de las soluciones es $x = 3$. Sin necesidad de usar la fórmula general, calcula el valor del parámetro $m$ y halla la otra solución.
Discute el número de soluciones reales de la ecuación $(m-1)x^2 - 2mx + (m+2) = 0$ en función de los distintos valores que puede tomar el parámetro $m$.
Discute el número de soluciones reales de la ecuación $(m-1)x^2 - 2mx + (m+2) = 0$ en función de los distintos valores que puede tomar el parámetro $m$.
Resuelve la siguiente ecuación de cuarto grado realizando un cambio de variable adecuado para transformarla en una ecuación de segundo grado:…
Resuelve la siguiente ecuación de cuarto grado realizando un cambio de variable adecuado para transformarla en una ecuación de segundo grado:
$(x^2 - 3x)^2 - 2(x^2 - 3x) - 8 = 0$
Problemas de segundo grado
Para plantear un problema: nombra la incógnita, escribe la relación como ecuación, llévala a la forma $ax^2+bx+c=0$, resuélvela y descarta las soluciones sin sentido (longitudes o tiempos negativos, números no enteros si se piden enteros).
Vuelve al principio: el problema del velero (ejercicio de abajo) se resuelve igual que el ejemplo de la lancha, planteando el costo por persona antes y después.
En un experimento de física, se lanza un cohete de agua verticalmente hacia arriba. Su altura $h$ en metros respecto al suelo, en función del tiempo $t$ en segundos,…
En un experimento de física, se lanza un cohete de agua verticalmente hacia arriba. Su altura $h$ en metros respecto al suelo, en función del tiempo $t$ en segundos, viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Determina en qué instante o instantes el cohete se encuentra exactamente a $17$ metros de altura.
Se quiere enmarcar una fotografía de $20 \text{ cm}$ de alto por $30 \text{ cm}$ de ancho con un marco de madera de ancho uniforme $x$. Si el área total del marco (sin…
Se quiere enmarcar una fotografía de $20 \text{ cm}$ de alto por $30 \text{ cm}$ de ancho con un marco de madera de ancho uniforme $x$. Si el área total del marco (sin contar la fotografía) es de $216 \text{ cm}^2$, plantea una ecuación y halla el ancho del marco.
El producto de dos números enteros impares consecutivos es $323$. Plantea una ecuación de segundo grado y resuelve para hallar cuáles son esos dos números. ¿Hay más de…
El producto de dos números enteros impares consecutivos es $323$. Plantea una ecuación de segundo grado y resuelve para hallar cuáles son esos dos números. ¿Hay más de una pareja posible?
En un triángulo rectángulo de catetos $6 \text{ cm}$ y $8 \text{ cm}$, se inscribe un rectángulo de forma que dos de sus lados estén sobre los catetos y uno de sus…
En un triángulo rectángulo de catetos $6 \text{ cm}$ y $8 \text{ cm}$, se inscribe un rectángulo de forma que dos de sus lados estén sobre los catetos y uno de sus vértices sobre la hipotenusa. Si el área del rectángulo debe ser exactamente de $12 \text{ cm}^2$, plantea una ecuación de segundo grado y halla las dimensiones posibles del rectángulo.
Un grupo de amigos decide alquilar un velero para el fin de semana por un costo total de $21\,600$ pesos, que acuerdan pagar a partes iguales. En el último momento, dos…
Un grupo de amigos decide alquilar un velero para el fin de semana por un costo total de $21\,600$ pesos, que acuerdan pagar a partes iguales. En el último momento, dos de los amigos no pueden asistir, lo que obliga al resto del grupo a pagar $540$ pesos más cada uno para cubrir el costo total. Plantea una ecuación que se reduzca a segundo grado para determinar cuántos amigos conformaban el grupo original.