Área bajo una curva
Un carpintero de Santiago de los Caballeros diseña un arco parabólico para la entrada de un taller y necesita saber cuánta lámina cubre esa forma. Los triángulos, los trapecios y los círculos tienen fórmula, pero un arco curvo no. ¿Cuál es, por ejemplo, el área de la región entre la curva $f(x)=x^2$, el eje $OX$ y las rectas $x=0$ y $x=2$? La integral definida nace para resolver este problema.
Aproximar el área con rectángulos
Si no sabes calcular el área de una forma curva, aproxímala con formas que sí sabes calcular. Divide el intervalo $[a,b]$ en trozos estrechos de anchura $\Delta x$ y, en cada trozo, levanta un rectángulo cuya altura sea el valor de $f(x)$ en ese trozo.
Cuantos más rectángulos uses (más estrechos), menos "sobra" o "falta" entre el escalón y la curva, y la suma de sus áreas se acerca más al área verdadera.
Cuando $f$ es constante, los rectángulos coinciden con el propio recinto: el área es exacta desde el primer rectángulo.
Un ejemplo con física: el espacio recorrido es el área bajo la gráfica de velocidad contra tiempo. Un patinador eléctrico que va a velocidad constante recorre $\int_0^{0.5} 12\,dt$ km en media hora.
En física, el espacio recorrido por un objeto se puede calcular como el área bajo la curva en una gráfica de velocidad frente a tiempo. Si un patinador eléctrico se…
En física, el espacio recorrido por un objeto se puede calcular como el área bajo la curva en una gráfica de velocidad frente a tiempo. Si un patinador eléctrico se mueve con una velocidad constante de $v(t) = 12$ km/h durante la primera media hora ($t = 0.5$ h), plantea y calcula la integral definida que representa la distancia recorrida en ese tiempo.
La integral definida: notación y significado
Cuando el número de rectángulos crece sin límite ($n\to\infty$ y $\Delta x\to 0$), la suma de sus áreas se estabiliza en un número. Ese número es la integral definida de $f$ entre $a$ y $b$.
Cuando $f$ es siempre positiva en $[a,b]$, $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ es exactamente el área entre la curva y el eje $OX$. Si $f$ es una función sencilla, puedes comprobar que la integral coincide con el área calculada por geometría.
Para calcular con la regla de Barrow, halla una antiderivada $F$ del integrando y evalúa $F(b)-F(a)$.
Considera la función lineal $f(x) = \frac{1}{2}x + 1$. Se pide calcular el área de la región sombreada en el gráfico, limitada por la función, el eje $OX$ y las rectas…
Considera la función lineal $f(x) = \frac{1}{2}x + 1$. Se pide calcular el área de la región sombreada en el gráfico, limitada por la función, el eje $OX$ y las rectas verticales $x = 0$ y $x = 4$. Para ello:
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Calcula el valor del área utilizando fórmulas geométricas elementales (área de un trapecio).
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Calcula la integral definida $\int_{0}^{4} (\frac{1}{2}x + 1) \, dx$ aplicando la regla de Barrow y comprueba que ambos resultados coinciden.
Calcula el valor de la integral definida de la función polinómica $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$ en el intervalo $[1, 2]$. Es decir, obtén el resultado de: $$\int_{1}^{2} (3x^2…
Calcula el valor de la integral definida de la función polinómica $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$ en el intervalo $[1, 2]$. Es decir, obtén el resultado de:
$$\int_{1}^{2} (3x^2 - 2x + 5) \, dx$$Halla el valor de un parámetro positivo $k$ sabiendo que el área de la región limitada por la parábola $f(x) = kx^2$ y el eje $OX$ entre $x = 0$ y $x = 3$ es exactamente…
Halla el valor de un parámetro positivo $k$ sabiendo que el área de la región limitada por la parábola $f(x) = kx^2$ y el eje $OX$ entre $x = 0$ y $x = 3$ es exactamente de $18$ unidades cuadradas.
El signo de la integral: áreas por debajo del eje
Una suma de Riemann no distingue "arriba" de "abajo": si $f(x)<0$, cada rectángulo tiene altura negativa y entra en la suma con signo negativo.
Para hallar el área entre una parábola y el eje $OX$, primero busca los cortes con el eje (las raíces) y úsalos como límites.
Un caso típico: un túnel de lavado de carros con parte superior $f(x)=-x^2+4$ y apoyos en $x=-2$ y $x=2$. Como $f\ge 0$ en $[-2,2]$, el área es directamente la integral.
Halla el área del recinto plano limitado por la gráfica de la función $f(x) = x^2 - 9$ y el eje de abscisas ($OX$).
Halla el área del recinto plano limitado por la gráfica de la función $f(x) = x^2 - 9$ y el eje de abscisas ($OX$).
Un túnel de lavado para carros tiene una estructura metálica cuya parte superior sigue la forma de la parábola $f(x) = -x^2 + 4$. Calcula el área de la superficie plana…
Un túnel de lavado para carros tiene una estructura metálica cuya parte superior sigue la forma de la parábola $f(x) = -x^2 + 4$. Calcula el área de la superficie plana (frontal) limitada por la estructura de la parábola y el suelo (eje $OX$), sabiendo que los puntos de apoyo en el suelo son $x = -2$ y $x = 2$.
Calcula el área del recinto plano limitado por la gráfica de la función $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ y el eje de abscisas $OX$. Representa gráficamente el recinto antes de…
Calcula el área del recinto plano limitado por la gráfica de la función $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ y el eje de abscisas $OX$. Representa gráficamente el recinto antes de realizar los cálculos para identificar los puntos de corte.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Un arquitecto está diseñando la entrada de un túnel cuya sección frontal se puede modelar mediante la función $f(x) = 4 - \frac{1}{4}x^2$, donde $x$ e $y$ están…
Un arquitecto está diseñando la entrada de un túnel cuya sección frontal se puede modelar mediante la función $f(x) = 4 - \frac{1}{4}x^2$, donde $x$ e $y$ están expresados en metros. El suelo del túnel coincide con el eje $OX$. Calcula el área de la sección transversal de la entrada del túnel.
Funciones que cambian de signo: hay que partir la integral
Si $f$ es positiva en una parte de $[a,b]$ y negativa en otra, la integral mezcla áreas positivas y negativas y no da el área total (las partes se pueden cancelar). Localiza los puntos donde $f$ corta al eje $OX$ y separa la integral en tantos trozos como cambios de signo haya.
Cuando la función lleva valor absoluto, como $f(x)=|x^2-1|$, escríbela por tramos: $x^2-1$ donde $x^2-1\ge0$ y $-(x^2-1)$ donde es negativo. Así se parte la integral en los puntos donde el argumento se anula.
Una propiedad útil para los ejercicios con datos: si $\int_1^4 f=7$ y $\int_4^6 f=-3$, entonces $\int_1^6 f=7+(-3)=4$. Además, al invertir los límites cambia el signo: $\int_4^1 2f(x)\,dx=-2\cdot 7=-14$.
Calcula el área total de la región comprendida entre la recta $f(x) = x - 2$, el eje $OX$ y las rectas verticales $x = 0$ y $x = 3$. Nota: Observa que la función corta…
Calcula el área total de la región comprendida entre la recta $f(x) = x - 2$, el eje $OX$ y las rectas verticales $x = 0$ y $x = 3$.
Nota: Observa que la función corta al eje $OX$ en un punto dentro del intervalo dado, por lo que tendrás que descomponer el recinto en dos subáreas.
Utiliza las propiedades de la integral definida para resolver el siguiente problema: Sabiendo que $\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 7$ y que $\int_{4}^{6} f(x) \, dx = -3$,…
Utiliza las propiedades de la integral definida para resolver el siguiente problema:
Sabiendo que $\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 7$ y que $\int_{4}^{6} f(x) \, dx = -3$, calcula razonadamente el valor de:
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$\int_{1}^{6} f(x) \, dx$
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$\int_{4}^{1} 2 \times f(x) \, dx$
Determina el área de la región comprendida entre la curva $f(x) = x^3 - 4x$ y el eje $OX$ en el intervalo $[-1, 2]$. Ten en cuenta que la función puede cambiar de signo…
Determina el área de la región comprendida entre la curva $f(x) = x^3 - 4x$ y el eje $OX$ en el intervalo $[-1, 2]$. Ten en cuenta que la función puede cambiar de signo dentro del intervalo, por lo que deberás descomponer la integral si es necesario.
Halla el área del recinto limitado por la función $f(x) = |x^2 - 1|$ y el eje de abscisas entre $x = 0$ y $x = 2$. Recuerda que la definición de valor absoluto implica…
Halla el área del recinto limitado por la función $f(x) = |x^2 - 1|$ y el eje de abscisas entre $x = 0$ y $x = 2$. Recuerda que la definición de valor absoluto implica que la función siempre es no negativa, pero su expresión analítica cambia en los puntos donde el argumento se anula.
Área entre curvas y recintos más complejos
Muchos recintos no se apoyan en el eje $OX$, sino que están encerrados entre dos gráficas, o entre una curva y una recta (tangente, normal, horizontal). La idea es la misma: el área es la integral de «la de arriba menos la de abajo».
Pasos para plantear un recinto:
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Dibuja las curvas (aunque sea un esbozo).
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Halla los puntos de corte igualando las funciones: serán los límites de integración.
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Decide cuál función está arriba en cada tramo. Si se cruzan dentro del intervalo, parte la integral.
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Integra «arriba menos abajo» y evalúa con Barrow.
Algunos problemas piden un parámetro: plantea el área en función de $k$ y resuelve la ecuación que resulta al igualarla al valor dado.
Se considera la función $f(x) = x^2 - 2x + 2$. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $f(x)$, el eje $OX$, el eje $OY$ y la recta tangente a la curva en…
Se considera la función $f(x) = x^2 - 2x + 2$. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $f(x)$, el eje $OX$, el eje $OY$ y la recta tangente a la curva en el punto de abscisa $x = 3$.
Una empresa de diseño gráfico quiere crear un logotipo que incluye la forma de una "ola". Esta forma viene definida por la función $f(x) = \sin(x) + 1$ en el intervalo…
Una empresa de diseño gráfico quiere crear un logotipo que incluye la forma de una "ola". Esta forma viene definida por la función $f(x) = \sin(x) + 1$ en el intervalo $[0, \pi]$. Calcula la superficie total de la figura limitada por la curva, el eje $OX$ y las rectas verticales $x = 0$ y $x = \pi$.
Calcula el área del recinto limitado por la curva $f(x) = \sqrt{x}$, el eje $OX$ y la recta $y = -x + 6$ en el primer cuadrante. Ayuda: identifica primero el punto de…
Calcula el área del recinto limitado por la curva $f(x) = \sqrt{x}$, el eje $OX$ y la recta $y = -x + 6$ en el primer cuadrante. Ayuda: identifica primero el punto de intersección entre la curva y la recta para determinar los límites de integración.
Un arquitecto está diseñando el perfil lateral de un nuevo pabellón deportivo. La estructura principal sigue la curva de la función $f(x) = -x^2 + 6x$. Para asegurar la…
Un arquitecto está diseñando el perfil lateral de un nuevo pabellón deportivo. La estructura principal sigue la curva de la función $f(x) = -x^2 + 6x$. Para asegurar la estabilidad, se debe colocar un refuerzo metálico que sigue la línea tangente a la curva en el punto de abscisa $x = 4$.
Calcula el área del recinto plano limitado por la gráfica de la función $f(x)$, la recta tangente mencionada y el eje de ordenadas ($Eje\ OY$).
Considera las funciones $f(x) = e^x$ y $g(x) = e^{-x}$. Sea $R$ el recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y la recta vertical $x = k$ (donde $k > 0$).…
Considera las funciones $f(x) = e^x$ y $g(x) = e^{-x}$. Sea $R$ el recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y la recta vertical $x = k$ (donde $k > 0$).
Determina el valor del parámetro positivo $k$ para que el área de dicho recinto sea exactamente de $4$ unidades cuadradas.
Se define la función $f(x) = |x^2 - 4|$. Queremos estudiar la región del plano que queda "atrapada" entre esta curva y la recta horizontal $y = 5$. Calcula el área del…
Se define la función $f(x) = |x^2 - 4|$. Queremos estudiar la región del plano que queda "atrapada" entre esta curva y la recta horizontal $y = 5$.
Calcula el área del recinto limitado superiormente por la recta $y = 5$ e inferiormente por la gráfica de la función $f(x)$. Nota: Ten en cuenta los puntos de corte y la definición de la función en valor absoluto para dividir la integral si fuera necesario.
Sea la función $f(x) = \ln(x)$. Se pide: 1. Hallar la ecuación de la recta normal a la gráfica de $f(x)$ en el punto $P(e, 1)$. 2. Calcular el área del recinto plano…
Sea la función $f(x) = \ln(x)$. Se pide:
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Hallar la ecuación de la recta normal a la gráfica de $f(x)$ en el punto $P(e, 1)$.
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Calcular el área del recinto plano limitado por la curva $y = \ln(x)$, la recta normal hallada en el apartado anterior y el eje de abscisas ($Eje\ OX$).
Un depósito de agua tiene una sección transversal cuya base está definida por el eje $OX$ y su parte superior por la función definida a trozos:…
Un depósito de agua tiene una sección transversal cuya base está definida por el eje $OX$ y su parte superior por la función definida a trozos:
$f(x) = \begin{cases} \sqrt{x+4} & \text{si } -4 \leq x < 0 \\ 2 \cos\left(\frac{\pi x}{4}\right) & \text{si } 0 \leq x \leq 2 \end{cases}$
Calcula el área total de la sección transversal del depósito realizando el cálculo de la integral definida en cada intervalo.
Determina el valor de la constante $a \in \mathbb{R}$ con $a > 1$, sabiendo que el área del recinto limitado por la curva $y = \frac{1}{x^2}$, el eje $OX$ y las rectas…
Determina el valor de la constante $a \in \mathbb{R}$ con $a > 1$, sabiendo que el área del recinto limitado por la curva $y = \frac{1}{x^2}$, el eje $OX$ y las rectas verticales $x = 1$ y $x = a$ es igual al doble del área del recinto limitado por la misma curva $y = \frac{1}{x^2}$, el eje $OX$ y las rectas $x = a$ y $x = a^2$.
Halla el área del recinto limitado por la función $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ y la recta horizontal que pasa por el máximo relativo de dicha función. Ayuda: Deberás primero…
Halla el área del recinto limitado por la función $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ y la recta horizontal que pasa por el máximo relativo de dicha función.
Ayuda: Deberás primero localizar el máximo relativo mediante la derivada, hallar el valor de la ordenada en dicho punto y luego determinar los puntos de intersección entre la curva y la recta resultante.
Sea el recinto $A$ la región del primer cuadrante limitada por la parábola $y = x^2$ y la recta $y = 9$. Existe una recta vertical de ecuación $x = c$ (con $0 < c < 3$)…
Sea el recinto $A$ la región del primer cuadrante limitada por la parábola $y = x^2$ y la recta $y = 9$. Existe una recta vertical de ecuación $x = c$ (con $0 < c < 3$) que divide al recinto $A$ en dos subrecintos de áreas idénticas.
Calcula el valor exacto de la constante $c$.
Vuelve al principio: el área exacta bajo $f(x)=x^2$ entre $x=0$ y $x=2$ es $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3}\ \text{u}^2$, y el arco del carpintero se calcula igual.